Mathe · Klasse 11–13 · etwa 40–55 Minuten
Du berechnest Integrale, unterscheidest Bilanzen von Flächen und berücksichtigst Anfangsbestände.
Stammfunktionen, Nullstellen und Funktionswerte.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Drei kurze Aufgaben zeigen dir, wo du einsteigen kannst. Löse sie zunächst ohne Hilfe.
Zahlen mit Komma oder Punkt, Brüche exakt mit /. Gib bei Zahlenaufgaben nur den Zahlenwert ein; die Einheit steht am Eingabefeld. Entscheidungen: ja oder nein.
02 · Verstehen
Vorzeichen mitdenken
x dx =
Der Integralwert ist 1,5. Der gesamte geometrische Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse ist hier aber 2,5: Der Anteil unterhalb der Achse zählt im Integral negativ.
Ein bestimmtes Integral erfasst die aufsummierte Wirkung einer Funktion zwischen zwei Grenzen. Für a < b kannst du es bei stetigen Funktionen als Grenzwert immer feinerer Rechteckssummen verstehen: Funktionshöhe mal kleine Intervallbreite, über das ganze Intervall addiert.
Positive Höhen tragen positiv bei, negative negativ. Beim Flächenbild heißt das: Oberhalb der x-Achse wird positiv gezählt, unterhalb negativ. Wir nennen das eine orientierte Flächenbilanz.
f(x) dx
a ist die untere, b die obere Integrationsgrenze. f(x) ist der Integrand und dx die Integrationsvariable. Auf dieser Seite betrachten wir stetige Funktionen auf abgeschlossenen, endlichen Intervallen.
Ist F eine Stammfunktion der stetigen Funktion f auf [a; b], gilt:
Die Regel
f(x) dx = F(b) − F(a)
Beispiel · Schritt für Schritt
f(x) = 2x
Intervall: [1; 3]
Berechne zuerst eine Stammfunktion. Setze dann die obere Grenze ein und ziehe den Wert an der unteren Grenze ab. Beispiel mit f(x) = 2x auf [1; 3]:
Setze die 3 in die Stammfunktion ein.
Berechne den Stammfunktionswert auch an der 1.
Oberer Wert minus unterer Wert ergibt den Integralwert.
Hier ist F(x) = x². Eine additive Konstante ist bei dieser Rechnung nicht nötig, denn (F(b) + C) − (F(a) + C) ergibt wieder F(b) − F(a).
In die Grenzen setzt du die Stammfunktion F ein, nicht den Integranden f. Und die Reihenfolge lautet immer: oberer Wert minus unterer Wert.
Intervall [-1; 2]. Positiver Beitrag: 2. Negativer Beitrag: −0,5. Integralwert I = 1,5. Geometrischer Flächeninhalt A = 2,5 Flächeneinheiten.
Erst vermuten, dann ausprobieren: Stelle a = −1 und b = 1 ein. Warum ist das Integral 0, obwohl du zwei Flächen siehst? Erhöhe danach nur b auf 2.
Auf [−1; 1] heben sich die Beiträge −0,5 und +0,5 auf: I = 0. Die geometrischen Teilflächen addieren sich zu A = 1. Auf [−1; 2] wird der positive Beitrag 2: I = 2 − 0,5 = 1,5; A = 2 + 0,5 = 2,5.
Beispiel · Schritt für Schritt
f(x) = x
Intervall: [−1; 2]
Für f(x) = x auf [−1; 2] ist F(x) = . Daher:
Durch Ableiten erhältst du wieder f(x) = x.
Die negative untere Grenze steht beim Quadrieren in Klammern.
Das Integral verrechnet positive und negative Beiträge. Es ist hier nicht der gesamte Flächeninhalt.
Die rechte Dreiecksfläche ist 2, die linke hat den Inhalt 0,5. Wegen ihrer Lage unter der Achse liefert die linke Fläche den Integralbeitrag −0,5. Die Bilanz ist 2 − 0,5 = 1,5.
Der geometrische Flächeninhalt addiert dagegen beide positiven Teilinhalte: A = 2 + 0,5 = 2,5 Flächeneinheiten. Der Betrag des gesamten Integrals wäre hier nur 1,5 und deshalb nicht die gesuchte Fläche.
Um die gesamte Fläche zwischen f und der x-Achse zu berechnen, bestimme die Nullstellen im Intervall und prüfe, wo die Funktion das Vorzeichen wechselt. Teile die Rechnung dort auf und addiere die Beträge der Teilintegrale.
