1 · Welche Werte kann die Kopfanzahl bei zwei Würfen annehmen?
Lösung und Rechenweg ansehen
0, 1 und 2. KZ und ZK liefern beide den Wert 1.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 10–13 · etwa 40–60 Minuten
Zufallsvariablen und Erwartungswert
Du stellst Verteilungen auf, berechnest und deutest Erwartungswert und Streuung und unterscheidest Auszahlung und Nettogewinn.
Voraussetzungen ansehen
Brüche, Wahrscheinlichkeiten und gewichtete Mittelwerte.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Was kannst du schon?
Drei kurze Aufgaben zeigen dir, wo du einsteigen kannst. Löse sie zunächst ohne Hilfe.
Brüche mit /, Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt und Wurzeln als sqrt(2) eingeben. Mehrere Werte mit Semikolon trennen. Wahrscheinlichkeiten zwischen 0 und 1, nicht als Prozentzahl eingeben. Runde nur, wenn es die Aufgabe verlangt.
02 · Verstehen
Was ist eine Zufallsvariable?
Ein Durchschnitt auf lange Sicht
E(X) = 1
Bei zwei unabhängigen fairen Münzwürfen erwarten wir im Durchschnitt einen Kopf. In einem einzelnen Versuch sind aber auch null oder zwei Köpfe möglich.
Eine Zufallsvariable ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine Zahl zu. Wir schreiben dafür meist einen Großbuchstaben wie X. Die Zahl, die X tatsächlich annimmt, heißt Wert der Zufallsvariablen.
Wir werfen eine faire Münze zweimal unabhängig. K bedeutet Kopf und Z bedeutet Zahl. Definiere X = Anzahl der Köpfe in zwei Würfen. Die Reihenfolge gehört zum Versuchsergebnis, gezählt wird aber nur die Anzahl:
| Ergebnis | KK | KZ | ZK | ZZ |
|---|---|---|---|---|
| Wert von X | 2 | 1 | 1 | 0 |
Das Ergebnis KZ ist nicht die Zahl 1. Erst die Zuordnung „Anzahl der Köpfe“ macht daraus X = 1. Verschiedene Ergebnisse können denselben Wert von X liefern.
Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung aufstellen
Die vier geordneten Ergebnisse sind hier jeweils gleich wahrscheinlich. X = 1 tritt bei KZ und ZK ein, also doppelt so häufig wie X = 0 oder X = 2. Fasse Ergebnisse mit demselben Wert zusammen:
| Wert x | Zugehörige Ergebnisse | P(X = x) |
|---|---|---|
| 0 | ZZ | = 0,25 |
| 1 | KZ und ZK | = 0,50 |
| 2 | KK | = 0,25 |
Beispiel · Schritt für Schritt
Die Verteilung der Kopfanzahl aufstellen
Zwei faire, unabhängige Münzwürfe
X = Anzahl der Köpfe · K = Kopf · Z = Zahl
RechnungErklärung zum Schritt
P(ZZ) = P(KZ) = P(ZK) = P(KK) = 1/4
P(X = 0) = 1/4 = 0,25
2 Keinen Kopf zählen
Kein Kopf entsteht nur durch ZZ.
P(X = 1) = 1/4 + 1/4 = 0,50
3 Genau einen Kopf zählen
KZ und ZK sind verschiedene, einander ausschließende Ergebnisse mit demselben Wert X = 1.
P(X = 2) = 1/4 = 0,25
4 Zwei Köpfe zählen
Zwei Köpfe entstehen nur durch KK.
0,25 + 0,50 + 0,25 = 1
5 Verteilung kontrollieren
Kontrolle: Die Wahrscheinlichkeiten sind nichtnegativ und summieren sich zu 1.
So eine Tabelle heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie zeigt alle möglichen Werte und ihre Wahrscheinlichkeiten. Jede Wahrscheinlichkeit liegt zwischen 0 und 1; zusammen ergeben sie 1.
Probier es selbst: Eine Tabelle enthält die Wahrscheinlichkeiten 0,2; 0,5; 0,4. Kann sie eine vollständige Verteilung sein?
Lösung ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Ist das eine vollständige Verteilung?
