1 · Was macht eine Zerstreuungslinse mit achsenparallel einfallendem Licht?
Lösung und Rechenweg ansehen
Die Strahlen laufen hinter ihr auseinander. Ihre Rückverlängerungen gehen durch den gegenstandsseitigen Brennpunkt.
Erklärung wiederholen →Physik · Optik · Grundlagen
Zerstreuungslinsen: verstehen und üben
Warum entsteht hinter einer Zerstreuungslinse kein gewöhnliches Schirmbild? Zeichne die Hauptstrahlen, finde den virtuellen Bildpunkt und rechne mit negativer Brennweite sicher.
Auseinanderlaufende Strahlen – virtuelles Bild
Für einen reellen Gegenstand vor einer einzelnen Zerstreuungslinse ist das Bild virtuell, aufrecht und verkleinert.
Seine Lage ergibt sich aus den gedachten Rückverlängerungen der austretenden Strahlen.
Lernschritt 1
Was unterscheidet die Zerstreuungslinse?
Eine Zerstreuungslinse lässt achsenparallel einfallende Strahlen auseinanderlaufen. Ihre Rückverlängerungen treffen sich im gegenstandsseitigen Brennpunkt. Eine typische Glaslinse in Luft ist in der Mitte dünner als am Rand.
Auch hier entsteht die Wirkung durch Brechung an zwei Oberflächen. Im Modell der dünnen Linse zeichnen wir die Richtungsänderung zusammengefasst an der Linsenebene. Die Form allein ist nicht unter allen Umständen ausreichend: Auch die Brechungsindizes von Linse und Umgebung bestimmen die Wirkung.
Wir betrachten eine einzelne dünne Linse mit einem reellen Gegenstand vor der Linse. Aussagen wie „immer virtuell“ beziehen sich auf diesen Aufbau. In optischen Systemen mit mehreren Linsen und bereits zusammenlaufenden Strahlen sind andere Situationen möglich.
Lernschritt 2
Warum ist die Brennweite negativ?
Bei Lichteinfall von links divergieren achsenparallele Strahlen nach der Linse so, als kämen sie vom linken Brennpunkt. Sie laufen dort nicht wirklich zusammen. Deshalb nennt man diesen Brennpunkt virtuell.
Für unsere Linsengleichung erhält eine Zerstreuungslinse eine negative Brennweite f. Ein Brennweitenbetrag von 10 cm wird als f = −10 cm eingesetzt.
Das Minuszeichen ist eine Vorzeichenkonvention mit physikalischer Bedeutung: Es unterscheidet die zerstreuende von der sammelnden Wirkung. Die geometrische Entfernung zum Brennpunkt bleibt natürlich eine positive Länge von 10 cm.
Auch eine Zerstreuungslinse besitzt für die beiden Beleuchtungsrichtungen entsprechende Brennpunkte auf beiden Seiten. In den Zeichnungen sind deren Orte mit F markiert; der Abstand beträgt jeweils |f|.
Lernschritt 3
Den virtuellen Bildpunkt konstruieren
- Zeichne Achse, dünne Linse und beide Brennpunkte.
- Stelle den Gegenstand als Pfeil vor die Linse.
- Ziehe von der Spitze einen achsenparallelen Strahl zur Linse.
- Zeichne ihn hinter der Linse auseinanderlaufend weiter: Seine Rückverlängerung muss durch den gegenstandsseitigen Brennpunkt gehen.
- Ziehe einen zweiten Strahl durch die Linsenmitte. Er verläuft im Dünnlinsenmodell gerade weiter.
- Verlängere die austretenden Strahlen gestrichelt rückwärts. Ihr Schnittpunkt ist die Bildspitze.
Der Bildpunkt liegt zwischen Gegenstand und Linse, außerdem innerhalb der Brennweitenentfernung auf der Gegenstandsseite. Zeichne den Bildpfeil von der Achse zu diesem Punkt.
Als Kontrolle eignet sich ein Strahl, der vor der Linse auf den gegenüberliegenden Brennpunkt zielt: Hinter der Zerstreuungslinse läuft er achsenparallel. Er muss nicht tatsächlich erst diesen Brennpunkt erreichen.
Lernschritt 4
Ausprobieren: Den Gegenstand verschieben
Die austretenden Strahlen laufen in beiden Zuständen auseinander. Nur ihre gestrichelten Rückverlängerungen schneiden sich auf der linken Seite. Das Bild ist aufrecht und kleiner als der Gegenstand.
Im ersten Zustand ist der Gegenstand zwei Brennweitenbeträge entfernt. Der Bildabstand beträgt zwei Drittel von |f| und die Bildhöhe ein Drittel der Gegenstandshöhe. Im zweiten Zustand liegt der Gegenstand bei |f|; Bildabstand und Bildhöhe entsprechen dann jeweils dem halben zugehörigen Ausgangswert |f| beziehungsweise G.
Beim Annähern rückt das virtuelle Bild näher an die Linse und wird relativ zum Gegenstand größer. Es bleibt aber für jeden positiven endlichen Gegenstandsabstand kleiner als der Gegenstand.
Lernschritt 5
Was bedeutet virtuell beim Blick durch die Linse?
Das Auge hinter der Linse empfängt tatsächlich austretende Lichtstrahlen. Diese kommen aus Richtungen, deren Rückverlängerungen zum virtuellen Bildpunkt führen. Deshalb erscheint der Gegenstand an dieser Stelle.
