1 · Warum reicht der Abstand zum Stützpunkt nicht?
Lösung und Rechenweg ansehen
Der Stützpunkt ist im Allgemeinen nicht der nächstgelegene Geradenpunkt. Gesucht ist der Lotfußpunkt.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 11–13 · Grundlagen und Wiederholung
Abstand zwischen Punkt und Gerade: verstehen und üben
Bestimme den kürzesten Abstand eines Punktes zu einer Geraden im Raum. Berechne den Lotfußpunkt mit dem Skalarprodukt und kontrolliere das Ergebnis durch eine Punktprobe und die Senkrechtbedingung.
Den richtigen Punkt auf der Geraden finden
Gesucht ist der Punkt L auf g, der P am nächsten liegt. Die Verbindung PL steht senkrecht zur Geradenrichtung.
(p − l) · v = 0
Lernschritt 1
Was der Abstand Punkt–Gerade bedeutet
Der Abstand ist die Länge der kürzesten Verbindungsstrecke zwischen P und einem Punkt auf g. Dieser nächstgelegene Punkt heißt Lotfußpunkt L. Ein beliebiger Geradenpunkt, etwa der Stützpunkt, liefert im Allgemeinen eine längere Strecke.
Liegt P auf g, ist L = P und der Abstand 0. Ein Abstand ist immer nicht negativ. Die folgende Methode funktioniert sowohl in der Ebene als auch im dreidimensionalen Raum.
Lernschritt 2
Den Lotfußpunkt als Geradenpunkt ansetzen
Gegeben sei eine Gerade mit Stützvektor a und Richtungsvektor v ungleich null:
g: x = a + t · v
Der gesuchte Lotfußpunkt liegt auf g. Sein Ortsvektor hat daher die Form l = a + t₀v. Der Verbindungsvektor von L nach P muss orthogonal zu v sein:
(p − a − t₀v) · v = 0
Multipliziere das Skalarprodukt aus und löse nach dem Parameter auf:
t₀ =
Der Nenner ist |v|² und deshalb für einen gültigen Richtungsvektor positiv. Anschließend berechnest du L und die Länge der Strecke PL. Die Parameterzahl allein ist noch kein Abstand.
Lernschritt 3
Beispiel: zuerst den Parameter berechnen
Gegeben sind P(2 | 0 | 1) und:
g: x = + t ·
Hier ist p − a = (2; 0; 1). Das Skalarprodukt mit der Richtung (1; 1; 0) beträgt 2. Das Skalarprodukt der Richtung mit sich selbst beträgt 2.
t₀ = = 1
Setze t₀ = 1 in g ein. Der Lotfußpunkt lautet:
L(1 | 1 | 0)
Die Zahl 1 ist der Parameter dieses Punktes in genau dieser Geradendarstellung. Sie ist nicht automatisch die Länge der Strecke von P nach L.
Lernschritt 4
Die Strecke vom Punkt zum Lotfußpunkt messen
Berechne den Verbindungsvektor L nach P und anschließend seine Länge:
p − l =
d(P, g) = √(1² + (−1)² + 1²) = √3 ≈ 1,73
Der Abstand beträgt √3 Längeneinheiten. Der Abstand von P zum Stützpunkt O wäre dagegen √5. Das zeigt, warum eine Rechnung nur mit dem Stützpunkt zu einem falschen Ergebnis führen kann.
Lernschritt 5
Zwei Kontrollen sichern das Ergebnis
Liegt L auf g? Ja: Für t = 1 erhältst du (1; 1; 0).
Ist die Verbindung senkrecht? Prüfe das Skalarprodukt:
(1; −1; 1) · (1; 1; 0) = 1 − 1 + 0 = 0
Beide Bedingungen zusammen bestätigen den Lotfußpunkt. Eine senkrechte Verbindung zu einem Punkt außerhalb der Geraden würde nicht reichen.
Der Richtungsvektor darf durch ein beliebiges Vielfaches ungleich null ersetzt werden. Dadurch kann sich t₀ ändern, aber der Lotfußpunkt und der Abstand bleiben gleich.