Angegeben: 0,2; 0,5; 0,4
RechnungErklärung zum Schritt
0,2 + 0,5 + 0,4 = 1,1
1 Wahrscheinlichkeiten addieren
Addiere alle angegebenen Wahrscheinlichkeiten.
1,1 ≠ 1
2 Die Summe prüfen
Die Tabelle kann keine vollständige Wahrscheinlichkeitsverteilung sein. Prüfe, ob Ergebnisse doppelt gezählt oder Wahrscheinlichkeiten falsch übernommen wurden.
Wahrscheinlichkeiten aus der Tabelle ablesen
Bei X = 1 verwendest du nur den Eintrag zur 1. Bei „mindestens ein Kopf“ zählen dagegen die Werte 1 und 2. Addiere die Wahrscheinlichkeiten der passenden Werte:
Beispiel · Schritt für Schritt
P(X ≥ 1) aus der Verteilung berechnen
P(X = 0) = 0,25 · P(X = 1) = 0,50 · P(X = 2) = 0,25
Gesucht: mindestens ein Kopf
RechnungErklärung zum Schritt
P(X ≥ 1) = P(X = 1) + P(X = 2)
1 Passende Werte auswählen
Mindestens ein Kopf umfasst die beiden möglichen Werte 1 und 2. Addiere ihre Wahrscheinlichkeiten.
P(X ≥ 1) = 0,50 + 0,25 = 0,75
2 Wahrscheinlichkeiten addieren
Lies die Wahrscheinlichkeiten aus der Tabelle ab.
P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0)
3 Das Gegenereignis verwenden
Alternativer Weg: Das Gegenereignis lautet „kein Kopf“.
P(X ≥ 1) = 1 − 0,25 = 0,75
4 Das Ergebnis kontrollieren
Die Zahl 2 bezeichnet zwei Köpfe, während 0,25 die Chance auf diesen Wert beschreibt. Verwechsle Werte und Wahrscheinlichkeiten nicht.
Den Erwartungswert Schritt für Schritt berechnen
Der Erwartungswert ist ein mit Wahrscheinlichkeiten gewichteter Mittelwert. Multipliziere jeden möglichen Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit und addiere die Produkte. Für eine endliche Verteilung mit den Werten x₁ bis xₘ gilt:
E(X) = x₁ · P(X = x₁) + … + xₘ · P(X = xₘ)
Beispiel · Schritt für Schritt
Den Erwartungswert der Kopfanzahl berechnen
X: 0, 1 oder 2 Köpfe
Wahrscheinlichkeiten: 0,25; 0,50; 0,25
RechnungErklärung zum Schritt
0 · 0,25 = 0
1 Den Wert 0 gewichten
Gewichte den möglichen Wert 0 mit seiner Wahrscheinlichkeit 0,25.
1 · 0,50 = 0,50
2 Den Wert 1 gewichten
Gewichte den Wert 1 mit seiner Wahrscheinlichkeit 0,50.
2 · 0,25 = 0,50
3 Den Wert 2 gewichten
Gewichte den Wert 2 mit seiner Wahrscheinlichkeit 0,25.
E(X) = 0 + 0,50 + 0,50 = 1
4 Beiträge addieren und deuten
Addiere die drei Beiträge. Bei sehr vielen Wiederholungen erwarten wir im Durchschnitt einen Kopf pro Versuch mit zwei Würfen.
Der Erwartungswert liegt zwischen dem kleinsten und dem größten möglichen Wert. Das ist eine gute Plausibilitätskontrolle. Er muss aber selbst kein möglicher Einzelwert sein.
Was der Erwartungswert aussagt – und was nicht
Wiederholst du das gesamte Experiment sehr oft unabhängig unter denselben Bedingungen, nähert sich der beobachtete Durchschnitt dem Erwartungswert im Sinne des Gesetzes der großen Zahlen an. Bei unserem Münzexperiment heißt ein Versuch immer: zweimal werfen und Köpfe zählen.
E(X) = 1 bedeutet weder „immer ein Kopf“ noch „nach jedem Versuch gleicht sich alles aus“. Es gibt keine Garantie für eine bestimmte Folge. Beim einmaligen fairen Würfeln ist der Erwartungswert der Augenzahl 3,5, obwohl keine Würfelseite 3,5 zeigt.
