1 · Wann ist der Kondensator nach dem geladenen Start erstmals ungeladen?
Lösung und Rechenweg ansehen
Nach T/4. Dann ist der Strombetrag maximal und die Energie im idealen Modell vollständig magnetisch.
Erklärung wiederholen →Physik · Elektrizitätslehre · Oberstufe
Elektromagnetischer Schwingkreis: verstehen und üben
Warum fließt Strom weiter, obwohl der Kondensator gerade entladen ist? Entdecke den Energieaustausch zwischen Kondensator und Spule und berechne Schwingungsdauer, Frequenz und Stromamplitude.
Zwei Energiespeicher im Wechsel
T = 2π · √(L · C)
Die elektrische Energie des Kondensators und die magnetische Energie der Spule wandeln sich ineinander um. Im idealen LC-Kreis bleibt ihre Summe konstant.
Lernschritt 1
Was gehört zu einem LC-Schwingkreis?
Ein elektromagnetischer Schwingkreis besteht im einfachsten Modell aus einem Kondensator mit der Kapazität C und einer Spule mit der Induktivität L. Beide bilden einen geschlossenen leitenden Kreis. L wird in Henry (H), C in Farad (F) angegeben.
Zu Beginn ist der Kondensator geladen. Die Quelle, mit der er geladen wurde, ist anschließend vom betrachteten Kreis getrennt. Die gespeicherte Anfangsenergie reicht im idealen Modell aus, um die freie Schwingung aufrechtzuerhalten. Eine ständig angeschlossene Gleichspannungsquelle gehört nicht zu diesem Modell.
Wir vernachlässigen zunächst elektrischen Widerstand, Abstrahlung und weitere Verluste. Außerdem bleiben L und C konstant. Erst unter diesen Voraussetzungen schwingt das System ungedämpft mit der unten berechneten Eigenfrequenz.
Lernschritt 2
Ausprobieren: Wo steckt gerade die Energie?
Am Anfang trägt die obere Platte positive, die untere negative Ladung. Der Kondensator besitzt seine größte Spannung U₀; die Stromstärke ist in diesem Moment null. Beim Entladen baut der wachsende Strom das Magnetfeld der Spule auf.
Nach einer Viertelperiode ist der Kondensator gerade ungeladen: U = 0. Trotzdem ist der Strom jetzt am größten. Die Energie steckt vollständig im Magnetfeld. Die Spule wirkt einer Stromänderung durch Selbstinduktion entgegen. Der Strom kommt daher nicht schlagartig zum Stillstand.
Beim anschließenden Abbau des Magnetfelds wird der Kondensator mit umgekehrter Polung geladen. Der Vergleich zeigt zwei ausgewählte Zustände, keine kontinuierliche Simulation.
U = 0 bedeutet hier nicht I = 0. Diese Gleichsetzung würde den entscheidenden Mechanismus des Schwingkreises übersehen.
Lernschritt 3
Eine volle Schwingung in vier Etappen
- t = 0: Kondensator maximal geladen, obere Platte positiv, I = 0.
- t = T/4: Kondensator ungeladen, Strombetrag maximal in der ersten Richtung.
- t = T/2: Kondensator wieder maximal geladen, aber obere Platte negativ. I = 0.
- t = 3T/4: Kondensator erneut ungeladen, Strombetrag maximal in Gegenrichtung.
Erst bei t = T sind Ladungsverteilung und Stromzustand wieder wie am Anfang. Die erste Entladung dauert also T/4, nicht eine ganze Periode. Nach T/2 ist die elektrische Energie zwar wieder maximal, die Polung aber umgekehrt.
Die Ladungen durchqueren dabei nicht den isolierenden Zwischenraum des Kondensators. Im äußeren Leiter werden Ladungen zwischen den Platten umverteilt.
Lernschritt 4
Spannung und Strom im Zeitdiagramm
Die blaue Kurve startet bei maximaler positiver Spannung. Wenn sie die Nulllinie schneidet, erreicht die grüne Kurve einen Extremwert. Spannung und Strom sind um eine Viertelperiode gegeneinander verschoben.
Wir nennen den Strom positiv, wenn er von der anfangs positiven Platte durch die Spule zur anderen Platte fließt. Mit dieser Festlegung gilt:
U(t) = U₀ · cos(ω₀t)
I(t) = I₀ · sin(ω₀t)
Für die Ladung Q der anfangs positiven Platte gilt dann I = −dQ/dt: Beim positiven Entladestrom nimmt Q ab. Bei entgegengesetztem Strompfeil erhält die Stromformel ein Minuszeichen. Physikalisch beschreiben beide Konventionen dieselbe Schwingung.
Die normierten Kurven erlauben einen Vergleich der Zeitpunkte. Sie bedeuten nicht, dass Volt und Ampere dieselbe Einheit besitzen.
Lernschritt 5
Die Thomsonsche Schwingungsgleichung anwenden
T = 2π · √(L · C) · f₀ =
T bezeichnet die Periodendauer in Sekunden und f₀ die Eigenfrequenz in Hertz. Zusätzlich gilt ω₀ = 2πf₀ = 1 geteilt durch √(LC). ω₀ ist die Kreisfrequenz; sie darf nicht mit f₀ gleichgesetzt werden.
