1 · Welche Nebenbedingung gilt beim Gehege mit 40 m Zaun an einer Wand?
Lösung und Rechenweg ansehen
2x + y = 40. Es werden nur drei Seiten eingezäunt.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 11–13 · Grundlagen und Wiederholung
Extremwertaufgaben: verstehen und üben
Übersetze Sachaufgaben in eine Zielfunktion, nutze Nebenbedingungen und finde ein Maximum oder Minimum. Prüfe den zulässigen Bereich, Randfälle und die Bedeutung deines Ergebnisses.
Erst das Modell, dann die Ableitung
Was soll optimal werden? → Zielfunktion
Was ist vorgegeben? → Nebenbedingung
Eine Gleichung f′(x) = 0 liefert zunächst Kandidaten. Ob sie zulässig und tatsächlich optimal sind, musst du zusätzlich prüfen.
Lernschritt 1
Was ist eine Extremwertaufgabe?
Bei einer Extremwertaufgabe soll eine Größe möglichst groß oder klein werden: etwa eine Fläche, ein Volumen oder ein Materialverbrauch. Gleichzeitig müssen bestimmte Vorgaben eingehalten werden.
Die Zielfunktion beschreibt die zu optimierende Größe. Die Nebenbedingung verknüpft die beteiligten Variablen mit den Vorgaben. Durch Einsetzen erhältst du meist eine Zielfunktion mit nur einer Variablen.
Ein Hochpunkt irgendeiner Funktion löst noch keine Sachaufgabe. Du musst zuerst die richtige Funktion aufstellen und klären, welche Werte im Modell erlaubt sind.
Lernschritt 2
Beispiel 1: möglichst große Fläche an einer Wand
Für ein rechteckiges Gehege stehen 40 m Zaun zur Verfügung. Eine Seite liegt an einer langen geraden Wand und braucht keinen Zaun. Türen und Pfosten werden im Modell vernachlässigt.
Nenne die beiden gleich langen Seiten senkrecht zur Wand x und die vordere Seite y. Die Zielfunktion ist die Fläche A = xy. Die Nebenbedingung lautet:
2x + y = 40 → y = 40 − 2x
Hier und in den folgenden Termen werden die Längenwerte in Metern eingesetzt. Damit entsteht eine Funktion in einer Variablen:
A(x) = x(40 − 2x) = 40x − 2x²
Für ein echtes Rechteck müssen beide Seiten positiv sein: x > 0 und 40 − 2x > 0. Also gilt 0 < x < 20.
Lernschritt 3
Das Flächenmaximum bestimmen und bestätigen
Leite die Zielfunktion nach x ab:
A′(x) = 40 − 4x
A′(x) = 0 → x = 10
Der Kandidat ist zulässig. Weil A″(x) = −4 < 0 ist, liegt dort ein lokales Maximum. Für das globale Maximum kannst du zusätzlich die quadratische Ergänzung nutzen:
A(x) = 200 − 2(x − 10)²
Der abgezogene Quadratterm ist nie negativ. Deshalb ist A(x) höchstens 200, und dieser Wert wird bei x = 10 erreicht. Es ist also das größte mögliche Ergebnis im ganzen erlaubten Bereich.
y = 40 − 2 · 10 = 20
Antwort: Die Seiten senkrecht zur Wand sind je 10 m lang, die vordere Seite 20 m. Die maximale Fläche beträgt 200 m². Kontrolle: 10 + 20 + 10 = 40 m Zaun.
Lernschritt 4
Beispiel 2: eine offene Schachtel falten
Aus einem quadratischen Karton mit Seitenlänge 30 cm werden an allen vier Ecken Quadrate mit Seitenlänge x ausgeschnitten. Die verbleibenden Ränder werden nach oben gefaltet. Die Materialstärke wird vernachlässigt.
Die Schachtel ist x hoch. Beide Bodenseiten sind 30 − 2x lang, weil an jedem Ende ein Stück der Länge x fehlt. Mit Längenwerten in Zentimetern gilt:
V(x) = x(30 − 2x)²
Der zulässige Bereich ist 0 < x < 15. Für x = 0 entsteht keine Höhe, für x = 15 kein Boden. Ausmultiplizieren und Ableiten liefert:
V(x) = 900x − 120x² + 4x³
V′(x) = 900 − 240x + 12x²
V′(x) = 12(x − 5)(x − 15)
Die Nullstellen der Ableitung sind 5 und 15. Nur x = 5 liegt im erlaubten offenen Intervall. Für 0 < x < 5 ist V′ positiv, für 5 < x < 15 negativ. Das Volumen steigt also bis 5 und fällt danach.
V(5) = 5 · 20² = 2000
Antwort: Schneide Quadrate mit 5 cm Seitenlänge aus. Die optimale Schachtel hat Bodenmaße 20 cm × 20 cm, Höhe 5 cm und Volumen 2000 cm³, also 2 l.