Beispiel · Schritt für Schritt
Der Erwartungswert beim Würfeln
Ein fairer sechsseitiger Würfel
W = Augenzahl eines Wurfs
RechnungErklärung zum Schritt
P(W = k) = 1/6 für k = 1, …, 6
1 Wahrscheinlichkeiten festlegen
Beim einmaligen fairen sechsseitigen Würfeln sind alle sechs Augenzahlen gleich wahrscheinlich.
E(W) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) : 6
2 Die Augenzahlen gewichten
Bei gleichen Wahrscheinlichkeiten ist der gewichtete Mittelwert der einfache Durchschnitt der Werte.
E(W) = 21 : 6 = 3,5
3 Das Ergebnis deuten
Der Erwartungswert muss kein möglicher Einzelwert sein. Keine Würfelseite zeigt 3,5.
Den einfachen Durchschnitt der möglichen Werte darfst du nur verwenden, wenn diese Werte gleich wahrscheinlich sind. In einer allgemeinen Verteilung brauchst du die Gewichte.
Auszahlung und Gewinn unterscheiden
Ein Übungsspiel kostet 2 € Einsatz. Eine faire Münze wird zweimal unabhängig geworfen. Bei null Köpfen erhältst du 0 €, bei einem Kopf 1 € und bei zwei Köpfen 6 € ausgezahlt. A bezeichnet die Auszahlung, G den Gewinn nach Abzug des Einsatzes.
| Köpfe | Wahrscheinlichkeit | Auszahlung A | Gewinn G |
|---|---|---|---|
| 0 | 0,25 | 0 € | −2 € |
| 1 | 0,50 | 1 € | −1 € |
| 2 | 0,25 | 6 € | 4 € |
Beispiel · Schritt für Schritt
Ist das Spiel mathematisch fair?
Zwei faire, unabhängige Münzwürfe · Einsatz: 2 €
Auszahlung bei 0 / 1 / 2 Köpfen: 0 € / 1 € / 6 €
RechnungErklärung zum Schritt
G = A − 2 €
1 Nettogewinn definieren
Der Nettogewinn ist die Auszahlung abzüglich des festen Einsatzes.
0 € · 0,25 = 0 €
2 Auszahlung bei null Köpfen gewichten
Kein Kopf: Die Auszahlung beträgt 0 €, der Nettogewinn −2 €.
1 € · 0,50 = 0,50 €
3 Auszahlung bei einem Kopf gewichten
Ein Kopf: Die Auszahlung beträgt 1 €, der Nettogewinn −1 €.
6 € · 0,25 = 1,50 €
4 Auszahlung bei zwei Köpfen gewichten
Zwei Köpfe: Die Auszahlung beträgt 6 €, der Nettogewinn 4 €.
E(A) = 0 € + 0,50 € + 1,50 € = 2 €
5 Erwartete Auszahlung berechnen
Addiere die gewichteten Auszahlungen.
E(G) = E(A) − 2 € = 0 €
6 Den Einsatz abziehen
Ziehe den Einsatz genau einmal von der erwarteten Auszahlung ab. Der erwartete Nettogewinn ist null.
Das Spiel ist im mathematischen Sinn fair: Der erwartete Nettogewinn ist null. Das bedeutet nicht, dass niemand Geld verliert. Bei diesem Beispiel ist der Gewinn in drei von vier gleich wahrscheinlichen Ergebnissen negativ.
Beispiel · Schritt für Schritt
Was verändert ein höherer Einsatz?
Erwartete Auszahlung: 2 €
Neuer Einsatz: 2,50 € · Auszahlungen bleiben gleich
RechnungErklärung zum Schritt
E(G) = E(A) − 2,50 €
1 Den neuen Einsatz berücksichtigen
Bei erhöhtem Einsatz und unveränderten Auszahlungen bleibt E(A) = 2 €.
E(G) = 2 € − 2,50 € = −0,50 €
2 Erwarteten Gewinn berechnen
Das entspricht im Modell einem langfristigen durchschnittlichen Verlust von 0,50 € pro Spiel.
Fairer Einsatz = E(A) = 2 €
3 Den fairen Einsatz bestimmen
Für einen erwarteten Nettogewinn von null muss der Einsatz der erwarteten Auszahlung entsprechen.
