Binomialverteilung: verstehen und üben

Lernschritt 1

Wann passt eine Binomialverteilung?

Eine Bernoulli-Kette besteht aus einer festen Anzahl gleichartig modellierter, unabhängiger Versuche. Jeder Versuch wird nur als Treffer oder Nichttreffer gewertet. Die Trefferwahrscheinlichkeit bleibt gleich.

Dann ist X, die Anzahl der Treffer, binomialverteilt. Wir schreiben X ∼ B(n; p). X kann die ganzen Zahlen von 0 bis n annehmen. Ein „Treffer“ ist einfach das Ereignis, das du zählst – es kann auch ein defektes Bauteil sein.

Lernschritt 2

Die Formel für genau k Treffer verstehen

Eine feste Reihenfolge mit k Treffern und n − k Nichttreffern hat die Wahrscheinlichkeit pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ. Mehrere Reihenfolgen können dieselbe Trefferanzahl ergeben. Der Binomialkoeffizient zählt diese Reihenfolgen:

P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1 − p)^{n − k}

C(n, k) = n!k! · (n − k)!

C(n, k) wird „n über k“ gesprochen und am Taschenrechner oft als nCr bezeichnet. Es ist kein Bruch aus n und k. Das Ausrufezeichen bedeutet Fakultät: 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24. Per Definition ist 0! = 1.

Für genau zwei richtige Antworten unter fünf ist C(5, 2) = 10. Zum Beispiel zählen RRFFF und RFRFF als verschiedene Reihenfolgen mit derselben Trefferanzahl. Die Formel gilt hier für ganzzahliges k zwischen 0 und n.

Lernschritt 3

Beispiel: genau zwei richtige Antworten

Wir setzen n = 5, p = 0,25 und k = 2 ein. Es bleiben drei falsche Antworten mit Wahrscheinlichkeit 0,75 pro Frage:

P(X = 2) = 10 · 0,25² · 0,75³

P(X = 2) = 0,263671875 ≈ 26,37 %

Der Faktor 10 ist entscheidend: Ohne ihn würdest du nur eine bestimmte Reihenfolge berechnen. Runde erst am Ende, damit spätere Summen nicht unnötig ungenau werden.

Lernschritt 4

Alle Trefferzahlen im Überblick

Die mittlere Spalte enthält Einzelwahrscheinlichkeiten. Die rechte Spalte addiert jeweils alle Wahrscheinlichkeiten von 0 bis k; sie heißt kumulierte Verteilung. Die Säulen beziehen sich auf die mittlere Spalte. Ein Treffer ist hier am wahrscheinlichsten.

Lernschritt 5

Höchstens und weniger als unterscheiden

„Höchstens zwei“ schließt die 2 ein. Du addierst die Werte 0, 1 und 2. „Weniger als zwei“ schließt die 2 aus und umfasst nur 0 und 1.

P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

Bei ganzzahligen Trefferzahlen kannst du strenge Grenzen so übersetzen: X < k bedeutet X ≤ k − 1. Das hilft beim Eingeben in die kumulierte Verteilungsfunktion des Rechners.

Lernschritt 6

Mindestens mit dem Gegenereignis berechnen

„Mindestens zwei“ bedeutet 2, 3, 4 oder 5 Treffer. Das Gegenereignis lautet „höchstens ein Treffer“. Deshalb:

P(X ≥ 2) = 1 − P(X ≤ 1) ≈ 36,72 %

Wenn du stattdessen 1 − P(X ≤ 2) rechnest, erhältst du mehr als zwei Treffer. Das ist eine andere Frage:

Lernschritt 7

Zwischen zwei Grenzen rechnen

„Mindestens zwei und höchstens vier“ umfasst die Werte 2, 3 und 4. Dafür kannst du diese drei Einzelwahrscheinlichkeiten addieren oder kumulierte Werte voneinander abziehen:

P(2 ≤ X ≤ 4) = P(X ≤ 4) − P(X ≤ 1)

P(2 ≤ X ≤ 4) ≈ 36,62 %

Allgemein gilt für ganzzahlige Grenzen a und b mit 0 ≤ a ≤ b ≤ n: P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) − P(X ≤ a − 1). Für a = 0 ist der abgezogene Anteil null, denn negative Trefferzahlen sind unmöglich.

Lernschritt 8

Erwartungswert und Standardabweichung

Für eine Binomialverteilung ergeben sich die Kennwerte direkt aus n und p:

μ = E(X) = n · p

Var(X) = n · p · (1 − p)

σ = √(n · p · (1 − p))

Im Beispiel: μ = 5 · 0,25 = 1,25 richtige Antworten. Var(X) = 0,9375 und σ ≈ 0,968. 1,25 richtige Antworten sind bei einem einzelnen Test unmöglich, als langfristiger Durchschnitt vieler gleichartig durchgeführter Tests aber sinnvoll.

Die Standardabweichung beschreibt die Streuung um den Erwartungswert. Sie ist keine feste Grenze, innerhalb der alle Ergebnisse liegen müssen.

Lernschritt 9

Vom Aufgabentext zur Rechnung

1. Definiere X als Anzahl eines eindeutig benannten Treffers.
2. Prüfe die vier Bedingungen einer Bernoulli-Kette.
3. Lies n und p ab. Schreibe Prozent als Dezimalzahl.
4. Übersetze die Frage in =, ≤, ≥ oder ein Intervall.
5. Wähle Einzelwahrscheinlichkeit, kumulierte Summe oder Gegenereignis.
6. Prüfe die Grenzen und formuliere einen Antwortsatz.

Am Rechner bedeutet eine Einzelwahrscheinlichkeitsfunktion P(X = k), eine kumulierte Funktion üblicherweise P(X ≤ k). Die Namen und Eingabereihenfolgen hängen vom Gerät ab. Prüfe deshalb die angezeigte Bedeutung der gewählten Funktion.

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Häufige Fragen