1 · Nenne eine Stammfunktion von 4x³.
Lösung und Rechenweg ansehen
F(x) = x⁴. Durch Ableiten erhältst du wieder 4x³.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 11–13 · Grundlagen und Wiederholung
Stammfunktionen und unbestimmte Integrale: verstehen und üben
Finde zu einer Funktion die passende Stammfunktion und prüfe dein Ergebnis durch Ableiten. Lerne die Potenzregel der Integration, die Bedeutung von C und den Unterschied zum bestimmten Integral kennen.
Ableiten rückwärts denken
F(x) = x³ → F′(x) = 3x²
Wenn f(x) = 3x² gegeben ist, ist F(x) = x³ eine Stammfunktion. Auch x³ + 5 und x³ − 2 haben dieselbe Ableitung.
Lernschritt 1
Was ist eine Stammfunktion?
Eine Funktion F heißt auf einem Intervall Stammfunktion von f, wenn F an jeder Stelle dieses Intervalls die Ableitung f besitzt:
F′(x) = f(x)
Die kleine Funktion f ist also gegeben; die große Funktion F wird gesucht. Für f(x) = 2x ist F(x) = x² eine Möglichkeit, denn (x²)′ = 2x.
Die sicherste Kontrolle lautet: Leite deine gefundene Stammfunktion wieder ab. Wenn dabei die ursprüngliche Funktion herauskommt, stimmt die Rechnung auf dem betrachteten Intervall.
Lernschritt 2
Warum gibt es unendlich viele Stammfunktionen?
Beim Ableiten verschwindet jede additive Konstante. Deshalb haben x², x² + 1 und x² − 1 dieselbe Ableitung 2x.
Auf einem zusammenhängenden Intervall unterscheiden sich zwei Stammfunktionen derselben Funktion nur durch eine Konstante. Die ganze Familie wird daher als F(x) + C geschrieben, wobei C eine beliebige reelle Zahl ist.
C ist kein zusätzlicher Faktor vor der Funktion, sondern eine additive Konstante. Ohne weitere Bedingung kann ihr Wert nicht eindeutig bestimmt werden.
Lernschritt 3
Das unbestimmte Integral lesen
∫ f(x) dx = F(x) + C
Das Integralzeichen ∫ steht hier für das Bestimmen der Stammfunktionen. f(x) ist der Integrand, und dx zeigt die Integrationsvariable x an. Anders als bei einem bestimmten Integral stehen am Integralzeichen keine untere und obere Grenze.
Das Ergebnis ist eine Familie von Funktionen. Wenn nur eine Stammfunktion verlangt ist, darfst du eine Konstante wählen, zum Beispiel C = 0. Wird die allgemeine Stammfunktion oder das unbestimmte Integral gesucht, schreibst du + C dazu.
Lernschritt 4
Potenzen integrieren
Erhöhe den Exponenten um 1 und teile durch diesen neuen Exponenten:
∫ xn dx = + C, n ≠ −1
Für nichtnegative ganze n funktioniert die Regel auf ganz ℝ. Bei anderen reellen Exponenten verwenden wir sie zunächst auf x > 0; negative ganze Exponenten lassen sich auch auf negativen Intervallen ohne 0 behandeln.
∫ x³ dx = + C
Kontrolle: Die Ableitung von ist x³. Für f(x) = 1 ist eine Stammfunktion F(x) = x, denn x′ = 1.
∫ 5 dx = 5x + C
Eine konstante Funktion wird beim Integrieren also nicht null. Das wäre die Ableitung der Konstante.
Lernschritt 5
Faktoren und Summen behandeln
Konstante Faktoren darfst du beibehalten, Summanden einzeln integrieren. Beispiel:
f(x) = 6x² − 4x + 3
F(x) = 2x³ − 2x² + 3x + C
Leite zur Kontrolle jeden Term ab: Aus 2x³ wird 6x², aus −2x² wird −4x und aus 3x wird 3. C fällt weg.
Für Produkte oder Quotienten gibt es dagegen keine allgemeine Regel „beide Teile getrennt integrieren“. Versuche zunächst zu vereinfachen. Beispielsweise wird x · x² zu x³; dann genügt die Potenzregel.
