1 · Was wird aus einem achsenparallel einfallenden Strahl?
Lösung und Rechenweg ansehen
Er verläuft hinter der Sammellinse durch den bildseitigen Brennpunkt.
Erklärung wiederholen →Physik · Optik · Grundlagen
Sammellinsen: verstehen und üben
Wie erzeugt eine Linse ein scharfes Bild? Konstruiere Lichtwege, vergleiche verschiedene Gegenstandsweiten und berechne Bildweite und Bildgröße. Auch der vergrößerte Blick durch eine Lupe wird verständlich.
Licht bündeln – Bilder erzeugen
= +
Eine Sammellinse kann ein reelles Bild auf einem Schirm erzeugen. Ob das gelingt und wie groß es wird, hängt vom Abstand des Gegenstands zur Linse ab.
Lernschritt 1
Was macht eine Sammellinse?
Eine Sammellinse lenkt achsenparallel einfallende Lichtstrahlen in Richtung eines gemeinsamen Brennpunkts. Eine typische Glaslinse in Luft ist dafür in der Mitte dicker als am Rand. Die Wirkung entsteht durch Brechung an ihren beiden Oberflächen.
Wir verwenden das Modell einer dünnen Linse: Ihre Dicke wird gegenüber den übrigen Abständen vernachlässigt. Die Richtungsänderung zeichnen wir an einer einzigen Linsenebene. Das ist eine vereinfachte Darstellung der Brechung an zwei Flächen.
Die Regeln gelten näherungsweise für achsennahe Strahlen und kleine Winkel. Reale Linsen können Unschärfen, Farbfehler und weitere Abbildungsfehler zeigen. Eine maßstäbliche Schulzeichnung erklärt zunächst die ideale Bildlage.
Lernschritt 2
Brennpunkt und die fünf wichtigen Größen
Die optische Achse verläuft durch die Linsenmitte. Auf ihr liegen die beiden Brennpunkte: Bei Beleuchtung von links sammeln sich achsenparallele Strahlen im rechten Brennpunkt; bei Beleuchtung von rechts entsprechend im linken.
Die Brennweite f ist die Entfernung zwischen Linsenebene und Brennpunkt. In unseren Rechnungen ist sie für die Sammellinse positiv. g bezeichnet die Gegenstandsweite, b die Bildweite, G die Gegenstandshöhe und B die Bildhöhe.
Alle Weiten werden von der Linse aus gemessen. Der Abstand zwischen Gegenstand und Schirm ist bei einem reellen Bild g + b, nicht allein b. Brennweite und Bildweite sind verschiedene Größen: Ein naher Gegenstand wird im Allgemeinen nicht genau in der Brennebene abgebildet.
Lernschritt 3
Mit zwei Hauptstrahlen ein Bild konstruieren
- Zeichne Achse, Linsenebene und beide Brennpunkte.
- Zeichne den Gegenstand als Pfeil senkrecht zur Achse.
- Ziehe von seiner Spitze einen Strahl parallel zur Achse. Hinter der Sammellinse verläuft er durch den bildseitigen Brennpunkt.
- Ziehe einen zweiten Strahl von der Spitze durch die Linsenmitte. Im Dünnlinsenmodell läuft er gerade weiter.
- Der Schnittpunkt hinter der Linse ist die Bildspitze. Ergänze den Bildpfeil bis zur Achse.
Ein dritter Hauptstrahl kann als Kontrolle dienen: Ein Strahl durch den gegenstandsseitigen Brennpunkt wird hinter der Linse achsenparallel. Zwei korrekt gezeichnete Strahlen reichen zur Bestimmung eines Bildpunkts.
Alle verwendeten Strahlen müssen vom selben Gegenstandspunkt ausgehen. Die Linse vereinigt nicht sämtliche Strahlen des gesamten Gegenstands in einem einzigen Punkt. Verschiedene Punkte erzeugen verschiedene Bildpunkte.
Lernschritt 4
Ausprobieren: Den Gegenstand näher stellen
Außerhalb der doppelten Brennweite entsteht zwischen F und 2F auf der anderen Linsenseite ein verkleinertes, umgekehrtes, reelles Bild. Im ersten Bild beträgt g = 3f und b = 1,5f.
Wird der Gegenstand zwischen F und 2F gestellt, entsteht das reelle Bild jenseits von 2F. Es ist größer als der Gegenstand und weiterhin umgekehrt. Im zweiten Zustand gilt g = 1,5f und b = 3f.
Die Linse bleibt unverändert. Obwohl der Gegenstand näher rückt, entfernt sich das Bild. Ein feststehender Schirm müsste deshalb verschoben werden, um das neue Bild scharf aufzufangen.
Lernschritt 5
Die Bildfälle nach der Gegenstandsweite ordnen
- g > 2f: reell, umgekehrt, verkleinert; f < b < 2f.
- g = 2f: reell, umgekehrt, gleich groß; b = 2f.
- f < g < 2f: reell, umgekehrt, vergrößert; b > 2f.
- g = f: Die Strahlen eines Gegenstandspunkts verlassen die ideale Linse parallel. Es entsteht kein Bild in endlicher Entfernung.