Gleicher Erwartungswert, unterschiedliche Streuung
Der Erwartungswert allein beschreibt das Risiko nicht. Vergleiche zwei Zufallsvariablen:
| Modell | Mögliche Werte | Erwartungswert |
|---|---|---|
| U | Immer 1 | 1 |
| V | 0 oder 2, jeweils mit Wahrscheinlichkeit 0,5 | 1 |
U schwankt überhaupt nicht. V schwankt um denselben Erwartungswert. Die Varianz gewichtet die quadrierten Abstände vom Erwartungswert μ = E(X):
Beispiel · Schritt für Schritt
Gleicher Mittelwert – unterschiedliche Streuung
U: sicher 1
V: 0 oder 2, jeweils mit Wahrscheinlichkeit 0,5
RechnungErklärung zum Schritt
E(U) = 1 · 1 = 1
1 Erwartungswert von U berechnen
U nimmt sicher den Wert 1 an.
E(V) = 0 · 0,5 + 2 · 0,5 = 1
2 Erwartungswert von V berechnen
V nimmt die Werte 0 und 2 jeweils mit Wahrscheinlichkeit 0,5 an. Beide Modelle haben denselben Erwartungswert.
Var(U) = (1 − 1)² · 1 = 0
3 Varianz von U berechnen
Der sichere Wert hat keinen Abstand vom Erwartungswert und streut nicht.
Var(V) = 1 · 0,5 + 1 · 0,5 = 1
4 Varianz von V berechnen
Beide Abstände von 1 sind betragsmäßig 1; ihre Quadrate sind 1. Trotz gleichem Erwartungswert ist die Streuung hier größer.
Var(X) = (x₁ − μ)² · P(X = x₁) + … + (xₘ − μ)² · P(X = xₘ)
Beispiel · Schritt für Schritt
Varianz und Standardabweichung der Kopfanzahl
Kopfanzahl X bei zwei fairen, unabhängigen Münzwürfen
P(0) = 0,25 · P(1) = 0,50 · P(2) = 0,25
RechnungErklärung zum Schritt
μ = E(X) = 1
1 Den Erwartungswert einsetzen
Verwende den Erwartungswert der Kopfanzahl aus dem ersten Beispiel.
(0 − 1)² · 0,25 = 0,25
2 Den Abstand für 0 gewichten
Quadriere den Abstand des Werts 0 vom Erwartungswert und gewichte ihn.
(1 − 1)² · 0,50 = 0
3 Den Abstand für 1 gewichten
Der Wert 1 liegt genau beim Erwartungswert; sein Beitrag zur Varianz ist null.
(2 − 1)² · 0,25 = 0,25
4 Den Abstand für 2 gewichten
Gewichte auch den quadrierten Abstand des Werts 2.
Var(X) = 0,25 + 0 + 0,25 = 0,5
5 Die Varianz berechnen
Addiere die gewichteten quadrierten Abstände.
σ = √0,5 ≈ 0,707
6 Die Standardabweichung berechnen
Ziehe die Wurzel und runde erst am Ende auf drei Dezimalstellen. Die Standardabweichung hat dieselbe Einheit wie X; die Varianz hat die quadrierte Einheit.
Dein Rechenplan für neue Aufgaben
- Schreibe in einem Satz auf, was X zählt oder misst.
- Notiere alle möglichen Werte und ihre Wahrscheinlichkeiten.
- Prüfe die Summe der Wahrscheinlichkeiten: Sie muss 1 sein.
- Multipliziere Wert und Wahrscheinlichkeit für jede Zeile.
- Addiere die Produkte und nenne die Einheit.
- Deute das Ergebnis als langfristigen Durchschnitt. Bei Spielen: Einsatz abziehen.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Übe in deinem Tempo
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Rechne und begründe zuerst auf Papier. Prüfe das Modell und die Bedeutung der gesuchten Größe, bevor du rechnest. Die Beispiele sind vorgegebene Übungsmodelle.
Fortschritt auf diesem Gerät merken
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Wie sicher bist du jetzt?
