Extremwertaufgaben

02 · Verstehen

Was ist eine Extremwertaufgabe?

Bei einer Extremwertaufgabe soll eine Größe möglichst groß oder klein werden: etwa eine Fläche, ein Volumen oder ein Materialverbrauch. Gleichzeitig müssen bestimmte Vorgaben eingehalten werden.

Die Zielfunktion beschreibt die zu optimierende Größe. Die Nebenbedingung verknüpft die beteiligten Variablen mit den Vorgaben. Durch Einsetzen erhältst du meist eine Zielfunktion mit nur einer Variablen.

Ein Hochpunkt irgendeiner Funktion löst noch keine Sachaufgabe. Du musst zuerst die richtige Funktion aufstellen und klären, welche Werte im Modell erlaubt sind.

Beispiel 1: möglichst große Fläche an einer Wand

Für ein rechteckiges Gehege stehen 40 m Zaun zur Verfügung. Eine Seite liegt an einer langen geraden Wand und braucht keinen Zaun. Türen und Pfosten werden im Modell vernachlässigt.

Nenne die beiden gleich langen Seiten senkrecht zur Wand x und die vordere Seite y. Die Zielfunktion ist die Fläche A = xy. Die Nebenbedingung lautet:

Hier und in den folgenden Termen werden die Längenwerte in Metern eingesetzt. Damit entsteht eine Funktion in einer Variablen:

Für ein echtes Rechteck müssen beide Seiten positiv sein: x > 0 und 40 − 2x > 0. Also gilt 0 < x < 20.

Das Flächenmaximum bestimmen und bestätigen

Der Kandidat ist zulässig. Weil A″(x) = −4 < 0 ist, liegt dort ein lokales Maximum. Für das globale Maximum kannst du zusätzlich die quadratische Ergänzung nutzen:

Antwort: Die Seiten senkrecht zur Wand sind je 10 m lang, die vordere Seite 20 m. Die maximale Fläche beträgt 200 m². Kontrolle: 10 + 20 + 10 = 40 m Zaun.

Beispiel 2: eine offene Schachtel falten

Aus einem quadratischen Karton mit Seitenlänge 30 cm werden an allen vier Ecken Quadrate mit Seitenlänge x ausgeschnitten. Die verbleibenden Ränder werden nach oben gefaltet. Die Materialstärke wird vernachlässigt.

Von der Skizze zur Formel: Entlang einer Kartonseite liegen Rand, Boden und Rand nebeneinander: x + (30 − 2x) + x = 30. Deshalb wird beim Boden zweimal x abgezogen. Größere Ausschnitte machen die Schachtel höher, verkleinern aber gleichzeitig den Boden.

Die Schachtel ist x hoch. Beide Bodenseiten sind 30 − 2x lang, weil an jedem Ende ein Stück der Länge x fehlt. Mit Längenwerten in Zentimetern gilt:

V(x) = x(30 − 2x)²

Der zulässige Bereich ist 0 < x < 15. Für x = 0 entsteht keine Höhe, für x = 15 kein Boden. Ausmultiplizieren und Ableiten liefert:

Antwort: Schneide Quadrate mit 5 cm Seitenlänge aus. Die optimale Schachtel hat Bodenmaße 20 cm × 20 cm, Höhe 5 cm und Volumen 2000 cm³, also 2 l.

Beispiel 3: kleiner Umfang bei fester Fläche

Ein Rechteck soll Fläche 36 m² haben. Gesucht sind die Seiten mit dem kleinsten Umfang. Für positive Seitenlängen x und y gilt xy = 36 und daher y = 36 geteilt durch x.

Die Zielfunktion für den Umfang, mit Längenwerten in Metern, ist:

U(x) = 2x + 72x, x > 0

Die negative Wurzel gehört nicht zum Definitionsbereich. Für 0 < x < 6 ist die Ableitung negativ, für x > 6 positiv. Der Umfang fällt bis 6 und steigt danach. Damit liegt ein globales Minimum vor.

Randwerte und andere Kandidaten nicht übersehen

Bei einer stetigen Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall werden größter und kleinster Wert angenommen. Für ihre Bestimmung vergleichst du die Funktionswerte an den relevanten inneren Stellen und an beiden Rändern.

Auch Stellen, an denen eine Ableitung nicht existiert, können relevant sein. Auf offenen oder unbegrenzten Bereichen muss es dagegen nicht immer ein angenommenes Maximum oder Minimum geben.

Die Randwerte der Schachtelaufgabe beschreiben entartete Formen. Du darfst sie als Grenzfälle zur Kontrolle betrachten, aber nicht als brauchbare Schachteln ausgeben.

Lokal optimal ist nicht automatisch global optimal

Die Bedingung f′(x) = 0 allein beweist noch kein Extremum. Die Funktion x³ hat bei x = 0 eine waagerechte Tangente, aber keinen Hoch- oder Tiefpunkt.

Auch ein bestätigtes lokales Maximum muss nicht der größte Wert im gesamten zulässigen Bereich sein. Vergleiche deshalb alle relevanten Kandidaten und Randfälle oder begründe den globalen Verlauf, etwa über das Vorzeichen der Ableitung.

Bei einem diskreten Modell, etwa einer ganzzahligen Stückzahl, prüfst du zusätzlich die zulässigen benachbarten ganzen Zahlen. Ein rechnerischer Wert von 4,6 Stück ist nicht automatisch umsetzbar.

Dein Rechenplan für Sachaufgaben

1. Skizziere die Situation und benenne die Variablen mit Einheiten.
2. Formuliere die zu maximierende oder minimierende Größe.
3. Schreibe die Nebenbedingung auf.
4. Ersetze eine Variable und bestimme den zulässigen Bereich.
5. Berechne mögliche Extremstellen und weitere relevante Kandidaten.
6. Prüfe Maximum oder Minimum und begründe die globale Optimalität.
7. Berechne alle gesuchten Maße und kontrolliere die Nebenbedingung.
8. Formuliere einen Antwortsatz mit Einheiten und den Bedingungen des Modells.