Lies Σ und Π als klare Rechenaufträge: Grenzen prüfen, jeden Index einsetzen und die Werte passend verknüpfen. Übe das Ausschreiben, Konstanten und Klammern direkt nach den Erklärungen.
Hilfreiches Vorwissen: Grundrechenarten, Potenzen, Klammern und Einsetzen in Terme.
Berechne eine Summe, zähle ihre Glieder und werte ein Produkt aus.
Gib den berechneten Gesamtwert als Zahl ein. Komma oder Punkt und Brüche mit / sind möglich. Bei symbolischen Aufgaben nur den Term mit a, etwa 10a oder a^3. Entscheidungen: ja oder nein.
Verstehen
Ein Zeichen, mehrere Rechenschritte
4Σk = 1k = 1 + 2 + 3 + 4 = 10
4Πk = 1k = 1 · 2 · 3 · 4 = 24
Das große griechische Sigma Σ steht für eine Summe. Unter dem Zeichen stehen der Laufindex und sein Startwert. Darüber steht der Endwert. Der Ausdruck rechts sagt dir, was für jeden Indexwert addiert wird.
Beispiel: 4Σk = 1k².
Beispiel – Schritt für Schritt
k²
Setze jeden Indexwert in den ganzen Ausdruck k² ein.
Die Summe hat den Wert 30.
Der Index ist ein Platzhalter. Ob du k, i oder j verwendest, ändert den Wert nicht, solange du ihn im gesamten Ausdruck einheitlich austauschst.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Start- und Endindex zählen beide mit.
Das Summenzeichen addiert die Werte nach dem Einsetzen.
Berechne 5Σk = 2(2k − 1). Beginne bei 2, nicht automatisch bei 1. Berechne erst jeden Summanden, anschließend die Summe.
| k | 2k − 1 |
|---|---|
| 2 | 3 |
| 3 | 5 |
| 4 | 7 |
| 5 | 9 |
Beispiel – Schritt für Schritt
(2k − 1)
Die Tabelle entsteht durch Einsetzen von k = 2, 3, 4 und 5 in 2k − 1.
Das Summenzeichen verbindet die berechneten Werte durch Addition.
Die Summe enthält vier Glieder. Start- und Endwert zählen beide mit.
Zwischen den Grenzen 2 und 5 stehen vier ganze Indexwerte. Allgemein sind es bei ganzzahligen Grenzen m ≤ n genau n − m + 1 Glieder. Die Differenz n − m zählt nur die Abstände.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Die bloße Differenz 5 − 2 würde nur die drei Abstände zählen.
Der erste eingesetzte Index ist 2, nicht 1.
Nicht jeder Summand muss vom Index abhängen.
Beispiel – Schritt für Schritt
3
Für jeden der vier Indexwerte addierst du denselben Wert 3. Eine Konstante verschwindet nicht, wenn k im Summanden fehlt.
Vier gleiche Summanden zu je 3 ergeben 12.
Beispiel mit wechselnden Vorzeichen:
Beispiel – Schritt für Schritt
(−1)ᵏ
Beginne bei k = 0. Halte die negative Basis in Klammern.
(−1)⁰ = 1; gerade Exponenten liefern +1 und ungerade −1. Die Summe ist 0.
Wenn eine Aufgabe andere Indexmengen verwendet, muss das ausdrücklich angegeben sein. Diese Einführung behandelt fortlaufende ganze Indexwerte.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Der fehlende Buchstabe k im Term lässt die Summanden nicht verschwinden.
Ein konstanter Summand wird mit der Anzahl der Glieder multipliziert.
Bei endlichen Summen darfst du einen konstanten Faktor ausklammern und Summen oder Differenzen von Summanden aufteilen.
Beispiel – Schritt für Schritt
(2k + 5)
Der Anteil 2k wird für jedes k addiert. Ebenso entsteht für jeden der drei Indexwerte ein eigener Summand 5.
Die Konstante 5 tritt dreimal auf. Der gesamte Wert ist 27.
Die Zahl 5 kommt dreimal vor. Der häufige Fehler „2 · (1 + 2 + 3) + 5“ vergisst zwei dieser Beiträge.
Du darfst eine Summe von Produkten nicht einfach als Produkt zweier Summen schreiben: 1·1 + 2·2 = 5, aber (1+2)(1+2) = 9. Beim Ausmultiplizieren entstehen zusätzliche gemischte Produkte.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Auch ein Termteil ohne k gehört zu jedem Summanden.
Beim Zerlegen bleibt der vollständige Indexbereich für beide Teile erhalten.
Das große Pi Π sagt: Multipliziere die Faktoren, die du durch Einsetzen erhältst.
Beispiel – Schritt für Schritt
k
Die Indexwerte sind 2, 3 und 4. Es werden drei Faktoren multipliziert.
Das Ergebnis ist 24.
Auch eine Klammer wird für jeden Indexwert vollständig eingesetzt:
Beispiel – Schritt für Schritt
(k + 1)
Das +1 gehört zu jedem einzelnen Faktor, nicht einmal hinter das fertige Produkt.
