1 · Warum reicht der Abstand zum Stützpunkt nicht?
Lösung und Rechenweg ansehen
Der Stützpunkt ist im Allgemeinen nicht der nächstgelegene Geradenpunkt. Gesucht ist der Lotfußpunkt.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 11–13 · etwa 45–60 Minuten
Abstand zwischen Punkt und Gerade
Du bestimmst Lotfußpunkte und exakte Abstände und prüfst bei Strecken, ob stattdessen ein Endpunkt am nächsten liegt.
Voraussetzungen ansehen
Geradenparameter, Skalarprodukt, Vektorlängen und Bruchrechnung.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Was kannst du schon?
Drei kurze Aufgaben zeigen dir, wo du einsteigen kannst. Löse sie zunächst ohne Hilfe.
Drei Koordinaten oder Koordinatenterme mit Semikolon trennen, z. B. 2; −1; 3. Exakte Brüche mit / und Wurzeln als sqrt(…), z. B. sqrt(5). Abstände nicht vorzeitig runden. Nur Winkel wie verlangt runden. Ebenengleichungen sind mit x, y, z oder x1, x2, x3 möglich.
02 · Verstehen
Was der Abstand Punkt–Gerade bedeutet
Den richtigen Punkt auf der Geraden finden
Gesucht ist der Punkt L auf g, der P am nächsten liegt. Die Verbindung PL steht senkrecht zur Geradenrichtung.
(p − l) · v = 0
Der Abstand ist die Länge der kürzesten Verbindungsstrecke zwischen P und einem Punkt auf g. Dieser nächstgelegene Punkt heißt Lotfußpunkt L. Ein beliebiger Geradenpunkt, etwa der Stützpunkt, liefert im Allgemeinen eine längere Strecke.
Liegt P auf g, ist L = P und der Abstand 0. Ein Abstand ist immer nicht negativ. Die folgende Methode funktioniert sowohl in der Ebene als auch im dreidimensionalen Raum.
Den Lotfußpunkt als Geradenpunkt ansetzen
Gegeben sei eine Gerade mit Stützvektor a und Richtungsvektor v ungleich null:
g: x = a + t · v
Der gesuchte Lotfußpunkt liegt auf g. Sein Ortsvektor hat daher die Form l = a + t₀v. Der Verbindungsvektor von L nach P muss orthogonal zu v sein:
(p − a − t₀v) · v = 0
Beispiel · Schritt für Schritt
Leite die Formel für den Lotparameter her
g: x = a + t · v; v ≠ 0
Gesucht: Lotparameter t₀ zu P
RechnungErklärung zum Schritt
(p − a) · v
− t₀(v · v) = 0
− t₀(v · v) = 0
t₀(v · v)
= (p − a) · v
= (p − a) · v
2 Parameterterm freistellen
Addiere t₀(v · v) auf beiden Seiten.
t₀ =
3 Durch v · v teilen
Ein gültiger Richtungsvektor ist ungleich null. Daher ist v · v = |v|² positiv.
Der Nenner ist |v|² und deshalb für einen gültigen Richtungsvektor positiv. Anschließend berechnest du L und die Länge der Strecke PL. Die Parameterzahl allein ist noch kein Abstand.
Beispiel: zuerst den Parameter berechnen
Gegeben sind P(2 | 0 | 1) und:
g: x = + t ·
Beispiel · Schritt für Schritt
Berechne zuerst den Lotparameter
P(2 | 0 | 1)
g: x = t · (1; 1; 0)
RechnungErklärung zum Schritt
L(t | t | 0)
1 Geradenpunkt ansetzen
Jeder Punkt auf g hat diese Form. Gesucht ist der passende Parameter.
p − l =
2 Ziel minus Start
Bilde die Verbindung vom Geradenpunkt L nach P.
(2 − t) · 1 + (−t) · 1
+ 1 · 0 = 0
+ 1 · 0 = 0
3 Orthogonalität fordern
Das Skalarprodukt mit der Geradenrichtung (1; 1; 0) muss 0 sein.
2 − 2t = 0
4 Zusammenfassen
Die erste und zweite Komponente liefern 2 − 2t.
t₀ = 1
5 Parameter lösen
Addiere 2t und teile durch 2. Der Parameter allein ist noch kein Abstand.
Die allgemeine Parameterformel fasst genau diesen Rechenweg zusammen. Hier ist p − a = (2; 0; 1). Einsetzen ergibt dasselbe Ergebnis:
t₀ = = 1
Setze t₀ = 1 in g ein. Der Lotfußpunkt lautet:
L(1 | 1 | 0)
Die Zahl 1 ist der Parameter dieses Punktes in genau dieser Geradendarstellung. Sie ist nicht automatisch die Länge der Strecke von P nach L.
