1 · Nenne eine Stammfunktion von 4x³.
Lösung und Rechenweg ansehen
F(x) = x⁴. Durch Ableiten erhältst du wieder 4x³.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 11–13 · etwa 40–55 Minuten
Stammfunktionen und unbestimmte Integrale
Du bildest Stammfunktionen, kontrollierst sie durch Ableiten und bestimmst Konstanten mit einer Anfangsbedingung.
Voraussetzungen ansehen
Ableitungsregeln, Potenzen und einfache Gleichungen.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Was kannst du schon?
Drei kurze Aufgaben zeigen dir, wo du einsteigen kannst. Löse sie zunächst ohne Hilfe.
Zahlen mit Komma oder Punkt, Brüche exakt mit /. Gib bei Zahlenaufgaben nur den Zahlenwert ein; die Einheit steht am Eingabefeld. Entscheidungen: ja oder nein. Terme mit x, Potenzen wie x^3 und der freien Konstante C eingeben. Ob + C dazugehört, steht in der Aufgabe.
02 · Verstehen
Was ist eine Stammfunktion?
Ableiten rückwärts denken
F(x) = x³ → F′(x) = 3x²
Wenn f(x) = 3x² gegeben ist, ist F(x) = x³ eine Stammfunktion. Auch x³ + 5 und x³ − 2 haben dieselbe Ableitung.
Eine Funktion F heißt auf einem Intervall Stammfunktion von f, wenn F an jeder Stelle dieses Intervalls die Ableitung f besitzt:
Die Regel
F′(x) = f(x)
Die kleine Funktion f ist also gegeben; die große Funktion F wird gesucht. Für f(x) = 2x ist F(x) = x² eine Möglichkeit, denn (x²)′ = 2x.
Die sicherste Kontrolle lautet: Leite deine gefundene Stammfunktion wieder ab. Wenn dabei die ursprüngliche Funktion herauskommt, stimmt die Rechnung auf dem betrachteten Intervall.
Warum gibt es unendlich viele Stammfunktionen?
Beim Ableiten verschwindet jede additive Konstante. Deshalb haben x², x² + 1 und x² − 1 dieselbe Ableitung 2x.
Experiment: Was verändert die Konstante C?
Verschiebe die Stammfunktion von f(x) = 2x nach oben oder unten. Beobachte den Punkt bei x = 1 und die Richtung seiner Tangente.
F(x) = x² + 0. F(1) = 1. Die Tangentensteigung bei x = 1 bleibt F′(1) = 2. Für alle C gilt F′(x) = 2x.
Erst vermuten, dann ausprobieren: Vergleiche C = −2 und C = 2. Was verändert sich am Funktionswert F(1), was bleibt an F′(1) gleich? Begründe ohne Ablesen.
Beobachtung und Erklärung ansehen
F(1) verändert sich von −1 auf 3. Die Steigung bleibt 2: Beim Ableiten von x² + C fällt die Konstante C weg. Auch an jeder anderen festen x-Stelle bleibt die Steigung unverändert. Die möglichen Tangenten sind parallel.
Auf einem zusammenhängenden Intervall unterscheiden sich zwei Stammfunktionen derselben Funktion nur durch eine Konstante. Die ganze Familie wird daher als F(x) + C geschrieben, wobei C eine beliebige reelle Zahl ist.
C ist kein zusätzlicher Faktor vor der Funktion, sondern eine additive Konstante. Ohne weitere Bedingung kann ihr Wert nicht eindeutig bestimmt werden.
Das unbestimmte Integral lesen
Die Regel
∫ f(x) dx = F(x) + C
Das Integralzeichen ∫ steht hier für das Bestimmen der Stammfunktionen. f(x) ist der Integrand, und dx zeigt die Integrationsvariable x an. Anders als bei einem bestimmten Integral stehen am Integralzeichen keine untere und obere Grenze.
Das Ergebnis ist eine Familie von Funktionen. Wenn nur eine Stammfunktion verlangt ist, darfst du eine Konstante wählen, zum Beispiel C = 0. Wird die allgemeine Stammfunktion oder das unbestimmte Integral gesucht, schreibst du + C dazu.
Potenzen integrieren
Erhöhe den Exponenten um 1 und teile durch diesen neuen Exponenten:
Die Regel
∫ xn dx = + C, n ≠ −1
Für nichtnegative ganze n funktioniert die Regel auf ganz ℝ. Bei anderen reellen Exponenten verwenden wir sie zunächst auf x > 0; negative ganze Exponenten lassen sich auch auf negativen Intervallen ohne 0 behandeln.
Beispiel · Schritt für Schritt
Bestimme alle Stammfunktionen und prüfe sie
∫ x³ dx
RechnungErklärung zum Schritt
f(x) = x³
n + 1 = 3 + 1 = 4
2 Exponent erhöhen
Die neue Potenz ist x⁴. Teile durch den neuen Exponenten 4.
∫ x³ dx = + C
3 Stammfunktionen angeben
C ist eine beliebige reelle Konstante.
