Spiegelungen im Raum: verstehen und üben

Lernschritt 1

Spiegelung und Projektion unterscheiden

Bei einer orthogonalen Projektion auf eine Ebene gehst du von P senkrecht bis zum Lotfußpunkt L. Bei der Spiegelung gehst du auf derselben Geraden noch einmal genau so weit weiter. So entsteht P′ auf der anderen Seite.

P und P′ sind gleich weit von der Ebene entfernt. Die Verbindung steht senkrecht zur Ebene und ihr Mittelpunkt liegt auf ihr. Diese Eigenschaften beschreiben die Spiegelung eindeutig.

Lernschritt 2

Die gemeinsame Mittelpunktformel

Ist M der Mittelpunkt der Strecke zwischen P und P′, gilt für die Ortsvektoren:

m = p + p′2

Stelle nach dem Bildpunkt um:

p′ = 2m − p

Du kannst die Formel koordinatenweise anwenden. Bei der Spiegelung an einem Zentrum ist M dieses Zentrum. Bei einer Ebene oder Geraden verwendest du den passenden Lotfußpunkt L als Mittelpunkt.

Lernschritt 3

Spiegelung an einem Punkt

Spiegle P(3 | −1 | 4) am Zentrum Z(1 | 2 | 0). Verdopple die Zentrumskoordinaten und ziehe die Punktkoordinaten ab:

p′ = 2 · 120 − 3−14 = −15−4

Also ist P′(−1 | 5 | −4). Die Mittelpunkte der drei Koordinatenpaare ergeben wieder Z(1 | 2 | 0).

Beim Ursprung als Zentrum wechseln alle drei Koordinaten ihr Vorzeichen: (x₁; x₂; x₃) wird zu (−x₁; −x₂; −x₃).

Lernschritt 4

Spiegelung an einer Koordinatenebene

Bei der Spiegelung an der x₁-x₂-Ebene bleibt die erste und zweite Koordinate gleich. Nur die dritte wechselt das Vorzeichen:

(x₁; x₂; x₃) → (x₁; x₂; −x₃)

Für P(3 | −1 | 4) ist der Bildpunkt daher (3 | −1 | −4). An der x₁-x₃-Ebene wechselt nur x₂, an der x₂-x₃-Ebene nur x₁ das Vorzeichen.

Ist die Spiegelebene parallel verschoben, etwa E: x₃ = 2, gilt für die dritte Bildkoordinate x₃′ = 4 − x₃. Für P(1 | −3 | 5) erhältst du P′(1 | −3 | −1). Der Lotfuß L(1 | −3 | 2) liegt genau dazwischen.

Lernschritt 5

Spiegelung an einer schiefen Ebene

Gegeben seien P(3 | 0 | 0) und E: 2x₁ − x₂ + 2x₃ = 3. Der Normalenvektor ist n = (2; −1; 2). Stelle die Lotgerade durch P auf:

h: x = 300 + t · 2−12

Setze die Geradenkoordinaten in E ein:

2(3 + 2t) − (−t) + 2(2t) = 3

6 + 9t = 3 → t = −13

Damit ergibt sich der Lotfuß:

L(73 | 13 | −23)

Verdopple nun L und ziehe P ab:

P′(53 | 23 | −43)

Wichtig: Der Lotfuß ist noch nicht der Bildpunkt. Erst der zweite Schritt liefert die Spiegelung.

Lernschritt 6

Den Bildpunkt kontrollieren

Der Mittelpunkt aus P und P′ muss L ergeben. Außerdem muss L auf der Ebene liegen. Für unser Beispiel lautet die Ebenenprobe:

2 · 73 − 13 + 2 · (−23) = 3

Der Verbindungsvektor P nach P′ ist (−vier Drittel; zwei Drittel; −vier Drittel), also −zwei Drittel mal n. Er steht daher senkrecht auf E.

Beide Punkte haben Abstand 1 von E. Das allein wäre noch kein vollständiger Spiegelungsnachweis: Viele andere Punkte haben ebenfalls diesen Abstand. Mittelpunktlage und senkrechte Verbindung gehören dazu.

Lernschritt 7

Eine direkte Formel für Ebenenspiegelungen

Ist die Ebene als n · x = d gegeben, lässt sich der Lotparameter direkt einsetzen. Für den Bildpunkt gilt:

p′ = p − 2 · n · p − dn · n · n

Der Normalenvektor darf nicht null sein. Sein Skalarprodukt mit sich selbst ist seine quadrierte Länge. Hier steht kein Betrag im Zähler: Das Vorzeichen bestimmt, in welche Richtung der Punkt verschoben werden muss.

Für unser Beispiel ist der Bruch (6 − 3) geteilt durch 9, also ein Drittel. Damit erhältst du p′ = p − zwei Drittel mal n, genau wie zuvor.

Lernschritt 8

Spiegelung an einer Geraden im Raum

Bei der Geradenspiegelung bleibt die Achse fest. Jeder Punkt wird in der zu ihr senkrechten Ebene um 180° gedreht. Berechne zunächst den Lotfuß L auf der Geraden und verwende wieder p′ = 2l − p.

Für g: x = t(1; 1; 0) und P(2 | 0 | 1) liefert die Senkrechtbedingung:

((2; 0; 1) − t(1; 1; 0)) · (1; 1; 0) = 0

2 − 2t = 0 → t = 1

Somit ist L(1 | 1 | 0) und der Bildpunkt P′(0 | 2 | −1). L liegt auf g, halbiert PP′ und die Verbindung zu P steht senkrecht zur Geradenrichtung.

Diese Geradenspiegelung im Raum ist eine halbe Drehung um die Achse. Sie ist nicht dieselbe Abbildung wie eine Spiegelung an einer Ebene.

Lernschritt 9

Weitere Eigenschaften und Anwendungen

Punkte auf der Spiegelebene bleiben bei einer Ebenenspiegelung unverändert. Bei einer Geradenspiegelung bleiben die Punkte auf der Achse fest. Beim Spiegeln am Zentrum bleibt nur das Zentrum selbst fest.

Spiegelungen erhalten Abstände und Winkel. Zweimal an derselben Ebene, Geraden oder demselben Zentrum spiegeln führt zum Ausgangspunkt zurück. Das ist eine hilfreiche zusätzliche Kontrolle.

Um eine Strecke oder ein Dreieck zu spiegeln, spiegelst du die End- beziehungsweise Eckpunkte und verbindest die Bildpunkte. Eine Gerade kannst du durch zwei verschiedene Punkte beschreiben, beide spiegeln und aus ihren Bildern eine neue Geradengleichung bilden.

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Häufige Fragen