Uneigentliche Integrale: verstehen und üben

Lernschritt 1

Wann ein Integral uneigentlich ist

Bei den üblichen bestimmten Integralen betrachten wir beispielsweise eine stetige Funktion auf einem endlichen Intervall. Uneigentliche Integrale gehen darüber hinaus: Eine Grenze kann unendlich sein oder die Funktion kann in der Nähe einer Stelle unbeschränkt werden.

Beispiele sind das Integral von 1 durch x² von 1 bis unendlich und das Integral von 1 durch √x von 0 bis 1. Im zweiten Beispiel ist das Intervall endlich, aber die Funktion wächst nahe 0 unbegrenzt.

Beide Fälle werden durch einen Grenzwert gewöhnlicher Integrale definiert. Man setzt unendlich oder eine problematische Stelle nicht einfach wie eine normale Zahl in eine Stammfunktion ein.

Lernschritt 2

Eine unendliche Grenze durch eine Variable ersetzen

Für eine Funktion, die auf jedem endlichen Teilintervall ab a integrierbar ist, berechnest du zunächst bis zu einer endlichen Grenze R:

∫Ra f(x) dx

Dann lässt du R gegen unendlich wachsen. Besitzt dieser Ausdruck einen endlichen Grenzwert, heißt das uneigentliche Integral konvergent. Dieser Grenzwert ist sein Wert.

Wächst der Ausdruck unbegrenzt oder besitzt er keinen Grenzwert, ist das Integral divergent. Auch ein Grenzwert von plus oder minus unendlich ist keine Konvergenz zu einem endlichen Integralwert.

Lernschritt 3

Beispiel: ein endlicher Wert auf unendlichem Intervall

Untersuche 1 durch x² ab x = 1. Eine Stammfunktion ist −1 durch x. Für R > 1 folgt:

∫R1 1x² dx = 1 − 1R

Wenn R gegen unendlich geht, geht 1 durch R gegen 0. Der Integralwert nähert sich also 1:

∫∞1 1x² dx = 1

Der Graph liegt oberhalb der x-Achse. Deshalb ist der Integralwert hier zugleich ein Flächeninhalt. Die Fläche erstreckt sich unendlich weit, ist insgesamt aber endlich.

Lernschritt 4

Gegenbeispiel: kleine Funktionswerte reichen nicht

Für 1 durch x ab x = 1 ist eine Stammfunktion ln(x). Daher:

∫R1 1x dx = ln(R)

ln(R) wächst unbegrenzt. Das Integral divergiert gegen plus unendlich. Dabei gehen die Funktionswerte 1 durch x trotzdem gegen 0.

Lernschritt 5

Die Potenzregel für das unendliche Intervall

Für die positive Funktion x hoch −p auf [1; ∞) gilt:

∫∞1 x^−p dx = 1p − 1 für p > 1

Für p ≤ 1 divergiert dieses Integral. Bei p ≠ 1 ergibt die Potenzregel zunächst eine Stammfunktion x^1−p1 − p. Ob der Ausdruck an der oberen Grenze verschwindet, hängt vom Vorzeichen von 1 − p ab. Der Sonderfall p = 1 führt zum Logarithmus.

Beispiel: Für p = 3 erhältst du den Integralwert ein Halb.

Lernschritt 6

Eine unbeschränkte Funktion an einer endlichen Grenze

Untersuche 1 durch √x auf (0; 1]. Ersetze die untere Grenze 0 durch ε > 0 und lasse ε anschließend von rechts gegen 0 gehen.

∫1ε 1√x dx = 2 − 2√ε

Der Grenzwert ist 2. Das Integral konvergiert, obwohl die Funktion nahe 0 unbegrenzt wächst.

∫10 1√x dx = 2

Bei 1 durch x auf (0; 1] erhältst du dagegen −ln(ε). Dieser Ausdruck wächst für ε gegen 0 unbegrenzt. Das Integral divergiert.

Lernschritt 7

Achtung: nahe 0 gilt eine andere Schwelle

Für x hoch −p auf (0; 1] gilt:

∫10 x^−p dx = 11 − p für p < 1

Für p ≥ 1 divergiert das Integral. Das ist die umgekehrte Bedingung zum Intervall [1; ∞). Für p ≤ 0 ist die Funktion am Rand nicht unbeschränkt und lässt sich dort stetig ergänzen; dann ist keine echte Singularität vorhanden.

Prüfe deshalb immer, an welcher Stelle das Problem liegt. Eine auswendig gelernte Bedingung ohne Intervall führt leicht zum falschen Ergebnis.

Lernschritt 8

Problemstellen im Inneren getrennt behandeln

Liegt eine Singularität im Inneren des Integrationsintervalls, teilst du dort auf. Beide einseitigen uneigentlichen Integrale müssen unabhängig voneinander konvergieren.

Beispiel: 1 durch x auf [−1; 1] ist bei 0 nicht definiert. Das linke Integral divergiert gegen minus unendlich, das rechte gegen plus unendlich. Sie dürfen nicht zu 0 verrechnet werden.

Ein symmetrisches Abschneiden kann hier zwar 0 liefern; das ist der Cauchy-Hauptwert, nicht der Wert des gewöhnlichen uneigentlichen Integrals. Letzteres existiert hier nicht als endliche Zahl.

Auch bei Grenzen von minus unendlich bis plus unendlich teilst du an einer beliebigen endlichen Stelle auf und prüfst beide Seiten getrennt.

Lernschritt 9

Ein weiteres Beispiel mit einer Exponentialfunktion

Für k > 0 gilt:

∫∞0 e^−kx dx = 1k

Eine Stammfunktion ist −ein k-tel mal e hoch −kx. Für eine endliche Obergrenze R entsteht (1 − e hoch −kR) geteilt durch k. Der Exponentialterm geht gegen 0.

Bei k = 2 ist der Integralwert ein Halb. Ohne die Voraussetzung k > 0 darfst du diese Aussage nicht übernehmen: Für k = 0 ist der Integrand konstant 1, für k < 0 wächst er exponentiell.

Dein Wissen anwenden

Sechs Aufgaben zum Selbstcheck

Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.

Kostenlos weiterlernen

Passende Materialien zum Weiterlernen

Die kleinen Bilder zeigen eine Vorschau. Über Bild oder Link gelangst du zur Produktseite mit den Angaben zum Material und zum PDF-Bezug.

Kostenlos · Arbeitsblatt · PDF

Bestimmte Integrale als Grundlage festigen

Ergänzendes kostenloses Arbeitsblatt zu Integralanwendungen. Die gezielten Grenzwertaufgaben zu uneigentlichen Integralen findest du im Selbstcheck dieser Seite.

Material ansehen →

Häufige Fragen