F′(x) = = x³
4 Durch Ableiten prüfen
Der Faktor 4 aus der Ableitung kürzt den Nenner; C fällt weg. Die Ausgangsfunktion entsteht.
Für f(x) = 1 ist eine Stammfunktion F(x) = x, denn x′ = 1.
Die Regel
∫ 5 dx = 5x + C
Eine konstante Funktion wird beim Integrieren also nicht null. Das wäre die Ableitung der Konstante.
Faktoren und Summen behandeln
Beispiel · Schritt für Schritt
Integriere die Summe und kontrolliere das Ergebnis
f(x) = 6x² − 4x + 3
Konstante Faktoren darfst du beibehalten, Summanden einzeln integrieren. Beispiel:
RechnungErklärung zum Schritt
f(x) = 6x² − 4x + 3
1 Ausgangsfunktion
Integriere die Summanden einzeln und behalte konstante Faktoren bei.
F(x) = 6 · − 4 ·
+ 3x + C
+ 3x + C
2 Potenzregel anwenden
Erhöhe jeden Exponenten um 1 und teile durch den neuen Exponenten. Die Konstante 3 wird zu 3x.
F(x) = 2x³ − 2x² + 3x + C
3 Faktoren vereinfachen
6 : 3 = 2 und −4 : 2 = −2. Eine gemeinsame Integrationskonstante C genügt.
F′(x) = 6x² − 4x + 3
4 Probe
Aus 2x³ wird 6x², aus −2x² wird −4x und aus 3x wird 3. C fällt weg.
Für Produkte oder Quotienten gibt es dagegen keine allgemeine Regel „beide Teile getrennt integrieren“. Versuche zunächst zu vereinfachen. Beispielsweise wird x · x² zu x³; dann genügt die Potenzregel.
Wichtige Stammfunktionen nachschlagen
| Integrand f(x) | Eine Stammfunktion F(x) | Gültigkeit |
|---|---|---|
| eˣ | eˣ | Alle reellen x |
| cos(x) | sin(x) | Bogenmaß |
| sin(x) | −cos(x) | Bogenmaß |
| ln|x| | Auf einem Intervall ohne 0 |
Der Exponent −1 ist die Ausnahme von der Potenzregel: n + 1 wäre null. Deshalb hat eine logarithmische Stammfunktion. Für x > 0 ist das ln(x); auf negativen Intervallen ln(−x).
Da der Definitionsbereich von durch 0 in zwei Teile getrennt ist, können auf den beiden Intervallen unterschiedliche Integrationskonstanten gelten. Über 0 hinweg ist die Funktion nicht definiert.
Eine lineare innere Funktion berücksichtigen
Beispiel · Schritt für Schritt
Gleiche die konstante innere Ableitung aus
∫ (3x + 1)³ dx
Beim Ableiten von (3x + 1)⁴ entsteht durch die Kettenregel ein zusätzlicher Faktor 3. Beim Integrieren musst du diesen Faktor ausgleichen:
RechnungErklärung zum Schritt
u(x) = 3x + 1
u′(x) = 3
u′(x) = 3
1 Innere Funktion erkennen
Die innere Ableitung ist konstant. Beim Ableiten einer Potenz von u entsteht der zusätzliche Faktor 3.
3 + 1 = 4
4 · 3 = 12
4 · 3 = 12
2 Nenner bestimmen
Die äußere Potenz erhöht sich von 3 auf 4: Teile durch 4. Gleiche zusätzlich die innere Ableitung durch Teilen durch 3 aus.
∫ (3x + 1)³ dx
= + C
= + C
3 Ergebnis
Beide Faktoren ergeben den Nenner 12.
F′(x) =
= (3x + 1)³
= (3x + 1)³
4 Durch Ableiten prüfen
Potenzregel und Kettenregel liefern die Faktoren 4 und 3. Zusammen kürzen sie den Nenner 12.
Beispiel · Schritt für Schritt
Integriere die Exponentialfunktion
∫ e2x dx
Weiteres Beispiel mit linearer innerer Funktion:
RechnungErklärung zum Schritt
u(x) = 2x, u′(x) = 2
1 Innere Ableitung bestimmen
Gesucht ist das unbestimmte Integral von e2x.
∫ e2x dx = + C
2 Faktor ausgleichen
Die Exponentialfunktion bleibt erhalten. Teile durch die konstante innere Ableitung 2.
F′(x) = = e2x
3 Probe
Die Kettenregel gleicht den Nenner 2 aus; C fällt weg.
Das einfache Teilen durch die innere Steigung funktioniert hier, weil die innere Ableitung konstant ist. Bei nichtlinearen inneren Funktionen darfst du dieses Muster nicht ungeprüft übertragen. Dafür lernst du später die Substitution.
Eine bestimmte Stammfunktion mit einem Punkt finden
Beispiel · Schritt für Schritt
Bestimme die Stammfunktion durch P(1 | 4)
f(x) = 2x
Gesucht: F mit F(1) = 4
Gesucht ist eine Stammfunktion von f(x) = 2x, die durch P(1 | 4) verläuft.
