1 · Welche Werte kann die Kopfanzahl bei zwei Würfen annehmen?
Lösung und Rechenweg ansehen
0, 1 und 2. KZ und ZK liefern beide den Wert 1.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 10–13 · Grundlagen und Wiederholung
Zufallsvariablen und Erwartungswert: verstehen und üben
Beschreibe Zufallsergebnisse mit Zahlen, stelle eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf und berechne den Erwartungswert. Mit einfachen Münzbeispielen, einem Gewinnspiel und nachvollziehbaren Rechenschritten.
Ein Durchschnitt auf lange Sicht
E(X) = 1
Bei zwei unabhängigen fairen Münzwürfen erwarten wir im Durchschnitt einen Kopf. In einem einzelnen Versuch sind aber auch null oder zwei Köpfe möglich.
Lernschritt 1
Was ist eine Zufallsvariable?
Eine Zufallsvariable ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine Zahl zu. Wir schreiben dafür meist einen Großbuchstaben wie X. Die Zahl, die X tatsächlich annimmt, heißt Wert der Zufallsvariablen.
Wir werfen eine faire Münze zweimal unabhängig. K bedeutet Kopf und Z bedeutet Zahl. Definiere X = Anzahl der Köpfe in zwei Würfen. Die Reihenfolge gehört zum Versuchsergebnis, gezählt wird aber nur die Anzahl:
| Ergebnis | KK | KZ | ZK | ZZ |
|---|---|---|---|---|
| Wert von X | 2 | 1 | 1 | 0 |
Das Ergebnis KZ ist nicht die Zahl 1. Erst die Zuordnung „Anzahl der Köpfe“ macht daraus X = 1. Verschiedene Ergebnisse können denselben Wert von X liefern.
Lernschritt 2
Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung aufstellen
Die vier geordneten Ergebnisse sind hier jeweils gleich wahrscheinlich. X = 1 tritt bei KZ und ZK ein, also doppelt so häufig wie X = 0 oder X = 2. Fasse Ergebnisse mit demselben Wert zusammen:
| Wert x | Zugehörige Ergebnisse | P(X = x) |
|---|---|---|
| 0 | ZZ | = 0,25 |
| 1 | KZ und ZK | = 0,50 |
| 2 | KK | = 0,25 |
So eine Tabelle heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie zeigt alle möglichen Werte und ihre Wahrscheinlichkeiten. Jede Wahrscheinlichkeit liegt zwischen 0 und 1; zusammen ergeben sie 1.
Probier es selbst: Eine Tabelle enthält die Wahrscheinlichkeiten 0,2; 0,5; 0,4. Kann sie eine vollständige Verteilung sein?
Lösung ansehen
Nein. Die Summe ist 1,1. Prüfe, ob du Ergebnisse doppelt gezählt oder eine Wahrscheinlichkeit falsch übernommen hast.
Lernschritt 3
Wahrscheinlichkeiten aus der Tabelle ablesen
Bei X = 1 verwendest du nur den Eintrag zur 1. Bei „mindestens ein Kopf“ zählen dagegen die Werte 1 und 2. Addiere die Wahrscheinlichkeiten der passenden Werte:
P(X ≥ 1) = 0,50 + 0,25 = 0,75
Das Gegenereignis lautet „kein Kopf“. Deshalb ist auch P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 0,75. Die Werte von X dürfen nicht mit ihren Wahrscheinlichkeiten verwechselt werden: Die Zahl 2 beschreibt zwei Köpfe; 0,25 beschreibt die Chance darauf.
Lernschritt 4
Den Erwartungswert Schritt für Schritt berechnen
Der Erwartungswert ist ein mit Wahrscheinlichkeiten gewichteter Mittelwert. Multipliziere jeden möglichen Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit und addiere die Produkte. Für eine endliche Verteilung mit den Werten x₁ bis xₘ gilt:
E(X) = x₁ · P(X = x₁) + … + xₘ · P(X = xₘ)
| Wert x | Wahrscheinlichkeit | Beitrag x · P(X = x) |
|---|---|---|
| 0 | 0,25 | 0 · 0,25 = 0 |
| 1 | 0,50 | 1 · 0,50 = 0,50 |
| 2 | 0,25 | 2 · 0,25 = 0,50 |
E(X) = 0 + 0,50 + 0,50 = 1
Der Erwartungswert liegt zwischen dem kleinsten und dem größten möglichen Wert. Das ist eine gute Plausibilitätskontrolle. Er muss aber selbst kein möglicher Einzelwert sein.
Lernschritt 5
Was der Erwartungswert aussagt – und was nicht
Wiederholst du das gesamte Experiment sehr oft unabhängig unter denselben Bedingungen, nähert sich der beobachtete Durchschnitt dem Erwartungswert im Sinne des Gesetzes der großen Zahlen an. Bei unserem Münzexperiment heißt ein Versuch immer: zweimal werfen und Köpfe zählen.
E(X) = 1 bedeutet weder „immer ein Kopf“ noch „nach jedem Versuch gleicht sich alles aus“. Es gibt keine Garantie für eine bestimmte Folge. Beim einmaligen fairen Würfeln ist der Erwartungswert der Augenzahl 3,5, obwohl keine Würfelseite 3,5 zeigt.
