Kombinatorik: verstehen und üben

Lernschritt 1

Was zählt die Kombinatorik?

Kombinatorik untersucht, wie viele Möglichkeiten eine Auswahl oder Anordnung hat. Kleine Beispiele kannst du vollständig auflisten. Bei großen Aufgaben ersetzen Zählregeln die lange Liste.

Aus A, B und C sollen zwei verschiedene Buchstaben ausgewählt werden. Wenn die Reihenfolge zählt, gibt es sechs Möglichkeiten:

Wenn nur die ausgewählten Buchstaben zählen, sind AB und BA dieselbe Auswahl. Dann bleiben nur drei:

Lernschritt 2

Mehrere Entscheidungsschritte multiplizieren

Für ein Outfit stehen drei unterschiedliche Oberteile und zwei unterschiedliche Hosen zur Auswahl. Jedes Oberteil lässt sich mit jeder Hose kombinieren:

3 · 2 = 6 Outfits

Die Produktregel gilt, wenn auf jede Möglichkeit eines Schritts dieselbe Anzahl von Fortsetzungen folgt. Die Anzahlen dürfen von Schritt zu Schritt verschieden sein. Bei drei Plätzen ohne Wiederholung können es zum Beispiel zuerst fünf, dann vier und zuletzt drei Optionen sein.

Bei getrennten Fällen, die sich nicht überschneiden, addierst du dagegen. Gibt es wahlweise drei verschiedene Kuchen oder zwei verschiedene Eisbecher und du nimmst genau eine Nachspeise, sind das 3 + 2 = 5 Möglichkeiten.

Lernschritt 3

Reihenfolge wichtig, Wiederholung erlaubt

Ein vierstelliger Code verwendet die Ziffern 0 bis 9. Jede Ziffer darf mehrfach vorkommen, auch 0 am Anfang ist erlaubt. Für jede der vier Stellen gibt es zehn Möglichkeiten:

10⁴ = 10 000 Codes

Allgemein gibt es bei n Möglichkeiten pro Stelle und k Stellen:

n^k

Der Code 0123 ist etwas anderes als 3210. Erlaubt die Aufgabe keine führende Null, hat die erste Stelle nur neun Möglichkeiten. Dann sind es 9 · 10³ = 9 000 vierstellige Zahlen.

Lernschritt 4

Reihenfolge wichtig, Wiederholung verboten

Fünf Personen bewerben sich für drei verschiedene Ämter: Vorsitz, Stellvertretung und Kasse. Eine Person darf nur ein Amt übernehmen. Für das erste Amt gibt es fünf, für das zweite vier und für das dritte drei Möglichkeiten:

5 · 4 · 3 = 60 Besetzungen

Wer welches Amt bekommt, zählt. Aus n verschiedenen Objekten werden k ohne Wiederholung in eine Reihenfolge gebracht:

n · (n − 1) · … · (n − k + 1) = n!(n − k)!

Dabei gilt 0 ≤ k ≤ n. Die Fakultät n! multipliziert alle ganzen Zahlen von 1 bis n. Zum Beispiel ist 5! = 120; per Definition gilt 0! = 1.

Lernschritt 5

Alle Objekte anordnen: Permutationen

Wenn alle n verschiedenen Objekte angeordnet werden, ist k = n. Für fünf unterschiedliche Bücher in einer Reihe gibt es:

5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

Das heißt Permutation. Die Plätze sind hier unterscheidbar und bilden eine Reihe. Kreisförmige Sitzordnungen können anders gezählt werden, wenn Drehungen als dieselbe Anordnung gelten.

Gleiche Zeichen: Bei den Buchstaben A, A, B sind die beiden A nicht unterscheidbar. Die sechs Anordnungen mit gedanklich nummerierten A würden jede sichtbare Anordnung doppelt zählen:

3!2! = 3

Bei mehreren Gruppen gleicher Zeichen teilst du n! durch die Fakultäten ihrer jeweiligen Häufigkeiten. Zum Beispiel hat AABB insgesamt 4!2! · 2! = 6 verschiedene Anordnungen.

Lernschritt 6

Reihenfolge unwichtig, Wiederholung verboten

Aus fünf Personen wird ein Team aus drei Personen gewählt. Alle drei Teammitglieder haben dieselbe Rolle. Das Team aus Anna, Ben und Cem bleibt dasselbe, egal in welcher Reihenfolge die Namen genannt werden.

Beim geordneten Zählen erhältst du zunächst 5 · 4 · 3 = 60 Möglichkeiten. Jedes Team wird dabei 3! = 6-mal gezählt. Daher:

C(5, 3) = 5!3! · 2! = 10 Teams

Allgemein lautet der Binomialkoeffizient, gesprochen „n über k“:

C(n, k) = n!k! · (n − k)!

Am Rechner findest du ihn oft als nCr. C(5, 3) = C(5, 2): Drei Personen auszuwählen ist gleichbedeutend damit, die zwei nicht gewählten festzulegen.

Lernschritt 7

Reihenfolge unwichtig, Wiederholung erlaubt

Du wählst drei Kugeln Eis aus vier Sorten. Sorten dürfen mehrfach vorkommen, und die Reihenfolge der Kugeln wird nicht unterschieden. Drei Kugeln Schokolade zählen als eine Auswahl; zweimal Schokolade und einmal Vanille ebenfalls.

Für k Auswahlen aus n Sorten lautet die Anzahl:

C(n + k − 1, k)

C(4 + 3 − 1, 3) = C(6, 3) = 20

Die Idee dahinter: Drei Markierungen stehen für die Kugeln, drei Trennzeichen teilen sie auf die vier Sorten auf. Unter insgesamt sechs Positionen wählst du die drei Positionen der Kugel-Markierungen. So wird jede Sortenverteilung genau einmal gezählt.

Lernschritt 8

Die vier Auswahlmodelle vergleichen

n ist die Anzahl verfügbarer unterschiedlicher Objekte oder Sorten, k die Anzahl der ausgewählten Plätze oder Objekte. Prüfe zusätzlich besondere Bedingungen, etwa eine verbotene Null am Anfang oder eine vorgeschriebene Person.

Lernschritt 9

Vom Zählen zur Wahrscheinlichkeit

Eine Urne enthält fünf rote und drei blaue, einzeln unterscheidbare Kugeln. Es werden zwei Kugeln zufällig ohne Zurücklegen gezogen. Wir betrachten ungeordnete Kugelpaare. Alle C(8, 2) = 28 Paare sind gleich wahrscheinlich.

Für zwei rote Kugeln gibt es C(5, 2) = 10 günstige Paare. Damit gilt:

P(zwei rote) = C(5, 2)C(8, 2) = 1028 = 514 ≈ 35,71 %

Das Verhältnis „günstige durch mögliche Fälle“ darfst du nur bei gleich wahrscheinlichen Fällen verwenden. Zähle im Zähler und Nenner nach demselben Modell: hier beide Male ungeordnet.

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Sechs Aufgaben zum Selbstcheck

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