Das Ergebnis ist 24. Der Ausdruck ist nicht 1 · 2 · 3 + 1.
Ein Faktor 0 macht das ganze Produkt 0. Eine gerade Anzahl negativer Faktoren ergibt ein positives, eine ungerade Anzahl ein negatives Produkt, sofern kein Faktor 0 vorkommt.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Das +1 wird in jede Klammer eingesetzt.
1·2·3 + 1 wäre ein anderer Ausdruck.
Die ersten n Glieder einer Folge werden als nΣk = 1aₖ addiert. Dafür kannst du bei arithmetischen oder geometrischen Folgen passende Summenformeln benutzen.
Für eine positive ganze Zahl n gilt n! = nΠk = 1k. Dagegen ist nΠk = 1a = aⁿ: derselbe Faktor a wird n-mal multipliziert. Faktor und Anzahl sind verschiedene Informationen.
Eine unendliche Summe ist keine gewöhnliche endliche Rechnung. Die Schreibweise mit ∞ benötigt zusätzlich eine Untersuchung, ob die Teilsummen konvergieren. Die hier geübten Regeln beziehen sich auf endliche Summen und Produkte.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Σ verlangt Addition.
Π verlangt Multiplikation; gleiche Grenzen und gleicher Term reichen nicht für dasselbe Ergebnis.
Lies zuerst das Zeichen: addieren oder multiplizieren? Notiere Startwert, Endwert und Zahl der Glieder. Setze beim Ausschreiben jeden Indexwert in den ganzen Ausdruck ein.
Prüfe besonders den ersten und letzten Summanden oder Faktor. Bei wenigen Gliedern ist vollständiges Ausschreiben oft sicherer als eine Formel.
Nach einer Umbenennung des Laufindex darf kein altes Indexsymbol versehentlich im Summanden stehen bleiben.
Selbst ausprobieren
Mit Tipps lernen oder ohne Hilfe testen – du entscheidest.
Wähle deine Stufe. Pro Runde löst du sechs Aufgaben mit direkter Rückmeldung.
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
Löse die Aufgaben ohne Tipps. Danach bekommst du passende Empfehlungen. Der Check zeigt deinen Lernstand, keine Schulnote.
Mathehelfer
Gib Start- und Endindex sowie den Term ein. Der Helfer zählt beide Grenzen mit, zeigt einzelne Werte und Zwischenergebnisse. Möglich sind Polynome, Bruchterme und c·qᵏ mit bis zu 100 Gliedern.
Eigene Aufgabe lösen →Ein Rücklink führt dich wieder hierher. Dein Übungsstand bleibt in diesem Tab erhalten.
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
Lösung – Schritt für Schritt
k
Beginne bei 1 und ende bei 5. Beide Grenzen zählen mit.
Die fünf Summanden ergeben 15.
Lösung – Schritt für Schritt
k²
Das Glied für k = 1 gehört nicht dazu.
Berechne erst jeden Summanden und anschließend die Summe.
Lösung – Schritt für Schritt
Startindex: k = 3
Endindex: k = 8
Schrittweite: 1
Bei fortlaufenden ganzen Indexwerten zählen Start- und Endwert mit.
Die Werte sind 3, 4, 5, 6, 7 und 8.
Lösung – Schritt für Schritt
(k + 2)
Setze jeden Indexwert in die gesamte Klammer ein.
Die drei Faktoren ergeben 60.
Lösung – Schritt für Schritt
5
k läuft über 0, 1, 2 und 3. Das sind vier Werte.
Der Summand bleibt bei jedem Indexwert 5.
Lösung – Schritt für Schritt
(k − 2)
Die Indexwerte 1, 2, 3 und 4 liefern −1, 0, 1 und 2.
Schon der Faktor für k = 2 macht das ganze Produkt 0.
Dein nächster Schritt
Ergänzende Grundlagenübersicht. Sie behandelt Potenzen und Wurzeln; die Einführung in Σ und Π findest du auf dieser Seite.
Material ansehen →Die Abitur-Spickzettel enthalten eine Karte zu Summen- und Produktzeichen sowie weitere kompakte Algebra-Regeln.
Zum Nachschlagen und Wiederholen neben deinen eigenen Rechnungen. Alle enthaltenen Themen und den aktuellen Preis findest du auf der Produktseite.
Spickzettel ansehen →Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Hier ist Σ ein Rechenzeichen. Der Laufindex steht darunter; die Variable im Summanden wird entsprechend eingesetzt.
Ja, sofern der Summand oder Faktor für k = 0 definiert ist. Bei einem Term mit k im Nenner wäre das beispielsweise nicht erlaubt.
Nein. Σ verknüpft durch Addition, Π durch Multiplikation. Schon bei 1, 2 und 3 unterscheiden sich 1 + 2 + 3 und 1 · 2 · 3 als Rechenarten, auch wenn hier zufällig beide 6 ergeben.
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Beide Grenzen gehören dazu. Die Schrittweite ist hier 1.