Warum besitzt Wasserstoff bestimmte Spektrallinien? Berechne erlaubte Energien, Anregung und Ionisation und untersuche die Abstände zwischen den Niveaus.
Drei kurze Aufgaben helfen dir, deinen Startpunkt zu finden. Wenn du unsicher bist, wähle „Weiß ich noch nicht“.
Löse die Aufgaben ohne Nachschlagen. Bei Zahlen sind Dezimalkomma und Dezimalpunkt möglich. Verwende keine Tausenderpunkte.
Lernschritt 1
Ein Wasserstoffatom besteht aus einem Proton und einem Elektron. Niels Bohr verband ein historisches Bahnmodell mit der Forderung, dass nur bestimmte Zustände erlaubt sind. So konnte er wesentliche Linien des Wasserstoffspektrums erklären.
Im Modell werden stationäre Kreisbahnen angenommen: Auf einer solchen Bahn soll das Elektron keine Energie abstrahlen. Strahlung entsteht beim Übergang zwischen erlaubten Zuständen. Diese Annahmen folgen nicht aus der klassischen Elektrodynamik; sie waren ein Schritt zur Quantenphysik.
Heute beschreibt man Elektronen mit Quantenzuständen und Orbitalen. Ein Orbital ist keine Kreisbahn. Das Bohr-Modell ist daher eine nützliche historische Näherung für Energien, aber kein maßstabsgetreuer Film vom Inneren eines Atoms.
Lernschritt 2
En = −13,6 eVn²; n = 1, 2, 3, …
n heißt Hauptquantenzahl. n = 1 ist der Grundzustand; n ≥ 2 bezeichnet angeregte Energieniveaus. Die Formel gilt näherungsweise für Wasserstoff. Feinstruktur und andere kleine Korrekturen werden hier nicht aufgelöst.
Der Nullpunkt ist so gewählt, dass ein freies, ruhendes Elektron in sehr großer Entfernung vom Proton die Energie 0 besitzt. Gebundene Zustände haben deshalb negative Gesamtenergie. Das bedeutet keine negative Bewegungsenergie.
E₁ = −13,6 eV; E₂ = −3,40 eV; E₃ ≈ −1,511 eV; E₄ = −0,850 eV
Je größer n wird, desto weniger negativ ist die Energie. Das Atom ist dann leichter zu ionisieren. Die Differenz zwischen n = 1 und n = 2 beträgt 10,2 eV; zwischen n = 3 und n = 4 nur noch etwa 0,661 eV.
Notiere Anfangs- und Endwert von n. Erlaubt sind positive ganze Zahlen ab 1.
Eₙ = −13,6 eV/n². Erst n quadrieren, dann dividieren; das Minus bleibt stehen.
Emission: Eoben − Eunten. Ionisation: 0 − EAnfang. Die gesuchte Energie ist jeweils positiv.
Falls eine Wellenlänge gesucht ist: λ ≈ 1240 eV·nm/Eγ. Rechne mit ungerundeten Zwischenwerten.
Lernschritt 3
Wähle einen Zustand. Die grüne Linie markiert seine Energie auf einer festen Skala. Sage vorher voraus: Aus welchem Zustand lässt sich das Elektron am leichtesten lösen?
Vergleiche n = 1 mit n = 4. Aus n = 4 fehlen nur 0,850 eV bis 0 eV, aus n = 1 dagegen 13,6 eV. Ein höheres Niveau bedeutet hier weniger starke Bindung. Die Skala bleibt beim Umschalten unverändert.
Lernschritt 4
Beispiel · Schritt für Schritt
Ein Wasserstoffatom wechselt von n = 3 nach n = 2. Gesucht sind Photonenenergie und Wellenlänge.
Modell: Eₙ = −13,6 eV/n².
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| E₃ = −13,6 eV3² ≈ −1,511 eV |
1Anfangsenergie bestimmen
3² = 9. Der angeregte Zustand besitzt eine negative gebundene Energie. |
| E₂ = −13,6 eV2² = −3,400 eV |
2Endenergie bestimmen
Der Endzustand liegt tiefer. Das Atom gibt Energie ab. |
| Eγ = E₃ − E₂ ≈ 1,889 eV |
3Differenz bilden
Mit Klammern: (−1,511) − (−3,400). Verwende intern möglichst die ungerundeten Werte. |
| λ ≈ 1240 eV·nm1,889 eV ≈ 656 nm |
4Wellenlänge bestimmen
Das Endniveau n = 2 ordnet den Übergang der Balmer-Serie zu. |
Beispiel · Schritt für Schritt
Wie viel Energie ist mindestens nötig, und wie lang darf die Wellenlänge eines ionisierenden Photons höchstens sein?
Gegeben: n = 2; Ionisationsgrenze 0 eV.
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| E₂ = −13,6 eV/4 = −3,40 eV |
1Gebundene Energie berechnen
Wir starten bereits im angeregten Zustand n = 2, nicht im Grundzustand. |
| Eion = 0 − (−3,40) = 3,40 eV |
2Bindung überwinden
Das freie Elektron hat an der idealen Schwelle noch keine kinetische Überschussenergie. |
| λmax ≈ 1240 eV·nm3,40 eV ≈ 365 nm |
3Grenzwellenlänge berechnen
Ein Photon mit kürzerer Wellenlänge besitzt mehr Energie; ein längeres reicht nicht aus. |
Beispiel · Schritt für Schritt
Welche Photonenenergie passt zur Anregung des Wasserstoffatoms vom Grundzustand nach n = 2?