Beispiel · Schritt für Schritt
f(x) = x
Intervall: [−1; 2]
Links von 0 ist x negativ, rechts positiv. Die Teilintegrale werden getrennt berechnet.
Der Beitrag von −1 bis 0 ist negativ, weil der Graph unter der x-Achse liegt.
Der Beitrag von 0 bis 2 ist positiv.
Beide geometrischen Teilflächen zählen positiv. FE bedeutet Flächeneinheiten.
Allgemein kannst du für a < b auch A = Integral von |f(x)| über [a; b] schreiben. Die Aufteilung macht diese Betragsrechnung praktisch ausführbar.
Wenn f auf dem ganzen Intervall nichtnegativ ist, stimmt das Integral mit dem Flächeninhalt überein. Ist f überall nichtpositiv, ist der Flächeninhalt das Negative des Integrals.
Die Höhe eines schmalen Flächenstreifens ist der obere Funktionswert minus der untere. Wenn f(x) ≥ g(x) auf [a; b], lautet die Fläche:
Die Regel
A = (f(x) − g(x)) dx
Beispiel · Schritt für Schritt
f(x) = x; g(x) = x²
Beispiel: f(x) = x und g(x) = x² schneiden sich bei x = 0 und x = 1. Dazwischen liegt x oberhalb von x².
Setze beide Funktionen gleich. Die eingeschlossene Fläche liegt zwischen den beiden Schnittstellen.
Für 0 ≤ x ≤ 1 sind beide Faktoren nichtnegativ. Deshalb liegt x oberhalb von x².
Eine Stammfunktion von oberer minus unterer Funktion ist H.
Die untere Grenze liefert 0. Mit dem gemeinsamen Nenner 6 erhältst du den Flächeninhalt.
Eine Stammfunktion der Differenz ist − . Wechselt die obere Funktion innerhalb eines größeren Intervalls, musst du an den entsprechenden Schnittstellen aufteilen. Allgemein zählt der Betrag der Differenz.
Integrale über benachbarte Teilintervalle lassen sich addieren. Für a < c < b gilt:
f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx
Vertauschst du die Grenzen, ändert sich das Vorzeichen. Bei gleichen Grenzen ist das Integral null:
f(x) dx = − f(x) dx
f(x) dx = 0
Auch konstante Faktoren und Summen lassen sich wie bei Stammfunktionen behandeln. Für einen geometrischen Flächeninhalt wählst du die Grenzen normalerweise von links nach rechts.
Beispiel · Schritt für Schritt
Zuflussrate: r(t) = 2t
0 bis 3 Minuten; Zu Beginn: 5 l
Die Zuflussrate wird in Litern pro Minute gemessen; t läuft von 0 bis 3 Minuten.
Das Integral der Rate liefert 9 Liter zusätzlichen Inhalt.
Der Behälter enthielt bereits 5 Liter. Erst nach deren Addition erhältst du den Endbestand.
Bei einer Rate mit positiven und negativen Anteilen liefert das Integral die Nettobilanz. Für die gesamte bewegte Menge ohne Berücksichtigung der Richtung würdest du die Beträge der jeweiligen Beiträge addieren.
Die Einheit des Integrals entsteht aus Funktionswert-Einheit mal Variablen-Einheit: Liter pro Minute mal Minuten ergibt Liter. Das Ergebnis ist also nicht in jedem Sachzusammenhang ein Flächeninhalt in Quadratmetern.
Die hier verwendete einfache Hauptsatzrechnung setzt einen stetigen Integranden auf dem ganzen betrachteten Intervall voraus. Liegt etwa bei eine Polstelle innerhalb der Grenzen, darfst du nicht einfach eine Stammfunktion an beiden Enden einsetzen und das Problem ignorieren.
Solche Aufgaben gehören zu den uneigentlichen Integralen und benötigen getrennte Grenzwertuntersuchungen. Auch scheinbar symmetrische positive und negative Anteile dürfen dort nicht beliebig gegeneinander aufgehoben werden.
Numerisch ergänzen
Liegen Funktionswerte in gleichmäßigen Abständen vor oder ist keine einfache Stammfunktion verfügbar, kannst du das bestimmte Integral näherungsweise berechnen. Die Trapezregel verbindet benachbarte Messpunkte durch Geraden und summiert die orientierten Trapezflächen.
Teile [a; b] in n gleich breite Teilintervalle. Die Schrittweite ist h = (b − a) geteilt durch n, die Stellen sind xᵢ = a + ih. Dann gilt:
Die Regel
Tₙ = h · [f(x₀)2 + f(x₁) + … + f(xₙ₋₁) + f(xₙ)2]
Beispiel · Schritt für Schritt
f(x) = x² auf [0; 2]
2 Teilintervalle
Für f(x) = x² wird [0; 2] in zwei gleich breite Teilintervalle zerlegt.