Am virtuellen Bildpunkt wird jedoch kein Licht durch die Linse real gesammelt. Ein Schirm an diesem Ort kann das Bild der Linse deshalb nicht unmittelbar auffangen. Der gezeichnete gestrichelte Strahl ist eine Hilfslinie, keine zusätzliche Lichtausbreitung rückwärts.
Virtuell bedeutet nicht unsichtbar oder beliebig. Die Lage ist geometrisch bestimmt und berechenbar. Das Auge oder eine Kamera kann aus den empfangenen Strahlen mit seiner eigenen Optik wieder ein reelles Bild auf Netzhaut oder Sensor erzeugen.
Lernschritt 6
Mit einer klaren Vorzeichenregel rechnen
Wir benutzen dieselbe Dünnlinsengleichung wie bei Sammellinsen, aber mit gerichteten Größen:
= +
- g > 0: reeller Gegenstand vor der Linse.
- f < 0: Zerstreuungslinse.
- b < 0: virtuelles Bild auf der Gegenstandsseite.
Für die Bildhöhe verwenden wir die gerichtete Vergrößerung:
m = = −
Bei b < 0 und g > 0 ist m positiv: Das Bild ist aufrecht. Bei einem reellen Bild einer Sammellinse ist b positiv und m negativ, also das Bild umgekehrt. Andere Lehrbücher können andere Vorzeichenkonventionen verwenden; übernimm niemals einzelne Vorzeichen ohne die zugehörige Definition.
Lernschritt 7
Ein vollständiges Beispiel mit negativer Bildweite
Gegeben sind f = −10 cm, g = 30 cm und G = 6 cm. Zuerst nach b auflösen:
= − = −
b = −7,5 cm
Das Bild liegt 7,5 cm vor der Linse, auf derselben Seite wie der Gegenstand. Die Entfernung ist nicht negativ; das Vorzeichen kennzeichnet die Seite.
m = − = +0,25
B = 0,25 · 6 cm = 1,5 cm
Das Bild ist aufrecht und ein Viertel so hoch. Es liegt zwischen Gegenstand und Linse sowie näher an der Linse als der gegenstandsseitige Brennpunkt. Alle Merkmale passen zur Konstruktion.
Alternativ kannst du direkt b = f · g geteilt durch (g − f) verwenden. Hier ist g − f = 30 cm − (−10 cm) = 40 cm. Wer das doppelte Minus übersieht, erhält eine falsche Bildweite.
Lernschritt 8
Brechkraft, Brillenglas und die Grenzen des Modells
Die Brechkraft D wird in Dioptrien angegeben. Sie ist der Kehrwert der Brennweite in Metern:
D =
Für f = −0,50 m ergibt sich D = −2,0 dpt. Ein größerer Betrag der negativen Brechkraft bedeutet einen kleineren Brennweitenbetrag und eine stärkere zerstreuende Wirkung.
Zerstreuende Brillengläser werden zur optischen Korrektur von Kurzsichtigkeit verwendet. Das System aus Brillenglas und Auge muss gemeinsam betrachtet werden: Das Auge erzeugt schließlich ein reelles Bild auf der Netzhaut. Die Aussage über ein virtuelles Bild der einzelnen Zerstreuungslinse beschreibt nur einen Zwischenschritt.
Bei optischen Geräten können Linsen kombiniert werden. Die Regeln dieser Seite ersetzen deshalb keine vollständige Konstruktion eines Linsensystems.
Für den Unterricht: Gib eine Konstruktion ohne gestrichelte Linien vor. Die Lernenden sollen begründen, warum kein realer Strahlenschnitt entsteht, und anschließend die Rückverlängerungen ergänzen. Erst danach b und m berechnen und die Vorzeichen deuten.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Welche Brennweite setzt du für eine Zerstreuungslinse mit 20 cm Brennweitenbetrag ein?
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f = −20 cm in der hier verwendeten Konvention.
Erklärung wiederholen →3 · f = −10 cm, g = 10 cm. Berechne b.
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b = f · g geteilt durch (g − f) = −100 cm² geteilt durch 20 cm = −5 cm.
Erklärung wiederholen →4 · g = 20 cm, b = −5 cm. Welche gerichtete Vergrößerung folgt?
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m = −b/g = +0,25. Das Bild ist aufrecht und auf ein Viertel verkleinert.
Erklärung wiederholen →5 · Kann ein Schirm hinter dieser einzelnen Linse das Bild eines reellen Gegenstands scharf auffangen?
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Nein. Die austretenden Strahlen treffen sich nicht in einem reellen Bildpunkt. Das Bild ist virtuell.
Erklärung wiederholen →6 · f = −0,25 m. Wie groß ist die Brechkraft?
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D = 1/f = −4,0 dpt. Die Brennweite muss dafür in Metern eingesetzt werden.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Ist das Bild einer Zerstreuungslinse immer kleiner?
Für einen reellen Gegenstand vor einer einzelnen dünnen Zerstreuungslinse ja. Andere Eingangsbündel in Linsensystemen erfordern eine eigene Betrachtung.
Bedeutet b < 0, dass keine Bildlage existiert?
Nein. Es kennzeichnet in unserer Konvention die virtuelle Bildlage auf der Gegenstandsseite.
Warum wird die Brechkraft in Dioptrien angegeben?
Eine Dioptrie entspricht einem inversen Meter. Die Größe beschreibt die Wirkung über den Kehrwert der Brennweite.