Lernschritt 6
Wichtige Stammfunktionen nachschlagen
| Integrand f(x) | Eine Stammfunktion F(x) | Gültigkeit |
|---|---|---|
| eˣ | eˣ | Alle reellen x |
| cos(x) | sin(x) | Bogenmaß |
| sin(x) | −cos(x) | Bogenmaß |
| ln|x| | Auf einem Intervall ohne 0 |
Der Exponent −1 ist die Ausnahme von der Potenzregel: n + 1 wäre null. Deshalb hat eine logarithmische Stammfunktion. Für x > 0 ist das ln(x); auf negativen Intervallen ln(−x).
Da der Definitionsbereich von durch 0 in zwei Teile getrennt ist, können auf den beiden Intervallen unterschiedliche Integrationskonstanten gelten. Über 0 hinweg ist die Funktion nicht definiert.
Lernschritt 7
Eine lineare innere Funktion berücksichtigen
Beim Ableiten von (3x + 1)⁴ entsteht durch die Kettenregel ein zusätzlicher Faktor 3. Beim Integrieren musst du diesen Faktor ausgleichen:
∫ (3x + 1)³ dx = + C
Kontrolle: Der Faktor 4 aus der Potenzregel und der Faktor 3 aus der inneren Ableitung ergeben 12 und heben den Nenner auf.
∫ e2x dx = + C
Das einfache Teilen durch die innere Steigung funktioniert hier, weil die innere Ableitung konstant ist. Bei nichtlinearen inneren Funktionen darfst du dieses Muster nicht ungeprüft übertragen. Dafür lernst du später die Substitution.
Lernschritt 8
Eine bestimmte Stammfunktion mit einem Punkt finden
Gesucht ist eine Stammfunktion von f(x) = 2x, die durch P(1 | 4) verläuft. Zunächst ist F(x) = x² + C. Setze die Bedingung F(1) = 4 ein:
1² + C = 4 → C = 3
F(x) = x² + 3
Die Ableitung bestimmt die Form der Stammfunktion. Der zusätzliche Punkt legt die Verschiebung nach oben oder unten fest. In Sachaufgaben ist das oft ein Anfangsbestand.
Lernschritt 9
Vom unbestimmten zum bestimmten Integral
Wenn du eine Stammfunktion gefunden hast, kannst du bei stetigen Integranden ein bestimmtes Integral über das Einsetzen zweier Grenzen berechnen:
f(x) dx = F(b) − F(a)
Beim unbestimmten Integral suchst du Funktionen; beim bestimmten Integral mit festen Grenzen entsteht eine Zahl. Die Konstante C hebt sich in der Differenz auf.
Ob dieser Zahlenwert zugleich ein geometrischer Flächeninhalt ist, hängt vom Vorzeichen der Funktion ab. Die Flächenseite erklärt diesen Unterschied an Beispielen oberhalb und unterhalb der x-Achse.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Bestimme das unbestimmte Integral von 3.
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3x + C. Die Ableitung von 3x ist 3.
Erklärung wiederholen →3 · Integriere 6x² − 4x.
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2x³ − 2x² + C.
Erklärung wiederholen →4 · Warum funktioniert die Potenzregel nicht für ?
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Der Exponent ist −1, sodass n + 1 = 0 wäre. Eine Stammfunktion auf einem Intervall ohne 0 ist ln|x|.
Erklärung wiederholen →5 · F′(x) = 2x und F(0) = 5: Bestimme F.
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F(x) = x² + 5. Die Bedingung legt C = 5 fest.
Erklärung wiederholen →6 · Integriere e3x.
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+ C. Beim Ableiten gleicht die innere Ableitung 3 den Nenner aus.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Muss immer + C hinter einer Stammfunktion stehen?
Wenn alle Stammfunktionen oder das unbestimmte Integral gesucht sind, ja. Für eine einzelne Stammfunktion darfst du eine konkrete Konstante wählen.
Wie prüfe ich meine Stammfunktion?
Leite sie ab und vergleiche mit dem ursprünglichen Integranden auf dem betrachteten Definitionsintervall.
Kann jede Stammfunktion einfach mit Grundregeln gefunden werden?
Nein. Für viele Integranden brauchst du weitere Methoden; manche Stammfunktionen lassen sich nicht durch die üblichen elementaren Funktionen ausdrücken.