Spiegle einen Punkt an einem Zentrum, einer Ebene oder einer Geraden. Finde zuerst die Mitte, gehe gleich weit weiter und prüfe deinen Bildpunkt.
Hilfreiches Vorwissen: Vektoren, Skalarprodukt, Geraden, Ebenen und Lotfußpunkte.
Drei kurze Aufgaben zeigen dir, wo du einsteigen kannst. Löse sie zunächst ohne Hilfe.
Koordinaten und mehrere Werte mit Semikolon trennen, z. B. 2; −1; 3. Brüche mit /, Wurzeln als sqrt(…), z. B. sqrt(7), Quadrate als ^2 eingeben. Achte darauf, ob Lotfuß L oder Spiegelpunkt P′ gefragt ist. Gib alle drei Koordinaten exakt an.
Verstehen
Vom Lotfuß gleich weit weiter
p′ = 2l − p
Bei einer Ebenenspiegelung ist L der Lotfußpunkt und zugleich die Mitte zwischen P und seinem Bildpunkt P′.
Bei einer orthogonalen Projektion auf eine Ebene gehst du von P senkrecht bis zum Lotfußpunkt L. Bei der Spiegelung gehst du auf derselben Geraden noch einmal genau so weit weiter. So entsteht P′ auf der anderen Seite.
P und P′ sind gleich weit von der Ebene entfernt. Die Verbindung steht senkrecht zur Ebene und ihr Mittelpunkt liegt auf ihr. Diese Eigenschaften beschreiben die Spiegelung eindeutig.
Ist M der Mittelpunkt der Strecke zwischen P und P′, gilt für die Ortsvektoren:
Beispiel – Schritt für Schritt
M ist die Mitte zwischen P und P′
Multipliziere beide Seiten mit 2.
Subtrahiere den ursprünglichen Ortsvektor. So erhältst du den Bildpunkt.
Du kannst die Formel koordinatenweise anwenden. Bei der Spiegelung an einem Zentrum ist M dieses Zentrum. Bei einer Ebene oder Geraden verwendest du den passenden Lotfußpunkt L als Mittelpunkt.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Verdopple jede Koordinate von L und ziehe die entsprechende Koordinate von P ab.
Beispiel – Schritt für Schritt
P(3 | −1 | 4)
Zentrum: Z(1 | 2 | 0)
Spiegle P(3 | −1 | 4) am Zentrum Z(1 | 2 | 0). Verdopple die Zentrumskoordinaten und ziehe die Punktkoordinaten ab:
Verdopple die Koordinaten des Zentrums Z(1 | 2 | 0).
Ziehe die Koordinaten von P(3 | −1 | 4) ab.
Rechne komponentenweise. Der Bildpunkt ist P′(−1 | 5 | −4).
Also ist P′(−1 | 5 | −4). Die Mittelpunkte der drei Koordinatenpaare ergeben wieder Z(1 | 2 | 0).
Beim Ursprung als Zentrum wechseln alle drei Koordinaten ihr Vorzeichen: (x₁; x₂; x₃) wird zu (−x₁; −x₂; −x₃).
Unterschied zur ebenen Geometrie: In einer Ebene entspricht die Punktspiegelung einer Drehung um 180°. Im dreidimensionalen Raum ist die Punktspiegelung dagegen keine Drehung um eine feste Achse: Bei einer solchen Drehung bleiben alle Achsenpunkte fest, bei der Punktspiegelung nur das Zentrum.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Beim Ursprung als Zentrum wechseln alle drei Koordinaten das Vorzeichen.
Bei der Spiegelung an der x₁-x₂-Ebene bleibt die erste und zweite Koordinate gleich. Nur die dritte wechselt das Vorzeichen:
(x₁; x₂; x₃) → (x₁; x₂; −x₃)
Für P(3 | −1 | 4) ist der Bildpunkt daher (3 | −1 | −4). An der x₁-x₃-Ebene wechselt nur x₂, an der x₂-x₃-Ebene nur x₁ das Vorzeichen.
Beispiel – Schritt für Schritt
P(1 | −3 | 5)
E: x₃ = 2
Bei E: x₃ = 2 liegt der Lotfuß von P(1 | −3 | 5) senkrecht unter P auf der Ebene.
Spiegle die dritte Koordinate an 2. Allgemein gilt x₃′ = 4 − x₃.
