Wann bleibt Licht vollständig auf einer Seite der Grenzfläche? Prüfe die zwei Bedingungen der Totalreflexion, berechne Grenzwinkel und verstehe die Lichtführung in Glasfasern.
αGUnsicher beim Einstieg?3 Aufgaben im freiwilligen Kurzcheck
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Drei kurze Aufgaben helfen dir, deinen Startpunkt zu finden. Wenn du unsicher bist, wähle „Weiß ich noch nicht“.
Löse die Aufgaben ohne Nachschlagen. Bei Zahlen sind Dezimalkomma und Dezimalpunkt möglich. Verwende keine Tausenderpunkte.
Lösungen mit Erklärungen
41,81 – αG = arcsin(1,00/1,5) ≈ 41,81°.
nein – Nein. Hier steigt der Brechungsindex; ein großer Winkel allein genügt nicht.
ja – Ja. 82° ist größer als 80°; der Kern besitzt für diesen Übergang den größeren Brechungsindex.
Wenn Licht aus Glas in Luft übergeht, wird der gebrochene Anteil vom Lot weg gelenkt. Vergrößerst du den Einfallswinkel im Glas, wächst der Brechungswinkel in der Luft. Gleichzeitig gibt es gewöhnlich einen reflektierten Anteil im Glas.
Ab einem bestimmten Einfallswinkel ist kein gewöhnlicher gebrochener Strahl mehr möglich, der sich in die Luft hinein ausbreitet. Im idealen Modell ohne Absorption wird die einfallende Leistung dann vollständig reflektiert. Das heißt Totalreflexion.
Der reflektierte Strahl bleibt im ursprünglichen Medium und gehorcht weiterhin dem Reflexionsgesetz: Reflexionswinkel gleich Einfallswinkel, jeweils zum Lot.
Lernschritt 2
Ausprobieren: Den Grenzwinkel überschreiten
30°: zwei Anteile
Das Licht kommt von unten aus dem Glas (n₁ = 1,50) zur Luft (n₂ = 1,00). Der Grenzwinkel beträgt etwa 41,8°.
Blau: einfallend. Grün: reflektiert. Orange: gebrochen mit etwa 48,6° zum Lot.
α: Einfallswinkel; β: Reflexionswinkel, gleich groß wie α. Alle Winkel werden zum Lot gemessen. Pfeile und Farben geben keine Intensitätsverhältnisse an.
50°: Totalreflexion
Das Licht kommt von unten aus dem Glas (n₁ = 1,50) zur Luft (n₂ = 1,00). Der Grenzwinkel beträgt etwa 41,8°.
Blau: einfallend. Grün: reflektiert. Oberhalb des Grenzwinkels fehlt ein in die Luft hinauslaufender gebrochener Strahl.
α: Einfallswinkel; β: Reflexionswinkel, gleich groß wie α. Alle Winkel werden zum Lot gemessen. Pfeile und Farben geben keine Intensitätsverhältnisse an.
Das Licht trifft aus Glas mit n₁ = 1,50 auf Luft mit n₂ = 1,00. Der Grenzwinkel liegt bei ungefähr 41,8°.
Bei 30°: Der Einfallswinkel ist kleiner als der Grenzwinkel. Es gibt einen gebrochenen Anteil in der Luft und einen reflektierten Anteil im Glas. Der Brechungswinkel beträgt etwa 48,6°.
Bei 50°: Der Einfallswinkel liegt über dem Grenzwinkel. Es gibt keinen sich von der Grenzfläche weg in die Luft ausbreitenden gebrochenen Strahl. Der reflektierte Strahl besitzt wieder 50° zum Lot.
Die Pfeile zeigen Lichtwege. Ihre Länge oder Farbe ist keine quantitative Aussage über die Intensität der Anteile.
Lernschritt 3
Die beiden Bedingungen zuerst prüfen
Übergang zu kleinerem Brechungsindex: n₁ muss größer als n₂ sein. Medium 1 ist dabei der Stoff, aus dem das Licht kommt.
Einfallswinkel über dem Grenzwinkel: α muss größer als αG sein. Der Winkel wird zum Lot gemessen.
Glas nach Luft kann die erste Bedingung erfüllen. Luft nach Glas erfüllt sie nicht. Ein sehr schräger Lichteinfall aus Luft auf Glas allein führt deshalb nicht zur Totalreflexion.
Die Aussage „Glas reflektiert ab einem großen Winkel alles“ ist ohne Angabe der Einfallsseite unvollständig. Notiere bei jeder Aufgabe zuerst die Richtung des Übergangs.