- 0 < g < f: virtuell, aufrecht und vergrößert auf der Gegenstandsseite.
Reell heißt, dass sich die Strahlen tatsächlich treffen und ein Schirm an diesem Ort ein Bild auffangen kann. Virtuell heißt, dass nur gedachte Rückverlängerungen einen Bildpunkt ergeben.
Lernschritt 6
Bildweite und Bildhöhe vollständig berechnen
Für eine dünne Linse gilt die Linsengleichung. Für die Bildweite umgestellt:
b =
Beispiel: f = 10 cm, g = 30 cm und G = 6 cm. Wir verwenden durchgehend Zentimeter.
b = = 15 cm
Das positive b kennzeichnet hier ein reelles Bild hinter der Linse. Für den Betrag der Vergrößerung beim reellen Bild gilt:
= = = 0,5
Die Bildhöhe hat den Betrag 3 cm. Der Bildpfeil ist nach unten gerichtet. Mit vorzeichenbehafteter Bildhöhe schreibt man B = −3 cm. Die Rechnung stimmt mit dem Bildfall g > 2f überein.
Nicht f = g + b rechnen. Die Linsengleichung verknüpft Kehrwerte. Bei g = f darfst du in der umgestellten Formel nicht durch null teilen; dieser Fall hat keine endliche Bildweite.
Lernschritt 7
Innerhalb der Brennweite: die Wirkung einer Lupe
Bei g < f laufen die austretenden Strahlen eines Gegenstandspunkts auseinander. Ihre gedachten Rückverlängerungen treffen sich auf der Gegenstandsseite. Du siehst beim Blick durch die Linse ein aufrechtes, vergrößertes virtuelles Bild.
Mit f = 10 cm und g = 5 cm ergibt sich b = −10 cm. Das Minuszeichen kennzeichnet die Bildlage auf der Gegenstandsseite. Für die gerichtete Vergrößerung gilt m = −b/g = +2: Das Bild ist aufrecht und doppelt so hoch.
Das ist das Grundprinzip einer Lupe. Die wahrgenommene Winkelvergrößerung hängt zusätzlich von Auge, Betrachtungsabstand und Einstellung ab. Sie ist nicht einfach in jeder Situation mit der berechneten Bildhöhenvergrößerung gleichzusetzen.
Lernschritt 8
Scharfstellen und typische Denkfehler
Für ein reelles Bild braucht der Schirm die passende Entfernung b. Eine Linse erzeugt nicht bei jeder beliebigen Schirmposition ein scharfes Bild. Bei einer Kamera übernimmt ein Sensor die Rolle des Schirms; beim Fokussieren wird die optische Einstellung an die Gegenstandsweite angepasst.
Deckst du einen Teil der Linse ab, bleibt im idealen Abbildungsmodell für ein noch durchgelassenes Strahlenbündel das ganze Bild erhalten, wird aber dunkler. Es verschwindet nicht automatisch die entsprechende Bildhälfte: Jeder Gegenstandspunkt sendet Licht zu mehreren Stellen der Linse.
Für den Unterricht: Zuerst den Bildfall vorhersagen lassen, dann zwei Strahlen zeichnen und erst danach rechnen. Beim Verschieben des Gegenstands soll die Klasse auch die nötige neue Schirmposition begründen.
Für praktische Versuche eignen sich beleuchtete Gegenstände und Schuloptik. Niemals mit einer Linse direkt in die Sonne schauen oder Sonnenlicht auf Augen richten.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · g = 3f. Ist das Bild größer oder kleiner als der Gegenstand?
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Kleiner, reell und umgekehrt. Es liegt zwischen f und 2f hinter der Linse.
Erklärung wiederholen →3 · f = 10 cm und g = 20 cm. Berechne b.
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b = f · g geteilt durch (g − f) = 200 cm² geteilt durch 10 cm = 20 cm.
Erklärung wiederholen →4 · G = 4 cm, g = 30 cm, b = 15 cm. Wie groß ist das reelle Bild?
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Der Betrag der Bildhöhe ist 4 cm · 0,5 = 2 cm. Das Bild ist umgekehrt.
Erklärung wiederholen →5 · Was passiert bei g = f?
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Die Strahlen eines Gegenstandspunkts verlassen die Linse parallel. Ein scharfes Bild entsteht nicht in endlicher Schirmentfernung.
Erklärung wiederholen →6 · Kann eine Sammellinse ein virtuelles Bild erzeugen?
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Ja. Bei einem reellen Gegenstand innerhalb der Brennweite ist das Bild virtuell, aufrecht und vergrößert.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Liegt das Bild immer im Brennpunkt?
Nein. Für einen Gegenstand in endlicher Entfernung liegt das reelle Bild bei einer Sammellinse weiter als f entfernt. Sehr weit entfernte Gegenstände werden näherungsweise in der Brennebene abgebildet.
Warum steht ein reelles Bild auf dem Kopf?
Die Strahlen von der oberen Gegenstandsspitze treffen sich unterhalb der Achse. Die Bildkonstruktion zeigt die Umkehrung.
Kann ich das Lupenbild auf einem Schirm auffangen?
Nicht direkt am virtuellen Bildort. Dort treffen sich keine tatsächlichen austretenden Strahlen.