Die ersten beiden Koordinaten bleiben gleich. L liegt genau zwischen P und P′.
Bloßes Vorzeichenwechseln funktioniert bei Koordinatenebenen durch den Ursprung. Bei verschobenen oder schiefen Ebenen brauchst du die passende Mittelpunkt- beziehungsweise Lotrechnung.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Die ersten beiden Koordinaten bleiben gleich.
Die dritte Koordinate ist 2·2 − 5 = −1.
Gegeben seien P(3 | 0 | 0) und E: 2x₁ − x₂ + 2x₃ = 3. Der Normalenvektor ist n = (2; −1; 2). Stelle die Lotgerade durch P auf:
h: x = + t ·
Beispiel – Schritt für Schritt
P(3 | 0 | 0)
E: 2x₁ − x₂ + 2x₃ = 3
Setze die Lotgerade in E ein.
Löse die Klammern auf und fasse die t-Terme zusammen.
Subtrahiere 6 und teile durch 9.
Setze t in die Lotgerade ein. Das ist der Lotfuß, noch nicht der Bildpunkt.
Verdopple L und ziehe P ab.
Berechne 2 · 7/3 − 3, 2 · 1/3 − 0 und 2 · (−2/3) − 0.
Wichtig: Der Lotfuß ist noch nicht der Bildpunkt. Erst der zweite Schritt liefert die Spiegelung.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Die Projektion endet am Lotfuß; die Spiegelung geht gleich weit weiter.
Der Bildpunkt liegt auf der anderen Seite der Ebene.
Der Mittelpunkt aus P und P′ muss L ergeben. Außerdem muss L auf der Ebene liegen. Für unser Beispiel lautet die Ebenenprobe:
Beispiel – Schritt für Schritt
P(3 | 0 | 0)
E: 2x₁ − x₂ + 2x₃ = 3
P′(5/3 | 2/3 | −4/3)
Mittelpunktkontrolle in der ersten Koordinate.
Mittelpunktkontrolle in der zweiten Koordinate.
Die dritte Mittelpunktkoordinate stimmt ebenfalls mit L überein.
Setze L in die Ebene ein. 14/3 − 1/3 − 4/3 = 9/3 = 3. Der Mittelpunkt liegt auf E.
Der Verbindungsvektor P nach P′ ist (−vier Drittel; zwei Drittel; −vier Drittel), also −zwei Drittel mal n. Er steht daher senkrecht auf E.
Beide Punkte haben Abstand 1 von E. Das allein wäre noch kein vollständiger Spiegelungsnachweis: Viele andere Punkte haben ebenfalls diesen Abstand. Mittelpunktlage und senkrechte Verbindung gehören dazu.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Lösung – Schritt für Schritt
P(3 | 2 | 1)
E: x₁ + x₂ + x₃ = 3
Ein Normalenvektor von x₁ + x₂ + x₃ = 3 ist (1; 1; 1).
Stelle die Lotgerade durch P(3 | 2 | 1) auf.
Setze die Lotgerade in E ein.
Fasse zusammen und löse nach t.
Setze den Parameter in die Lotgerade ein.
Verdopple L und ziehe P ab: (4 − 3 | 2 − 2 | 0 − 1).
Kontrolliere den Mittelpunkt von P und P′. Die Ebenenprobe 2 + 1 + 0 = 3 stimmt.
Der Verbindungsvektor (−2; −2; −2) ist parallel zur Normalenrichtung und damit senkrecht auf E.
Ist die Ebene als n · x = d gegeben, lässt sich der Lotparameter direkt einsetzen. Für den Bildpunkt gilt:
p′ = p − 2 · · n
Der Normalenvektor darf nicht null sein. Sein Skalarprodukt mit sich selbst ist seine quadrierte Länge. Hier steht kein Betrag im Zähler: Das Vorzeichen bestimmt, in welche Richtung der Punkt verschoben werden muss.
Beispiel – Schritt für Schritt
P(3 | 0 | 0)
E: 2x₁ − x₂ + 2x₃ = 3
n = (2; −1; 2)
Berechne den Zähler mit seinem Vorzeichen.
Berechne die quadrierte Normalenlänge.
Teile die beiden Werte.
Setze den Quotienten in die direkte Formel ein. Das ergibt denselben Bildpunkt wie zuvor.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Der Betrag gehört in die Abstandsformel, nicht an diese Stelle der Spiegelungsformel.