Du benötigst die Funktionswerte an den beiden Rändern und am inneren Punkt.
Nur die beiden Randwerte erhalten das halbe Gewicht.
Die Näherung überschätzt hier das Integral, weil die Geradenstücke oberhalb der konvexen Parabel liegen.
Beispiel · Schritt für Schritt
f(x) = x² auf [0; 2]
4 Teilintervalle
Nun wird dasselbe Intervall in vier Teilintervalle zerlegt.
Die inneren Werte werden vollständig gezählt; nur 0 und 4 werden halbiert.
2,75 liegt näher am exakten Wert 8/3 als die vorherige Näherung 3. Für stetige Funktionen konvergiert die Trapezregel bei immer feinerer gleichmäßiger Einteilung; eine konkrete Fehlerschranke braucht zusätzliche Voraussetzungen.
Bei einer stückweise linearen Funktion ist die Trapezregel exakt, wenn alle Knickstellen zu den Stützstellen gehören. Für Messwerte erhältst du die Bilanz des Modells mit geraden Verbindungen, nicht automatisch den exakten Wert des unbekannten wirklichen Verlaufs.
Beispiel · Schritt für Schritt
Zeitpunkte: 0, 1 und 2 min
Raten: 2, 4 und 2 l/min
Die Zuflussraten werden in Litern pro Minute gemessen.
Die Randwerte werden halb gewichtet. Das Ergebnis beschreibt die Änderung; zum Endbestand kommt noch der Anfangsbestand hinzu. Bei geradliniger Verbindung der Messpunkte ist der Modellwert exakt.
Lösung · Schritt für Schritt
f(x) = 2x + 1 auf [0; 2]
2 Teilintervalle
Zwei Teilintervalle auf [0; 2] haben jeweils die Breite 1.
Die Trapezregel ist für diese Gerade exakt.
Beide Verfahren liefern denselben Wert.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Rechne zuerst auf Papier. Achte darauf, ob eine Funktion, ein Integralwert, ein Flächeninhalt oder ein Mittelwert gesucht ist.
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Dein Wissen anwenden
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
Lösung · Schritt für Schritt
f(x) = 2x auf [0; 2]
Die Ableitung ist 2x.
Verwende die Stammfunktion, nicht den Integranden.
4 − 0 ergibt den Integralwert.
Lösung · Schritt für Schritt
f(x) = x auf [−1; 1]
Die gleich großen positiven und negativen Beiträge heben sich auf.
Für den Flächeninhalt werden die Beiträge links und rechts der Nullstelle einzeln betrachtet.
Trotz Integralwert 0 ist ein geometrischer Flächeninhalt vorhanden.
Positive und negative Beiträge können sich vorher aufheben. Für den gesamten Flächeninhalt musst du gegebenenfalls die Beträge der Teilintegrale addieren.
Erklärung wiederholen →Lösung · Schritt für Schritt
f(x) = x; g(x) = x²
Intervall: [0; 1]
Im Intervall [0; 1] ist x mindestens so groß wie x²; im Inneren ist x größer.
Integriert wird oberer minus unterer Funktionswert.
Die Grenzen liefern den positiven Flächeninhalt.
Der Integralwert wechselt sein Vorzeichen.
Erklärung wiederholen →Lösung · Schritt für Schritt
Zu Beginn: 5 l
Nettozufluss: 9 l
Die 9 Liter sind der integrierte Nettozufluss.
Zum Anfangsbestand wird die Änderung addiert.
Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Dranbleiben
Wiederhole die Erklärung zu deinem Fehler. Rechne danach eine ähnliche Aufgabe ohne geöffneten Tipp oder Rechenweg.
Gezielt weiterüben →Wiederhole in zwei bis drei Tagen fünf Aufgaben ohne Hilfe. Danach kannst du das nächste Thema angehen.
Den Mittelwert einer Funktion bestimmen →Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Ja. Negative Beiträge können überwiegen. Ein geometrischer Flächeninhalt ist dagegen nichtnegativ.
Das Ergebnis ist eine Zahl. Eine Integrationskonstante würde sich beim Subtrahieren der beiden Stammfunktionswerte aufheben.
Die Differenz aus oberem und unterem Funktionswert ist die Höhe jedes Flächenstreifens. Bei wechselnder Reihenfolge musst du die Fläche aufteilen.
Die Ableitung von x² ist 2x. Damit passt F zum Integranden.