Bestimmte Integrale und Flächenberechnung: verstehen und üben

Lernschritt 1

Was bedeutet ein bestimmtes Integral?

Ein bestimmtes Integral erfasst die aufsummierte Wirkung einer Funktion zwischen zwei Grenzen. Für a < b kannst du es bei stetigen Funktionen als Grenzwert immer feinerer Rechteckssummen verstehen: Funktionshöhe mal kleine Intervallbreite, über das ganze Intervall addiert.

Positive Höhen tragen positiv bei, negative negativ. Beim Flächenbild heißt das: Oberhalb der x-Achse wird positiv gezählt, unterhalb negativ. Wir nennen das eine orientierte Flächenbilanz.

∫ba f(x) dx

a ist die untere, b die obere Integrationsgrenze. f(x) ist der Integrand und dx die Integrationsvariable. Auf dieser Seite betrachten wir stetige Funktionen auf abgeschlossenen, endlichen Intervallen.

Lernschritt 2

Mit dem Hauptsatz ausrechnen

Ist F eine Stammfunktion der stetigen Funktion f auf [a; b], gilt:

∫ba f(x) dx = F(b) − F(a)

Berechne zuerst eine Stammfunktion. Setze dann die obere Grenze ein und ziehe den Wert an der unteren Grenze ab. Beispiel mit f(x) = 2x auf [1; 3]:

∫31 2x dx = 3² − 1² = 8

Hier ist F(x) = x². Eine additive Konstante ist bei dieser Rechnung nicht nötig, denn (F(b) + C) − (F(a) + C) ergibt wieder F(b) − F(a).

Lernschritt 3

Integral und geometrische Fläche unterscheiden

Für f(x) = x auf [−1; 2] ist F(x) = x²2. Daher:

∫2−1 x dx = 2 − 12 = 32

Die rechte Dreiecksfläche ist 2, die linke hat den Inhalt 0,5. Wegen ihrer Lage unter der Achse liefert die linke Fläche den Integralbeitrag −0,5. Die Bilanz ist 2 − 0,5 = 1,5.

Der geometrische Flächeninhalt addiert dagegen beide positiven Teilinhalte: A = 2 + 0,5 = 2,5 Flächeneinheiten. Der Betrag des gesamten Integrals wäre hier nur 1,5 und deshalb nicht die gesuchte Fläche.

Lernschritt 4

Für Flächen an Vorzeichenwechseln aufteilen

Um die gesamte Fläche zwischen f und der x-Achse zu berechnen, bestimme die Nullstellen im Intervall und prüfe, wo die Funktion das Vorzeichen wechselt. Teile die Rechnung dort auf und addiere die Beträge der Teilintegrale.

A = |∫0−1 x dx| + |∫20 x dx|

A = 12 + 2 = 52

Allgemein kannst du für a < b auch A = Integral von |f(x)| über [a; b] schreiben. Die Aufteilung macht diese Betragsrechnung praktisch ausführbar.

Wenn f auf dem ganzen Intervall nichtnegativ ist, stimmt das Integral mit dem Flächeninhalt überein. Ist f überall nichtpositiv, ist der Flächeninhalt das Negative des Integrals.

Lernschritt 5

Die Fläche zwischen zwei Graphen

Die Höhe eines schmalen Flächenstreifens ist der obere Funktionswert minus der untere. Wenn f(x) ≥ g(x) auf [a; b], lautet die Fläche:

A = ∫ba (f(x) − g(x)) dx

Beispiel: f(x) = x und g(x) = x² schneiden sich bei x = 0 und x = 1. Dazwischen liegt x oberhalb von x².

A = ∫10 (x − x²) dx

A = 12 − 13 = 16

Eine Stammfunktion der Differenz ist x²2 − x³3. Wechselt die obere Funktion innerhalb eines größeren Intervalls, musst du an den entsprechenden Schnittstellen aufteilen. Allgemein zählt der Betrag der Differenz.

Lernschritt 6

Wichtige Rechenregeln nutzen

Integrale über benachbarte Teilintervalle lassen sich addieren. Für a < c < b gilt:

∫ba f(x) dx = ∫ca f(x) dx + ∫bc f(x) dx

Vertauschst du die Grenzen, ändert sich das Vorzeichen. Bei gleichen Grenzen ist das Integral null:

∫ab f(x) dx = −∫ba f(x) dx

∫aa f(x) dx = 0

Auch konstante Faktoren und Summen lassen sich wie bei Stammfunktionen behandeln. Für einen geometrischen Flächeninhalt wählst du die Grenzen normalerweise von links nach rechts.