Bei der Geradenspiegelung bleibt die Achse fest. Jeder Punkt wird in der zu ihr senkrechten Ebene um 180° gedreht. Berechne zunächst den Lotfuß L auf der Geraden und verwende wieder p′ = 2l − p.
Für g: x = t(1; 1; 0) und P(2 | 0 | 1) liefert die Senkrechtbedingung:
Beispiel – Schritt für Schritt
P(2 | 0 | 1)
g: x = t · (1; 1; 0)
Ein Punkt der Achse ist L(t | t | 0). Bilde den Vektor von L nach P.
Fordere das Skalarprodukt mit der Richtung (1; 1; 0) gleich 0.
Löse die Senkrechtbedingung nach t.
Setze den Parameter in die Achse ein.
Berechne 2L − P. L liegt auf g, halbiert PP′ und die Verbindung zu P ist senkrecht zur Achsenrichtung.
Diese Geradenspiegelung im Raum ist eine halbe Drehung um die Achse. Sie ist nicht dieselbe Abbildung wie eine Spiegelung an einer Ebene.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Projiziere den Punkt zuerst auf die Achse.
Im Raum entspricht dies einer Drehung um 180° um g.
Punkte auf der Spiegelebene bleiben bei einer Ebenenspiegelung unverändert. Bei einer Geradenspiegelung bleiben die Punkte auf der Achse fest. Beim Spiegeln am Zentrum bleibt nur das Zentrum selbst fest.
Spiegelungen erhalten Abstände und Winkel. Zweimal an derselben Ebene, Geraden oder demselben Zentrum spiegeln führt zum Ausgangspunkt zurück. Das ist eine hilfreiche zusätzliche Kontrolle.
Um eine Strecke oder ein Dreieck zu spiegeln, spiegelst du die End- beziehungsweise Eckpunkte und verbindest die Bildpunkte. Eine Gerade kannst du durch zwei verschiedene Punkte beschreiben, beide spiegeln und aus ihren Bildern eine neue Geradengleichung bilden.
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Mit Tipps lernen oder ohne Hilfe testen – du entscheidest.
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Mathehelfer
Wähle Zentrum, Ebene oder Gerade und trage die Koordinaten ein. Der Helfer trennt Lotfuß und Bildpunkt, zeigt den Rechenweg und kontrolliert Mittelpunkt und Richtung.
Eigene Aufgabe lösen →Ein Rücklink führt dich wieder hierher. Dein Übungsstand bleibt in diesem Tab erhalten.
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
p′ = 2m − p.
Erklärung wiederholen →Lösung – Schritt für Schritt
P(3 | −1 | 4)
Zentrum: O(0 | 0 | 0)
Beim Ursprung als Zentrum ist 2z der Nullvektor.
Wechsle alle drei Vorzeichen von P(3 | −1 | 4).
Lösung – Schritt für Schritt
P(3 | −1 | 4)
Spiegelebene: x₃ = 0
Projiziere P senkrecht auf die x₁-x₂-Ebene.
Gehe vom Lotfuß gleich weit weiter. Nur die dritte Koordinate wechselt das Vorzeichen.
Im Allgemeinen nein. Der Lotfuß ist die Projektion und liegt in der Mitte zwischen P und P′. Nur bei einem Punkt auf der Spiegelebene fallen alle zusammen.
Erklärung wiederholen →Lösung – Schritt für Schritt
P(1 | −3 | 5)
E: x₃ = 2
Bestimme den Lotfuß auf x₃ = 2.
Verdopple die dritte Lotfußkoordinate und ziehe die ursprüngliche dritte Koordinate ab.
Die ersten beiden Koordinaten bleiben unverändert.
Den ursprünglichen Punkt.
Erklärung wiederholen →Dein nächster Schritt
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Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Das Vorzeichen bestimmt die notwendige Verschiebungsrichtung. Ein Betrag würde diese Information verlieren.
Die Projektion liefert den Lotfuß auf der Ebene oder Geraden. Die Spiegelung führt von dort im gleichen Abstand weiter zum Bildpunkt.
Nein. Die Verbindung zwischen Original und Bild muss zusätzlich senkrecht zur Ebene stehen und ihr Mittelpunkt muss auf der Ebene liegen.
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Der Mittelpunkt ist der Mittelwert der beiden Ortsvektoren.