Lernschritt 6
Alternative: eine Hilfsebene durch P
Du kannst durch P eine Ebene aufstellen, die senkrecht zur Geraden steht. Ihr Normalenvektor ist die Geradenrichtung v:
H: v · (x − p) = 0
Im Beispiel lautet die Ebene x₁ + x₂ = 2. Setzt du die Gerade ein, entsteht t + t = 2, also t = 1. Ihr Schnittpunkt mit g ist derselbe Lotfußpunkt L.
Diese Methode ist geometrisch anschaulich und führt rechnerisch zur gleichen Orthogonalitätsbedingung wie die direkte Parameterformel.
Lernschritt 7
Wenn nur der Abstand gefragt ist
Mit w = p − a kannst du den Abstand auch ohne ausgeschriebenen Lotfußpunkt berechnen:
d(P, g)² = |w|² −
Im Beispiel erhältst du 5 − vier Halbe = 3. Nach dem Wurzelziehen folgt wieder √3. Geometrisch wird die zur Geraden parallele Komponente aus dem Verbindungsvektor entfernt.
Runde Zwischenergebnisse möglichst nicht. Ein deutlich negativer Wert für das Abstandsquadrat zeigt einen Rechenfehler. Für den Einstieg ist die Rechnung über L meist leichter zu kontrollieren.
Lernschritt 8
Achtung: Gerade und Strecke unterscheiden
Die Gerade ist unbegrenzt. Bei der Strecke von A nach B ist der Parameter im Ansatz x = a + t(b − a) auf 0 ≤ t ≤ 1 beschränkt. Liegt der errechnete Lotparameter außerhalb dieses Bereichs, ist ein Endpunkt der Strecke am nächsten.
Beispiel: Die Strecke von A(0 | 0 | 0) nach B(1 | 0 | 0) und P(3 | 1 | 0). Der Lotfuß auf der vollständigen Geraden wäre (3 | 0 | 0), also außerhalb der Strecke. Zur Geraden beträgt der Abstand 1, zur Strecke dagegen |PB| = √5.
Lernschritt 9
Dein Rechenplan
- Lies Stützvektor und Richtungsvektor ab.
- Berechne w = p − a.
- Bestimme t₀ aus der Orthogonalitätsbedingung.
- Setze t₀ in die Gerade ein und erhalte L.
- Berechne die Länge von p − l.
- Kontrolliere Punktprobe und Skalarprodukt.
- Prüfe bei Strecken zusätzlich den erlaubten Parameterbereich.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Welche Bedingung erfüllt der Verbindungsvektor vom Lotfußpunkt nach P?
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Er hat mit dem Richtungsvektor das Skalarprodukt 0.
Erklärung wiederholen →3 · Bestimme für P(2 | 0 | 1) und g: x = t(1; 1; 0) den Lotparameter.
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t₀ = = 1.
Erklärung wiederholen →4 · Wie lauten Lotfußpunkt und Abstand im Beispiel?
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L(1 | 1 | 0), Abstand √3 Längeneinheiten.
Erklärung wiederholen →5 · Was ist der Abstand, wenn P bereits auf g liegt?
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0. Der Lotfußpunkt ist dann P selbst.
Erklärung wiederholen →6 · Wie weit ist P(3 | 1 | 0) von der Strecke A(0 | 0 | 0) bis B(1 | 0 | 0) entfernt?
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√5. Der nächstgelegene Streckenpunkt ist B; der Lotfuß der vollständigen Geraden liegt außerhalb der Strecke.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Muss der Richtungsvektor die Länge 1 haben?
Nein. Die Parameterformel berücksichtigt seine Länge über das Skalarprodukt v · v.
Kann der Lotparameter negativ sein?
Ja. Er beschreibt eine Position auf der Geraden. Der daraus berechnete Abstand ist trotzdem nicht negativ.
Gilt die Methode auch für eine Strecke?
Zunächst liefert sie den Lotfuß auf der vollständigen Geraden. Bei einer Strecke musst du zusätzlich die Endpunkte und den erlaubten Parameterbereich berücksichtigen.