Lernschritt 5
Beispiel 3: kleiner Umfang bei fester Fläche
Ein Rechteck soll Fläche 36 m² haben. Gesucht sind die Seiten mit dem kleinsten Umfang. Für positive Seitenlängen x und y gilt xy = 36 und daher y = 36 geteilt durch x.
Die Zielfunktion für den Umfang, mit Längenwerten in Metern, ist:
U(x) = 2x + , x > 0
U′(x) = 2 −
Setze die Ableitung gleich 0:
2x² = 72 → x² = 36 → x = 6
Die negative Wurzel gehört nicht zum Definitionsbereich. Für 0 < x < 6 ist die Ableitung negativ, für x > 6 positiv. Der Umfang fällt bis 6 und steigt danach. Damit liegt ein globales Minimum vor.
Es folgt y = 6 m. Das optimale Rechteck ist ein Quadrat und hat Umfang 24 m. Die Nebenbedingung stimmt: 6 · 6 = 36 m².
Lernschritt 6
Randwerte und andere Kandidaten nicht übersehen
Bei einer stetigen Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall werden größter und kleinster Wert angenommen. Für ihre Bestimmung vergleichst du die Funktionswerte an den relevanten inneren Stellen und an beiden Rändern.
Beispiel f(x) = x² auf [1; 3]: Die Gleichung f′(x) = 2x = 0 liefert keinen Kandidaten im Intervall. Trotzdem gibt es ein Minimum bei x = 1 mit Wert 1 und ein Maximum bei x = 3 mit Wert 9.
Auch Stellen, an denen eine Ableitung nicht existiert, können relevant sein. Auf offenen oder unbegrenzten Bereichen muss es dagegen nicht immer ein angenommenes Maximum oder Minimum geben.
Die Randwerte der Schachtelaufgabe beschreiben entartete Formen. Du darfst sie als Grenzfälle zur Kontrolle betrachten, aber nicht als brauchbare Schachteln ausgeben.
Lernschritt 7
Lokal optimal ist nicht automatisch global optimal
Die Bedingung f′(x) = 0 allein beweist noch kein Extremum. Die Funktion x³ hat bei x = 0 eine waagerechte Tangente, aber keinen Hoch- oder Tiefpunkt.
Auch ein bestätigtes lokales Maximum muss nicht der größte Wert im gesamten zulässigen Bereich sein. Vergleiche deshalb alle relevanten Kandidaten und Randfälle oder begründe den globalen Verlauf, etwa über das Vorzeichen der Ableitung.
Bei einem diskreten Modell, etwa einer ganzzahligen Stückzahl, prüfst du zusätzlich die zulässigen benachbarten ganzen Zahlen. Ein rechnerischer Wert von 4,6 Stück ist nicht automatisch umsetzbar.
Lernschritt 8
Dein Rechenplan für Sachaufgaben
- Skizziere die Situation und benenne die Variablen mit Einheiten.
- Formuliere die zu maximierende oder minimierende Größe.
- Schreibe die Nebenbedingung auf.
- Ersetze eine Variable und bestimme den zulässigen Bereich.
- Berechne mögliche Extremstellen und weitere relevante Kandidaten.
- Prüfe Maximum oder Minimum und begründe die globale Optimalität.
- Berechne alle gesuchten Maße und kontrolliere die Nebenbedingung.
- Formuliere einen Antwortsatz mit Einheiten und den Bedingungen des Modells.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Welche Zielfunktion entsteht für die Gehegefläche?
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A(x) = x(40 − 2x), mit 0 < x < 20.
Erklärung wiederholen →3 · Welche Maße liefern dort die größte Fläche?
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x = 10 m und y = 20 m. Die Fläche beträgt 200 m².
Erklärung wiederholen →4 · Warum ist x = 15 bei der Schachtel keine brauchbare Lösung?
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Die Bodenseiten 30 − 2x wären 0. Der Wert liegt außerdem nicht im erlaubten Bereich 0 < x < 15.
Erklärung wiederholen →5 · Welche Seiten minimieren den Umfang bei Rechteckfläche 36 m²?
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6 m und 6 m. Der minimale Umfang ist 24 m.
Erklärung wiederholen →6 · Hat f(x) = x² auf [1; 3] kein Minimum, weil f′ dort nie 0 ist?
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Doch. Das Minimum liegt am linken Rand bei x = 1 und hat den Wert 1.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Reicht es, die erste Ableitung gleich 0 zu setzen?
Nein. Du musst die Zulässigkeit und die Art der Stelle prüfen sowie Randfälle und globale Optimalität berücksichtigen.
Warum brauche ich eine Nebenbedingung?
Sie beschreibt die Vorgabe der Aufgabe und erlaubt oft, die Zielfunktion auf eine Variable zurückzuführen.
Darf ich ein Ergebnis außerhalb des erlaubten Bereichs verwenden?
Nein. Ein rechnerischer Kandidat ist nur brauchbar, wenn er die mathematischen und sachlichen Bedingungen erfüllt.