Lernschritt 7

Integrale als Bestandsänderung verstehen

Eine Rate r(t) = 2t beschreibt einen Wasserzufluss in Litern pro Minute, t wird in Minuten gemessen. Zwischen t = 0 und t = 3 fließen insgesamt 9 Liter zu, denn eine Stammfunktion ist t² und 3² − 0² = 9.

Waren anfangs 5 Liter im Behälter, sind danach 14 Liter vorhanden. Das Integral der Rate liefert die Änderung; zum Endbestand musst du den Anfangsbestand addieren.

Bei einer Rate mit positiven und negativen Anteilen liefert das Integral die Nettobilanz. Für die gesamte bewegte Menge ohne Berücksichtigung der Richtung würdest du die Beträge der jeweiligen Beiträge addieren.

Die Einheit des Integrals entsteht aus Funktionswert-Einheit mal Variablen-Einheit: Liter pro Minute mal Minuten ergibt Liter. Das Ergebnis ist also nicht in jedem Sachzusammenhang ein Flächeninhalt in Quadratmetern.

Lernschritt 8

Definitionslücken nicht übergehen

Die hier verwendete einfache Hauptsatzrechnung setzt einen stetigen Integranden auf dem ganzen betrachteten Intervall voraus. Liegt etwa bei 1x eine Polstelle innerhalb der Grenzen, darfst du nicht einfach eine Stammfunktion an beiden Enden einsetzen und das Problem ignorieren.

Solche Aufgaben gehören zu den uneigentlichen Integralen und benötigen getrennte Grenzwertuntersuchungen. Auch scheinbar symmetrische positive und negative Anteile dürfen dort nicht beliebig gegeneinander aufgehoben werden.

Lernschritt 9

Dein Ablauf für Integral- und Flächenaufgaben

1. Kläre, ob Integralwert, geometrische Fläche oder Bestandsänderung gefragt ist.
2. Prüfe Definitionsbereich, Grenzen und Stetigkeit.
3. Bestimme für Flächen Nullstellen beziehungsweise Schnittstellen.
4. Prüfe die Vorzeichen oder die Reihenfolge der Graphen.
5. Bilde eine Stammfunktion und setze die Grenzen korrekt ein.
6. Addiere bei geometrischen Flächen die positiven Teilinhalte.
7. Formuliere den Antwortsatz mit passender Einheit und gegebenenfalls Anfangsbestand.

Numerisch ergänzen

Integrale mit der Trapezregel näherungsweise berechnen

Liegen Funktionswerte in gleichmäßigen Abständen vor oder ist keine einfache Stammfunktion verfügbar, kannst du das bestimmte Integral näherungsweise berechnen. Die Trapezregel verbindet benachbarte Messpunkte durch Geraden und summiert die orientierten Trapezflächen.

Teile [a; b] in n gleich breite Teilintervalle. Die Schrittweite ist h = (b − a) geteilt durch n, die Stellen sind xᵢ = a + ih. Dann gilt:

Tₙ = h · [f(x₀)2 + f(x₁) + … + f(xₙ₋₁) + f(xₙ)2]

Nur die beiden Randwerte werden halb gewichtet. Beispiel f(x) = x² auf [0; 2] mit n = 2: h = 1, die Werte sind 0, 1 und 4. Daher T₂ = 1·(02 + 1 + 42) = 3. Das exakte Integral beträgt 83 ≈ 2,667. Hier überschätzt die Trapezregel wegen der konvexen Kurve.

Mit n = 4 ist h = 0,5 und die Werte sind 0; 0,25; 1; 2,25; 4. Damit T₄ = 0,5·(0 + 0,25 + 1 + 2,25 + 2) = 2,75. Die feinere Einteilung verbessert hier die Näherung. Für stetige Funktionen konvergiert diese Folge von Näherungen bei immer feinerer gleichmäßiger Einteilung gegen das Integral; eine garantierte konkrete Fehlerschranke benötigt zusätzliche Voraussetzungen.

Bei einer stückweise linearen Funktion ist die Trapezregel exakt, wenn alle Knickstellen zu den Stützstellen gehören. Für Messwerte erhältst du die Bilanz des Modells mit geraden Verbindungen, nicht automatisch den exakten Wert des unbekannten wirklichen Verlaufs.

Beispiel: Zuflusswerte 2, 4 und 2 Liter pro Minute bei t = 0, 1, 2 Minuten ergeben näherungsweise 1·(1 + 4 + 1) = 6 Liter. Negative Werte würden als Abfluss abgezogen. Der Anfangsbestand kommt für einen Endbestand noch hinzu.

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Häufige Fragen