Die Strecke vom Punkt zum Lotfußpunkt messen
Berechne den Verbindungsvektor L nach P und anschließend seine Länge:
Beispiel · Schritt für Schritt
Berechne die Länge der Lotstrecke
P(2 | 0 | 1)
Lotfußpunkt: L(1 | 1 | 0)
RechnungErklärung zum Schritt
p − l =
1 Lotfußpunkt verwenden
Mit L(1 | 1 | 0) berechnest du Ziel minus Start.
p − l =
2 Verbindungsvektor
Die Komponenten beschreiben die Strecke von L nach P.
d(P, g) = √(1² + (−1)² + 1²)
3 Länge bestimmen
Bilde die Wurzel aus der Quadratsumme.
d(P, g) = √3 ≈ 1,73
4 Ergebnis
√3 ist der exakte Abstand in Längeneinheiten.
Der Abstand beträgt √3 Längeneinheiten. Der Abstand von P zum Stützpunkt O wäre dagegen √5. Das zeigt, warum eine Rechnung nur mit dem Stützpunkt zu einem falschen Ergebnis führen kann.
Zwei Kontrollen sichern das Ergebnis
Beispiel · Schritt für Schritt
Prüfe Geradenzugehörigkeit und senkrechte Verbindung
P(2 | 0 | 1)
g: x = t · (1; 1; 0)
L(1 | 1 | 0)
RechnungErklärung zum Schritt
a + 1 · v =
1 Punktprobe
Für t = 1 erhältst du genau den Ortsvektor von L. L liegt auf g.
·
= 1 − 1 + 0 = 0
= 1 − 1 + 0 = 0
2 Senkrechtbedingung
Der Verbindungsvektor vom Lotfußpunkt zu P ist orthogonal zur Geradenrichtung.
Beide Bedingungen zusammen bestätigen den Lotfußpunkt. Eine senkrechte Verbindung zu einem Punkt außerhalb der Geraden würde nicht reichen.
Der Richtungsvektor darf durch ein beliebiges Vielfaches ungleich null ersetzt werden. Dadurch kann sich t₀ ändern, aber der Lotfußpunkt und der Abstand bleiben gleich.
Alternative: eine Hilfsebene durch P
Du kannst durch P eine Ebene aufstellen, die senkrecht zur Geraden steht. Ihr Normalenvektor ist die Geradenrichtung v:
H: v · (x − p) = 0
Beispiel · Schritt für Schritt
Bestimme den Lotfußpunkt über eine Hilfsebene
P(2 | 0 | 1)
g: x = t · (1; 1; 0)
RechnungErklärung zum Schritt
(x₁ − 2) + x₂ = 0
1 Hilfsebene aufstellen
Verwende v = (1; 1; 0) als Normalenvektor und P(2 | 0 | 1) als Stützpunkt.
H: x₁ + x₂ = 2
2 Vereinfachen
Die Ebene geht durch P und steht senkrecht zur Geraden.
t + t = 2 ⇒ t = 1
3 Gerade einsetzen
Auf g gilt x₁ = t, x₂ = t und x₃ = 0.
L(1 | 1 | 0)
4 Schnittpunkt bestimmen
Setze t = 1 in g ein. Es entsteht derselbe Lotfußpunkt.
Diese Methode ist geometrisch anschaulich und führt rechnerisch zur gleichen Orthogonalitätsbedingung wie die direkte Parameterformel.
Wenn nur der Abstand gefragt ist
Mit w = p − a kannst du den Abstand auch ohne ausgeschriebenen Lotfußpunkt berechnen:
d(P, g)² = |w|² −
Beispiel · Schritt für Schritt
Berechne den Abstand mit der Kurzformel
P(2 | 0 | 1)
g: x = t · (1; 1; 0)
w = (2; 0; 1)
RechnungErklärung zum Schritt
|w|² = 2² + 0² + 1² = 5
1 Verbindungsvektor auswerten
Hier ist w = p − a = (2; 0; 1).
w · v = 2
|v|² = 2
|v|² = 2
2 Projektion vorbereiten
Für v = (1; 1; 0) sind Skalarprodukt und Betragsquadrat jeweils 2.
d(P, g)² = 5 − = 3
3 Quadrat des Abstands
Geometrisch entfernst du die zur Geraden parallele Komponente.
d(P, g) = √3
4 Wurzel ziehen
Der Abstand ist die nichtnegative Wurzel des Abstandsquadrats.
Runde Zwischenergebnisse möglichst nicht. Ein deutlich negativer Wert für das Abstandsquadrat zeigt einen Rechenfehler. Für den Einstieg ist die Rechnung über L meist leichter zu kontrollieren.
Achtung: Gerade und Strecke unterscheiden
Die Gerade ist unbegrenzt. Bei der Strecke von A nach B ist der Parameter im Ansatz x = a + t(b − a) auf 0 ≤ t ≤ 1 beschränkt. Liegt der errechnete Lotparameter außerhalb dieses Bereichs, ist ein Endpunkt der Strecke am nächsten.
Beispiel · Schritt für Schritt
Berechne den Abstand zur begrenzten Strecke AB
A(0 | 0 | 0); B(1 | 0 | 0)
P(3 | 1 | 0)
Beispiel: Die Strecke von A(0 | 0 | 0) nach B(1 | 0 | 0) und P(3 | 1 | 0).
RechnungErklärung zum Schritt
x = , 0 ≤ t ≤ 1
1 Strecke parametrisieren
Der Parameterbereich begrenzt die Gerade auf die Strecke AB.