E(W) = = 3,5
Den einfachen Durchschnitt der möglichen Werte darfst du nur verwenden, wenn diese Werte gleich wahrscheinlich sind. In einer allgemeinen Verteilung brauchst du die Gewichte.
Lernschritt 6
Auszahlung und Gewinn unterscheiden
Ein Übungsspiel kostet 2 € Einsatz. Eine faire Münze wird zweimal unabhängig geworfen. Bei null Köpfen erhältst du 0 €, bei einem Kopf 1 € und bei zwei Köpfen 6 € ausgezahlt. A bezeichnet die Auszahlung, G den Gewinn nach Abzug des Einsatzes.
| Köpfe | Wahrscheinlichkeit | Auszahlung A | Gewinn G |
|---|---|---|---|
| 0 | 0,25 | 0 € | −2 € |
| 1 | 0,50 | 1 € | −1 € |
| 2 | 0,25 | 6 € | 4 € |
E(A) = 0 · 0,25 + 1 · 0,50 + 6 · 0,25 = 2 €
E(G) = E(A) − 2 € = 0 €
Das Spiel ist im mathematischen Sinn fair: Der erwartete Nettogewinn ist null. Das bedeutet nicht, dass niemand Geld verliert. Bei diesem Beispiel ist der Gewinn in drei von vier gleich wahrscheinlichen Ergebnissen negativ.
Würde der Einsatz auf 2,50 € steigen, wäre der erwartete Gewinn −0,50 € pro Spiel. Ein mathematisch fairer Einsatz entspricht hier der erwarteten Auszahlung von 2 €.
Lernschritt 7
Gleicher Erwartungswert, unterschiedliche Streuung
Der Erwartungswert allein beschreibt das Risiko nicht. Vergleiche zwei Zufallsvariablen:
| Modell | Mögliche Werte | Erwartungswert |
|---|---|---|
| U | Immer 1 | 1 |
| V | 0 oder 2, jeweils mit Wahrscheinlichkeit 0,5 | 1 |
U schwankt überhaupt nicht. V schwankt um denselben Erwartungswert. Die Varianz gewichtet die quadrierten Abstände vom Erwartungswert μ = E(X):
Var(X) = (x₁ − μ)² · P(X = x₁) + … + (xₘ − μ)² · P(X = xₘ)
Für die Kopfanzahl aus unserem ersten Beispiel gilt Var(X) = (0 − 1)² · 0,25 + (1 − 1)² · 0,50 + (2 − 1)² · 0,25 = 0,5. Die Standardabweichung ist die Wurzel daraus: σ = √0,5 ≈ 0,707. Anders als die Varianz hat sie dieselbe Einheit wie X.
Lernschritt 8
Dein Rechenplan für neue Aufgaben
- Schreibe in einem Satz auf, was X zählt oder misst.
- Notiere alle möglichen Werte und ihre Wahrscheinlichkeiten.
- Prüfe die Summe der Wahrscheinlichkeiten: Sie muss 1 sein.
- Multipliziere Wert und Wahrscheinlichkeit für jede Zeile.
- Addiere die Produkte und nenne die Einheit.
- Deute das Ergebnis als langfristigen Durchschnitt. Bei Spielen: Einsatz abziehen.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Wie groß ist P(X = 1) bei zwei fairen unabhängigen Münzwürfen?
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Zwei von vier gleich wahrscheinlichen Ergebnissen: = 0,5.
Erklärung wiederholen →3 · X nimmt 0 mit Wahrscheinlichkeit 0,7 und 10 mit Wahrscheinlichkeit 0,3 an. E(X)?
Lösung und Rechenweg ansehen
0 · 0,7 + 10 · 0,3 = 3. Die Werte sind nicht gleich wahrscheinlich.
Erklärung wiederholen →4 · Kann ein Erwartungswert auftreten, der als Einzelergebnis unmöglich ist?
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Ja. Die Augenzahl eines fairen Würfels hat Erwartungswert 3,5. Kein einzelner Wurf zeigt 3,5.
Erklärung wiederholen →5 · Erwartete Auszahlung 3 €, Einsatz 4 €: erwarteter Nettogewinn?
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E(G) = 3 € − 4 € = −1 € pro Spiel. Der Erwartungswert beschreibt keine Garantie für einen einzelnen Versuch.
Erklärung wiederholen →6 · Haben zwei Verteilungen mit gleichem Erwartungswert immer dieselbe Streuung?
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Nein. Ein sicherer Wert 1 und die Werte 0 oder 2 mit jeweils 0,5 haben beide Erwartungswert 1, aber unterschiedliche Streuung.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Material ansehen →Häufige Fragen
Ist der Erwartungswert der wahrscheinlichste Wert?
Nicht unbedingt. Der Erwartungswert ist ein gewichteter Durchschnitt. Der wahrscheinlichste Wert hat dagegen die größte Einzelwahrscheinlichkeit.
Was ist der Unterschied zwischen X und x?
X bezeichnet die Zufallsvariable, x einen konkreten möglichen Wert. P(X = x) ist die Wahrscheinlichkeit dieses Wertes.
Darf der Erwartungswert negativ sein?
Ja, wenn negative Werte möglich sind. Ein negativer erwarteter Nettogewinn bedeutet einen langfristigen durchschnittlichen Verlust im betrachteten Modell.