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Lieber auf Papier? Weitere Aufgaben mit Rechenwegen
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Wie groß ist P(X = 1) bei zwei fairen unabhängigen Münzwürfen?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Wie wahrscheinlich ist genau ein Kopf?
Zwei faire, unabhängige Münzwürfe
X = Anzahl der Köpfe
RechnungErklärung zum Schritt
Günstig: KZ und ZK
1 Passende Ergebnisse zählen
Genau ein Kopf tritt bei zwei der vier geordneten Ergebnisse auf.
P(X = 1) = 2/4 = 0,5
2 Die Wahrscheinlichkeit berechnen
Die vier Ergebnisse sind durch faire, unabhängige Würfe gleich wahrscheinlich. Wende die Laplace-Regel an.
3 · X nimmt 0 mit Wahrscheinlichkeit 0,7 und 10 mit Wahrscheinlichkeit 0,3 an. E(X)?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Den Erwartungswert einer neuen Verteilung berechnen
P(X = 0) = 0,7 · P(X = 10) = 0,3
RechnungErklärung zum Schritt
0,7 + 0,3 = 1
1 Die Verteilung kontrollieren
Die beiden Wahrscheinlichkeiten bilden eine vollständige Verteilung.
E(X) = 0 · 0,7 + 10 · 0,3
2 Werte mit Wahrscheinlichkeiten gewichten
Die Werte sind nicht gleich wahrscheinlich. Gewichte jeden Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit.
E(X) = 0 + 3 = 3
3 Beiträge addieren und einordnen
Addiere die Beiträge. Der Erwartungswert liegt zwischen 0 und 10, muss aber kein möglicher Einzelwert sein.
4 · Kann ein Erwartungswert auftreten, der als Einzelergebnis unmöglich ist?
Lösung und Rechenweg ansehen
Ja. Die Augenzahl eines fairen Würfels hat Erwartungswert 3,5. Kein einzelner Wurf zeigt 3,5.
Erklärung wiederholen →5 · Erwartete Auszahlung 3 €, Einsatz 4 €: erwarteter Nettogewinn?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Den erwarteten Nettogewinn berechnen
Erwartete Auszahlung: 3 € · Einsatz: 4 €
RechnungErklärung zum Schritt
E(G) = E(A) − Einsatz
1 Auszahlung und Einsatz verknüpfen
Ziehe den festen Einsatz von der erwarteten Auszahlung ab.
E(G) = 3 € − 4 € = −1 €
2 Die Werte einsetzen
Im Modell ist der erwartete Nettogewinn pro Spiel negativ.
Erwarteter Verlust: 1 € pro Spiel
3 Das Ergebnis als Durchschnitt deuten
Das ist ein langfristiger Durchschnitt und keine Garantie für einen einzelnen Versuch.
6 · Haben zwei Verteilungen mit gleichem Erwartungswert immer dieselbe Streuung?
Lösung und Rechenweg ansehen
Nein. Ein sicherer Wert 1 und die Werte 0 oder 2 mit jeweils 0,5 haben beide Erwartungswert 1, aber unterschiedliche Streuung.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Wiederhole in zwei bis drei Tagen fünf Aufgaben ohne Hilfe. Danach kannst du das nächste Thema angehen.
Mit der Binomialverteilung weiterlernen →Für Eltern: in zehn Minuten gemeinsam wiederholen
Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Für Lehrkräfte: Vorschlag für eine Übungsstunde
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Häufige Fragen
Ist der Erwartungswert der wahrscheinlichste Wert?
Nicht unbedingt. Der Erwartungswert ist ein gewichteter Durchschnitt. Der wahrscheinlichste Wert hat dagegen die größte Einzelwahrscheinlichkeit.
Was ist der Unterschied zwischen X und x?
X bezeichnet die Zufallsvariable, x einen konkreten möglichen Wert. P(X = x) ist die Wahrscheinlichkeit dieses Wertes.
Darf der Erwartungswert negativ sein?
Ja, wenn negative Werte möglich sind. Ein negativer erwarteter Nettogewinn bedeutet einen langfristigen durchschnittlichen Verlust im betrachteten Modell.
Zwei unabhängige faire Würfe liefern pro geordnetem Ergebnis die Wahrscheinlichkeit 1/2 · 1/2 = 1/4.