Wasserstoff und Bohr-Modell: verstehen und üben

Was erklärt das Bohr-Modell?

Ein Wasserstoffatom besteht aus einem Proton und einem Elektron. Niels Bohr verband ein historisches Bahnmodell mit der Forderung, dass nur bestimmte Zustände erlaubt sind. So konnte er wesentliche Linien des Wasserstoffspektrums erklären.

Im Modell werden stationäre Kreisbahnen angenommen: Auf einer solchen Bahn soll das Elektron keine Energie abstrahlen. Strahlung entsteht beim Übergang zwischen erlaubten Zuständen. Diese Annahmen folgen nicht aus der klassischen Elektrodynamik; sie waren ein Schritt zur Quantenphysik.

Heute beschreibt man Elektronen mit Quantenzuständen und Orbitalen. Ein Orbital ist keine Kreisbahn. Das Bohr-Modell ist daher eine nützliche historische Näherung für Energien, aber kein maßstabsgetreuer Film vom Inneren eines Atoms.

Die Wasserstoffenergien berechnen

E_n = −13,6 eVn²;   n = 1, 2, 3, …

n heißt Hauptquantenzahl. n = 1 ist der Grundzustand; n ≥ 2 bezeichnet angeregte Energieniveaus. Die Formel gilt näherungsweise für Wasserstoff. Feinstruktur und andere kleine Korrekturen werden hier nicht aufgelöst.

Der Nullpunkt ist so gewählt, dass ein freies, ruhendes Elektron in sehr großer Entfernung vom Proton die Energie 0 besitzt. Gebundene Zustände haben deshalb negative Gesamtenergie. Das bedeutet keine negative Bewegungsenergie.

E₁ = −13,6 eV;   E₂ = −3,40 eV;   E₃ ≈ −1,511 eV;   E₄ = −0,850 eV

Je größer n wird, desto weniger negativ ist die Energie. Das Atom ist dann leichter zu ionisieren. Die Differenz zwischen n = 1 und n = 2 beträgt 10,2 eV; zwischen n = 3 und n = 4 nur noch etwa 0,661 eV.

Wie viel Energie fehlt bis zur Ionisation?

Wähle einen Zustand. Die grüne Linie markiert seine Energie auf einer festen Skala. Sage vorher voraus: Aus welchem Zustand lässt sich das Elektron am leichtesten lösen?

Die rote Balmer-Linie Schritt für Schritt

Ein angeregtes Wasserstoffatom geht von n = 3 nach n = 2 über. Gesucht sind die abgegebene Photonenenergie und ihre Vakuumwellenlänge.

E_γ = E₃ − E₂ = 13,6 eV2² − 13,6 eV3² ≈ 1,889 eV

Höheres minus niedrigeres Niveau ergibt die positive abgegebene Energie. Rechne möglichst mit ungerundeten Zwischenwerten.

λ = h · cE_γ ≈ 1240 eV·nm1,889 eV ≈ 656 nm

Das ist rotes sichtbares Licht. Der Übergang gehört zur Balmer-Serie, deren Endniveau n = 2 ist. Für die umgekehrte Absorption muss das Atom bereits im passenden unteren Zustand sein; außerdem muss der Übergang erlaubt sein.

Anregung und Ionisation unterscheiden

Anregung: Das Elektron bleibt gebunden. Vom Grundzustand nach n = 2 muss das Atom 10,2 eV aufnehmen. Bei einer passenden Photonabsorption entspricht die Photonenenergie der Energiedifferenz.

Ionisation: Das Elektron wird frei. Vom Grundzustand sind mindestens 13,6 eV erforderlich, aus n = 2 nur 3,40 eV. Bei Photonionisation kann eine größere Photonenenergie den Überschuss als kinetische Energie liefern, wenn der kleine Rückstoß des Ions vernachlässigt wird.

E_ion(n) = 0 − E_n = 13,6 eVn²

Beispiel: Ein Photon mit 15,0 eV ionisiert Wasserstoff im Grundzustand. Für das freie Elektron bleiben näherungsweise 15,0 eV − 13,6 eV = 1,4 eV Bewegungsenergie.

Spektralserien und Grenzen des Modells

Übergänge auf n = 1 gehören zur Lyman-Serie und liegen im Ultraviolett. Die Balmer-Serie endet bei n = 2; ihre ersten Linien sind sichtbar, ihre Seriengrenze liegt im Ultraviolett. Die Paschen-Serie endet bei n = 3 und liegt im Infrarot.

Die Linien rücken zur Seriengrenze hin zusammen, weil die oberen Niveaus immer dichter liegen. Linienpositionen allein sagen noch nichts über ihre Helligkeit: Dazu zählen auch Besetzungen und Übergangswahrscheinlichkeiten.

Für wasserstoffartige Ionen mit genau einem Elektron erweitert sich die Näherung um den Faktor Z², wobei Z die Kernladungszahl ist. Für gewöhnliche Mehrelektronenatome darf man die Wasserstoffformel nicht einfach übernehmen. Elektronenwechselwirkungen und weitere Quanteneigenschaften erfordern ein genaueres Modell.

Typische Fehler vermeiden

−13,6 eV für kleiner halten als −3,4 eV und deshalb „höher“ zeichnen: −13,6 eV ist tatsächlich die niedrigere Energie und gehört weiter nach unten.

Die Niveauenergie direkt als Photonenenergie einsetzen: Für einen Übergang zählt die Differenz zweier Niveaus.

n = 0 einsetzen: Erlaubt sind hier positive ganze Zahlen ab 1.

Kreisbahnen für eine moderne Beobachtung halten: Sie gehören zum historischen Modell, nicht zu einer nachgewiesenen Elektronenflugbahn.

Sechs Aufgaben zum Selbstcheck

Erst vorhersagen oder selbst rechnen, dann die Lösung öffnen.

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