Nicht den Winkel zur Oberfläche mit α vergleichen. 20° zur Oberfläche sind 70° zum Lot – damit kann eine völlig andere Entscheidung entstehen.
Lernschritt 4
Den Grenzwinkel herleiten
Am Grenzwinkel nähert sich der gebrochene Strahl der Grenzfläche an. Im Strahlenmodell gilt dort β = 90°. Setze das in das Brechungsgesetz ein:
n₁ · sin αG = n₂ · sin 90° = n₂
sin αG = n₂n₁
αG = arcsin(n₂n₁)
Für Glas nach Luft folgt αG = arcsin(1,00 geteilt durch 1,50) ≈ 41,8°. Verwende Gradmaß am Taschenrechner.
Die Formel ergibt den Grenzwinkel für n₁ > n₂. Falls der Quotient größer als 1 ist, liegt keine passende Übergangsrichtung vor: Der Sinus eines reellen Winkels kann nicht größer als 1 sein.
Grenzfall genau unterscheiden: Bei α = αG zeichnet das Strahlenmodell den gebrochenen Strahl entlang der Grenzfläche. Für die eindeutige Fallentscheidung „oberhalb des Grenzwinkels“ verwenden wir α > αG.
Lernschritt 5
Drei Aufgaben vollständig entscheiden
Beispiel · Schritt für Schritt
Wasser nach Luft bei 55°
Entscheide, ob Totalreflexion auftritt.
n₁ = 1,33 · n₂ = 1,00 · α = 55° zum Lot
Rechenweg: Wasser nach Luft bei 55°
Rechnung
Erklärung zum Schritt
n₁ > n₂: 1,33 > 1,00
1Übergangsrichtung prüfen
Nur vom größeren zum kleineren Brechungsindex ist Totalreflexion möglich.
αG = arcsin(n₂/n₁) = arcsin(1,00/1,33) ≈ 48,8°
2Grenzwinkel berechnen
Gradmaß (DEG) verwenden. Der kleinere Index steht hier im Zähler.
55° > 48,8°
3Mit dem Einfallswinkel vergleichen
Beide Bedingungen sind erfüllt. Nicht allein von einem scheinbar großen Winkel ausgehen.
βReflexion = 55°
4Reflektierte Richtung angeben
Das Licht bleibt im Wasser; der reflektierte Winkel zum Lot ist genauso groß.
Ergebnis: Es tritt Totalreflexion auf.
Vergleich: derselbe Winkel, anderes Medium
Beispiel · Schritt für Schritt
Glas nach Wasser bei 55°
Prüfe den Übergang erneut.
n₁ = 1,50 · n₂ = 1,33 · α = 55°
Rechenweg: Glas nach Wasser bei 55°
Rechnung
Erklärung zum Schritt
1,50 > 1,33
1Erste Bedingung prüfen
Der Übergang geht zu kleinerem n; Totalreflexion ist grundsätzlich möglich.
αG = arcsin(1,33/1,50) ≈ 62,5°
2Grenzwinkel neu bestimmen
Das angrenzende Medium verändert den Grenzwinkel.
55° < 62,5°
3Entscheidung treffen
Der Grenzwinkel ist noch nicht erreicht. Es gibt einen gebrochenen und einen reflektierten Anteil.
Ergebnis: Hier tritt keine Totalreflexion auf.
Wenn 35° zur Oberfläche gegeben sind
Für Glas nach Luft: α = 90° − 35° = 55° zum Lot. Weil 55° > 41,8° gilt, tritt Totalreflexion auf. Winkel nahe der Grenze erst am Ende runden.
Lernschritt 6
Wie hält ein Lichtleiter das Licht im Kern?
Großer Winkel zum seitlichen Lot
Beispielzeichnung: Kern n = 1,50, Mantel n = 1,40. αG ≈ 69,0°; der gezeichnete Winkel von etwa 80° erfüllt die Bedingung der Totalreflexion.
Der Strahl läuft fast entlang der Faserachse und bleibt durch Reflexionen im Kern. Die Stirnfläche und Einkopplung sind nicht eingezeichnet.
Strahlenmodell eines geraden Lichtleiters. Die folgende Rechnung verwendet andere, ausdrücklich angegebene Kern-Mantel-Werte.
Eine einfache Stufenindexfaser besitzt einen lichtleitenden Kern und einen umgebenden Mantel. Der Brechungsindex des Kerns ist größer als der des Mantels. Luft außerhalb der Faser ist dafür nicht erforderlich.