RechnungErklärung zum Schritt
F(x) = x² + C
1 Stammfunktionsfamilie bilden
Die Ableitung von x² + C ist 2x.
F(1) = 1² + C = 4
2 Punkt einsetzen
Die Bedingung P(1 | 4) bedeutet F(1) = 4.
1 + C = 4 ⇔ C = 3
3 Konstante bestimmen
Subtrahiere 1 auf beiden Seiten.
F(x) = x² + 3
4 Gesuchte Funktion
Setze C = 3 ein. Zur Kontrolle: F′(x) = 2x und F(1) = 4.
Die Ableitung bestimmt die Form der Stammfunktion. Der zusätzliche Punkt legt die Verschiebung nach oben oder unten fest. In Sachaufgaben ist das oft ein Anfangsbestand.
Vom unbestimmten zum bestimmten Integral
Wenn du eine Stammfunktion gefunden hast, kannst du bei stetigen Integranden ein bestimmtes Integral über das Einsetzen zweier Grenzen berechnen:
Die Regel
f(x) dx = F(b) − F(a)
Beim unbestimmten Integral suchst du Funktionen; beim bestimmten Integral mit festen Grenzen entsteht eine Zahl. Die Konstante C hebt sich in der Differenz auf.
Ob dieser Zahlenwert zugleich ein geometrischer Flächeninhalt ist, hängt vom Vorzeichen der Funktion ab. Die Flächenseite erklärt diesen Unterschied an Beispielen oberhalb und unterhalb der x-Achse.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Übe in deinem Tempo
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Rechne zuerst auf Papier. Achte darauf, ob eine Funktion, ein Integralwert, ein Flächeninhalt oder ein Mittelwert gesucht ist.
Fortschritt auf diesem Gerät merken
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Wie sicher bist du jetzt?
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Lieber auf Papier? Weitere Aufgaben mit Rechenwegen
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Bestimme das unbestimmte Integral von 3.
Lösung und Rechenweg ansehen
3x + C. Die Ableitung von 3x ist 3.
Erklärung wiederholen →3 · Integriere 6x² − 4x.
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Bestimme das unbestimmte Integral
∫ (6x² − 4x) dx
RechnungErklärung zum Schritt
f(x) = 6x² − 4x
1 Summanden betrachten
Behalte die Faktoren 6 und −4 bei und integriere die Potenzen einzeln.
F(x) = 6 · − 4 · + C
2 Potenzregel anwenden
Erhöhe jeden Exponenten um 1 und teile durch den neuen Exponenten.
F(x) = 2x³ − 2x² + C
3 Vereinfachen
Fasse die Zahlenfaktoren zusammen. Die freie Konstante gehört zum unbestimmten Integral.
F′(x) = 6x² − 4x
4 Probe
Beim Ableiten entsteht der ursprüngliche Integrand; C fällt weg.
4 · Warum funktioniert die Potenzregel nicht für ?
Lösung und Rechenweg ansehen
Der Exponent ist −1, sodass n + 1 = 0 wäre. Eine Stammfunktion auf einem Intervall ohne 0 ist ln|x|.
Erklärung wiederholen →5 · F′(x) = 2x und F(0) = 5: Bestimme F.
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Bestimme die passende Stammfunktion
F′(x) = 2x; F(0) = 5
RechnungErklärung zum Schritt
F(x) = x² + C
1 Integrieren
Alle Stammfunktionen von 2x haben diese Form.
F(0) = 0² + C = 5
2 Bedingung einsetzen
Der vorgegebene Funktionswert legt die Konstante fest.
C = 5
3 Konstante ablesen
0² = 0.
F(x) = x² + 5
4 Ergebnis
Die Funktion erfüllt F′(x) = 2x und F(0) = 5.
6 · Integriere e3x.
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Integriere und prüfe durch Ableiten
∫ e3x dx
RechnungErklärung zum Schritt
u(x) = 3x, u′(x) = 3
1 Innere Ableitung
Die innere Funktion ist linear und hat die konstante Ableitung 3.
∫ e3x dx = + C
2 Integrieren
Teile durch die innere Ableitung und ergänze C.
F′(x) = = e3x
3 Kontrollieren
Beim Ableiten gleicht der Faktor 3 aus der Kettenregel den Nenner aus.
Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Für Lehrkräfte: Vorschlag für eine Übungsstunde
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Häufige Fragen
Muss immer + C hinter einer Stammfunktion stehen?
Wenn alle Stammfunktionen oder das unbestimmte Integral gesucht sind, ja. Für eine einzelne Stammfunktion darfst du eine konkrete Konstante wählen.
Wie prüfe ich meine Stammfunktion?
Leite sie ab und vergleiche mit dem ursprünglichen Integranden auf dem betrachteten Definitionsintervall.
Kann jede Stammfunktion einfach mit Grundregeln gefunden werden?
Nein. Für viele Integranden brauchst du weitere Methoden; manche Stammfunktionen lassen sich nicht durch die üblichen elementaren Funktionen ausdrücken.
Gesucht sind alle Stammfunktionen.