Beispiel: L = 10 mH = 0,010 H und C = 1,0 µF = 1,0 · 10−6 F. Zuerst werden die Vorsätze umgerechnet:
L · C = 1,0 · 10−8 s²
√(L · C) = 1,0 · 10−4 s
T ≈ 6,28 · 10−4 s = 0,628 ms
f₀ ≈ 1 592 Hz = 1,59 kHz
Die erste vollständige Entladung liegt bei T/4 ≈ 0,157 ms. Als Probe muss f₀ · T ungefähr 1 ergeben. Runde deshalb erst beim Endergebnis.
Lernschritt 6
Die größte Stromstärke aus der Energie bestimmen
Zu einem beliebigen Zeitpunkt sind elektrische und magnetische Energie zusammen:
W = · C · U² + · L · I²
Zu Beginn steckt alles im Kondensator, nach T/4 alles in der Spule. Gleichsetzen liefert:
· C · U₀² = · L · I₀²
I₀ = U₀ · √()
Im Beispiel seien U₀ = 6,0 V. Dann beträgt die Gesamtenergie ½ · 1,0 · 10−6 F · (6,0 V)² = 18 µJ. Mit diesen Werten ergibt die Formel I₀ = 0,060 A = 60 mA.
Wenn die Spannung später nur noch den halben Anfangsbetrag besitzt, liegt wegen U² nur ein Viertel der Gesamtenergie im Kondensator. Die übrigen drei Viertel liegen im idealen Kreis im Magnetfeld. Der Strombetrag ist dann etwa 0,866 · I₀, nicht 0,5 · I₀.
Lernschritt 7
Wie ändern L und C die Frequenz?
Größeres L oder größeres C verlängert die Periodendauer. Die Änderung erfolgt mit der Quadratwurzel: Bei vierfachem C und gleichem L wird T doppelt so groß und f₀ halb so groß. Verdoppelt man L und C gleichzeitig, wird das Produkt LC viermal so groß; auch dann halbiert sich f₀.
Die Anfangsspannung beeinflusst im idealen linearen Modell die Energie und die Stromamplitude, aber nicht die Eigenfrequenz. Das ist ein wichtiger Unterschied zwischen „stärker schwingen“ und „schneller schwingen“.
Für eine gewünschte Frequenz lässt sich die Kapazität berechnen:
C =
Bei L = 10 mH und f₀ = 1,0 kHz ergibt sich C ≈ 2,53 µF. Diese Abstimmung ist das Grundprinzip frequenzselektiver Schaltungen; reale Empfangsschaltungen enthalten weitere Bauteile.
Lernschritt 8
Warum klingt ein echter Schwingkreis ab?
Reale Drähte und Spulen besitzen Widerstand. Ein Teil der Feldenergie wird in innere Energie umgewandelt; weitere Verluste können hinzukommen. Die Amplituden von Spannung und Strom nehmen ab. Energie verschwindet nicht, sondern verlässt die betrachteten elektrischen und magnetischen Speicher.
Halbiert sich die Spannung an aufeinanderfolgenden gleichartigen Spannungsmaxima, beträgt die zugehörige Kondensatorenergie nur noch ein Viertel. Dämpfung von Amplitude und Energie sind deshalb nicht zahlenmäßig dasselbe.
Bei geringer Dämpfung liegt die Schwingungsfrequenz nahe der idealen Eigenfrequenz. Starke Dämpfung kann eine Schwingung ganz verhindern. Eine dauerhafte Schwingung braucht Energiezufuhr zum Ausgleich der Verluste.
Für den Unterricht: Vor dem Umschalten vorhersagen lassen: Wo steckt die Energie, wenn die Spannung null ist? Anschließend die vier Zustände ohne Formeln ordnen und erst danach das Zeitdiagramm zuordnen.
Zum Vertiefen der Modellgleichungen: OpenStax: Oscillations in an LC Circuit.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · C wird vervierfacht, L bleibt gleich. Was geschieht mit f₀?
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f₀ halbiert sich, weil die Wurzel aus LC doppelt so groß wird.
Erklärung wiederholen →3 · Nur U₀ wird verdoppelt. Ändert sich die ideale Eigenfrequenz?
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Nein. L und C bleiben gleich. Die Anfangsenergie vervierfacht sich, die Stromamplitude verdoppelt sich.
Erklärung wiederholen →4 · L = 40 mH, C = 1,0 µF. Bestimme T.
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LC = 4,0 · 10−8 s². T = 2π · 2,0 · 10−4 s ≈ 1,26 ms.
Erklärung wiederholen →5 · C = 2,0 µF, U₀ = 10 V. Wie viel Anfangsenergie ist gespeichert?
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W = ½ · C · U₀² = ½ · 2,0 · 10−6 · 100 J = 100 µJ.
Erklärung wiederholen →6 · Bei einem späteren Spannungsmaximum ist die Amplitude nur 80 % so groß. Welcher Energieanteil bleibt?
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Bei I = 0 steckt die Energie im Kondensator. Der Anteil ist 0,80² = 0,64, also 64 %.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Braucht der ideale LC-Kreis ständig eine Batterie?
Nein. Die Anfangsenergie ist bereits gespeichert. Das verlustfreie Modell benötigt keine weitere Zufuhr; reale Verluste müssen für dauerhafte Schwingungen ausgeglichen werden.
Warum ist der Strom bei U = 0 nicht null?
Das Magnetfeld der Spule besitzt dann die maximale Energie. Selbstinduktion verhindert einen sprunghaften Stromabbruch.
Ist eine halbe Periode schon eine vollständige Schwingung?
Nein. Nach T/2 ist der Kondensator umgekehrt geladen. Erst nach T ist der ursprüngliche Zustand wieder erreicht.