Ein passend eingekoppelter Strahl trifft die seitliche Kern-Mantel-Grenze aus dem Kern heraus unter einem ausreichend großen Winkel zum Lot. Er wird total reflektiert und läuft weiter durch den Kern. Wiederholte Reflexionen können ihn entlang der Faser führen.
Im gezeigten geraden Modell sind die Grenzflächen parallel. Der gewählte Lichtweg erfüllt die Winkelbedingung an beiden Seiten. Nicht jeder beliebige Eintrittswinkel führt aber zu einem geführten Strahl.
Beachte zwei verschiedene Winkel: Der Winkel zur Faserachse beschreibt die Neigung längs der Faser. Für Totalreflexion zählt der Winkel zum Lot der seitlichen Grenzfläche. In der gezeigten ebenen Geometrie ergänzen sich diese beiden Winkel auf 90°.
Lernschritt 7
Eine Kern-Mantel-Grenze berechnen
Beispiel · Schritt für Schritt
Bleibt der Strahl im Faserkern?
Prüfe einen Strahl mit 85° zum Lot der seitlichen Grenzfläche.
nKern = 1,48 · nMantel = 1,46 · α = 85°
Rechenweg: Bleibt der Strahl im Faserkern?
Rechnung
Erklärung zum Schritt
1,48 > 1,46
1Kern und Mantel vergleichen
Das Licht trifft aus dem Kern auf den Mantel; der Kern hat den größeren Index.
αG = arcsin(1,46/1,48) ≈ 80,6°
2Seitlichen Grenzwinkel berechnen
Dieser Winkel gehört zur Kern-Mantel-Grenze, nicht zur Stirnfläche.
85° > 80,6°
3Winkelbedingung prüfen
Der Strahl wird im idealen Modell total reflektiert. Bei 75° wäre diese Bedingung nicht erfüllt.
Winkel zur Achse = 90° − 85° = 5°
4Winkel richtig deuten
Im gezeigten ebenen geraden Modell bedeutet ein großer Winkel zum seitlichen Lot einen kleinen Winkel zur Faserachse.
Ergebnis: Der Strahl erfüllt die Bedingung zur Lichtführung an der seitlichen Grenzfläche.
Der Eintrittswinkel von außen ist eine andere Größe: An der Stirnfläche wird der Strahl zusätzlich gebrochen.
Lernschritt 8
Anwendungen und Grenzen des Strahlenmodells
Datenübertragung: Glasfasern führen optische Signale. Totalreflexion erklärt anschaulich, warum Licht im Kern bleiben kann. Die Signalübertragung ist trotzdem nicht verlustfrei: Absorption, Streuung und Kopplungsverluste spielen eine Rolle.
Medizin und Beleuchtung: Lichtleiter bringen Licht an schwer erreichbare Orte. Ein geordnetes Bündel geeigneter Fasern kann auch Bildinformationen übertragen; nicht jedes beliebige Bündel liefert automatisch ein unverzerrtes Bild.
Prismen: Ein Glasprisma kann einen Lichtweg im Inneren durch Totalreflexion umlenken, wenn Einfallsseite und Winkel passen. Eine Metallschicht ist dafür nicht nötig.
Bei starker Biegung können die Bedingungen für die Führung verändert werden und Verluste zunehmen. Außerdem ist das Zickzackbild ein Strahlenmodell: Sehr dünne Fasern werden genauer mit Wellen und geführten Moden beschrieben.
„Total“ bedeutet nicht, dass auf der anderen Seite der Grenzfläche überhaupt kein elektromagnetisches Feld existiert. In der Wellenbeschreibung gibt es ein rasch abklingendes evaneszentes Feld. Im hier betrachteten idealen Fall transportiert es jedoch keine mittlere Energie senkrecht von der Grenzfläche in das zweite Medium weg.
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Lösungen mit Erklärungen
45,58 – αG = arcsin(1,00/1,4) ≈ 45,58°.
nein – Nein. Hier steigt der Brechungsindex; ein großer Winkel allein genügt nicht.
ja – Ja. 86° ist größer als 80°; der Kern besitzt für diesen Übergang den größeren Brechungsindex.
Die Aufgaben sind unterschiedlich. Die Ergebnisse geben dir eine kurze Orientierung zu deinem Lernstand.
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Bestimme den Grenzwinkel beim Übergang vom optisch dichteren zum dünneren Medium. Totalreflexion tritt oberhalb dieses Winkels auf. Wähle deine gesuchte Größe und lass dir den Rechenweg Schritt für Schritt zeigen.