Gegeben: E₁ = −13,6 eV; E₂ = −3,40 eV.
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| Eγ = E₂ − E₁ = (−3,40) − (−13,6) |
1Höhere minus niedrigere Energie
Bei Absorption nimmt das Atom die positive Energiedifferenz auf. |
| Eγ = 10,2 eV |
2Differenz ausrechnen
Das Elektron bleibt gebunden. Die 13,6 eV bis zur Ionisation sind noch nicht erreicht. |
| λ ≈ 1240/10,2 nm ≈ 122 nm |
3Spektralbereich prüfen
Die passende Wellenlänge liegt im Ultraviolett. Etwas mehr Energie passt nicht automatisch zum selben gebundenen Übergang. |
Lernschritt 5
Anregung: Das Elektron bleibt gebunden. Vom Grundzustand nach n = 2 muss das Atom 10,2 eV aufnehmen. Bei einer passenden Photonabsorption entspricht die Photonenenergie der Energiedifferenz.
Ionisation: Das Elektron wird frei. Vom Grundzustand sind mindestens 13,6 eV erforderlich, aus n = 2 nur 3,40 eV. Bei Photonionisation kann eine größere Photonenenergie den Überschuss als kinetische Energie liefern, wenn der kleine Rückstoß des Ions vernachlässigt wird.
Eion(n) = 0 − En = 13,6 eVn²
Beispiel: Ein Photon mit 15,0 eV ionisiert Wasserstoff im Grundzustand. Für das freie Elektron bleiben näherungsweise 15,0 eV − 13,6 eV = 1,4 eV Bewegungsenergie.
Ein angeregtes Atom ist leichter zu ionisieren
Alle grünen Balken verwenden dieselbe Skala. Sie zeigen die positive Energie bis zur Ionisationsgrenze, nicht die negative Niveauenergie.
Von n = 1 aus brauchst du 13,6 eV. Von n = 2 aus ist es ein Viertel davon; von n = 4 aus ein Sechzehntel. Ein kürzerer Balken bedeutet eine schwächere Bindung des Elektrons.
Lernschritt 6
Übergänge auf n = 1 gehören zur Lyman-Serie und liegen im Ultraviolett. Die Balmer-Serie endet bei n = 2; ihre ersten Linien sind sichtbar, ihre Seriengrenze liegt im Ultraviolett. Die Paschen-Serie endet bei n = 3 und liegt im Infrarot.
Die Linien rücken zur Seriengrenze hin zusammen, weil die oberen Niveaus immer dichter liegen. Linienpositionen allein sagen noch nichts über ihre Helligkeit: Dazu zählen auch Besetzungen und Übergangswahrscheinlichkeiten.
Für wasserstoffartige Ionen mit genau einem Elektron erweitert sich die Näherung um den Faktor Z², wobei Z die Kernladungszahl ist. Für gewöhnliche Mehrelektronenatome darf man die Wasserstoffformel nicht einfach übernehmen. Elektronenwechselwirkungen und weitere Quanteneigenschaften erfordern ein genaueres Modell.
Die Serie erkennst du am Endniveau
Jede Spalte fasst mehrere mögliche Emissionen von höheren Niveaus auf dasselbe Endniveau zusammen: Lyman endet bei n = 1, Balmer bei n = 2, Paschen bei n = 3.
Die ersten Balmer-Linien sind sichtbar; zur Seriengrenze hin reicht die Serie ins Ultraviolett. Diese Ordnungsskizze verwendet bewusst keine Energieskala. Die Pfeillängen stellen keine Energiedifferenzen dar.
Lernschritt 7
−13,6 eV für kleiner halten als −3,4 eV und deshalb „höher“ zeichnen: −13,6 eV ist tatsächlich die niedrigere Energie und gehört weiter nach unten.
Die Niveauenergie direkt als Photonenenergie einsetzen: Für einen Übergang zählt die Differenz zweier Niveaus.
n = 0 einsetzen: Erlaubt sind hier positive ganze Zahlen ab 1.
Kreisbahnen für eine moderne Beobachtung halten: Sie gehören zum historischen Modell, nicht zu einer nachgewiesenen Elektronenflugbahn.
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Die Aufgaben sind unterschiedlich. Die Ergebnisse geben dir eine kurze Orientierung zu deinem Lernstand.
Physikhelfer
Berechne den Betrag einer Wasserstoff-Niveauenergie mit dem gerundeten Schulwert 13,6 eV. Die Niveauenergie selbst ist negativ, bezogen auf die Ionisationsgrenze. Wähle deine gesuchte Größe und lass dir den Rechenweg Schritt für Schritt zeigen.
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−3,40 eV.
10,2 eV: −3,4 eV − (−13,6 eV).
0,850 eV bis zur Grenze bei 0 eV.
Die Balmer-Serie.
Ungefähr 122 nm: ultraviolett. Es ist die Energie des Übergangs n = 2 nach n = 1.
Nein. Ihre vertikale Position zeigt die Gesamtenergie eines Zustands.
Fachlicher Abgleich der Grundgleichung: OpenStax · University Physics 3. Texte, Zahlenbeispiele und Schaubilder sind eigenständig erstellt.
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