(3 − t) · 1 + 1 · 0 = 0
t₀ = 3
t₀ = 3
2 Lotparameter bestimmen
Die Orthogonalitätsbedingung liefert den Lotfuß auf der vollständigen Geraden.
3 > 1
3 Parameterbereich prüfen
Der Lotfuß (3 | 0 | 0) liegt hinter B außerhalb der Strecke. Der nächstgelegene Streckenpunkt ist B.
|PB| = √((1 − 3)² + (0 − 1)²)
= √5
= √5
4 Abstand zur Strecke
Zur vollständigen Geraden wäre der Abstand nur 1. Für die Strecke zählt die Entfernung zum Endpunkt B.
Dein Rechenplan
- Lies Stützvektor und Richtungsvektor ab.
- Berechne w = p − a.
- Bestimme t₀ aus der Orthogonalitätsbedingung.
- Setze t₀ in die Gerade ein und erhalte L.
- Berechne die Länge von p − l.
- Kontrolliere Punktprobe und Skalarprodukt.
- Prüfe bei Strecken zusätzlich den erlaubten Parameterbereich.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Übe in deinem Tempo
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Rechne und begründe zuerst auf Papier. Gib vollständige Koordinaten, Terme oder exakte Zahlenwerte ein. Nutze die Punktprobe und die Senkrechtbedingung zur Kontrolle.
Fortschritt auf diesem Gerät merken
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Wie sicher bist du jetzt?
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Lieber auf Papier? Weitere Aufgaben mit Rechenwegen
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Welche Bedingung erfüllt der Verbindungsvektor vom Lotfußpunkt nach P?
Lösung und Rechenweg ansehen
Er hat mit dem Richtungsvektor das Skalarprodukt 0.
Erklärung wiederholen →3 · Bestimme für P(2 | 0 | 1) und g: x = t(1; 1; 0) den Lotparameter.
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Bestimme den Lotparameter
P(2 | 0 | 1)
g: x = t · (1; 1; 0)
RechnungErklärung zum Schritt
L(t | t | 0)
1 Geradenpunkt
Setze den gesuchten Lotfußpunkt auf g an.
(2 − t) − t = 0
2 Senkrechtbedingung
Bilde das Skalarprodukt von (2 − t; −t; 1) mit (1; 1; 0).
2 − 2t = 0 ⇒ t₀ = 1
3 Lösen
Der Lotparameter ist 1, gleichwertig mit der Formel 2/2.
4 · Wie lauten Lotfußpunkt und Abstand im Beispiel?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Berechne Lotfußpunkt und Abstand
P(2 | 0 | 1)
g: x = t · (1; 1; 0)
Lotparameter: t₀ = 1
RechnungErklärung zum Schritt
t₀ = 1 ⇒ L(1 | 1 | 0)
1 Parameter einsetzen
Verwende den zuvor berechneten Lotparameter.
p − l =
2 Verbindung bilden
Ziehe den Ortsvektor von L von dem von P ab.
d(P, g) = √(1 + 1 + 1) = √3
3 Abstand bestimmen
Die Länge des Verbindungsvektors ist √3 Längeneinheiten.
5 · Was ist der Abstand, wenn P bereits auf g liegt?
Lösung und Rechenweg ansehen
0. Der Lotfußpunkt ist dann P selbst.
Erklärung wiederholen →6 · Wie weit ist P(3 | 1 | 0) von der Strecke A(0 | 0 | 0) bis B(1 | 0 | 0) entfernt?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Berechne den Abstand zur Strecke AB
A(0 | 0 | 0); B(1 | 0 | 0)
P(3 | 1 | 0)
RechnungErklärung zum Schritt
t₀ = 3 > 1
1 Lotfuß prüfen
Für die Gerade durch A und B ergibt sich L(3 | 0 | 0). Der Streckenparameter darf nur zwischen 0 und 1 liegen.
PB =
2 Nächsten Endpunkt verwenden
Da der Lotparameter größer als 1 ist, liegt B am nächsten.
d(P, AB) = √(4 + 1 + 0) = √5
3 Länge berechnen
Der Abstand zur Strecke beträgt √5 Längeneinheiten.
Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Wiederhole in zwei bis drei Tagen fünf Aufgaben ohne Hilfe. Danach kannst du das nächste Thema angehen.
Abstände zwischen Geraden untersuchen →Für Eltern: in zehn Minuten gemeinsam wiederholen
Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Für Lehrkräfte: Vorschlag für eine Übungsstunde
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Häufige Fragen
Muss der Richtungsvektor die Länge 1 haben?
Nein. Die Parameterformel berücksichtigt seine Länge über das Skalarprodukt v · v.
Kann der Lotparameter negativ sein?
Ja. Er beschreibt eine Position auf der Geraden. Der daraus berechnete Abstand ist trotzdem nicht negativ.
Gilt die Methode auch für eine Strecke?
Zunächst liefert sie den Lotfuß auf der vollständigen Geraden. Bei einer Strecke musst du zusätzlich die Endpunkte und den erlaubten Parameterbereich berücksichtigen.
Nutze die Linearität des Skalarprodukts.