1 · Welcher Vektor liefert die Richtung der Lotgeraden?
Lösung und Rechenweg ansehen
Ein Normalenvektor der Ebene. Er steht senkrecht zu ihr.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 11–13 · etwa 45–60 Minuten
Abstand zwischen Punkt und Ebene
Du berechnest exakte Abstände und Lotfußpunkte und unterscheidest Parameter, Vorzeichen und geometrische Länge.
Voraussetzungen ansehen
Ebenengleichungen, Normalenvektoren, Geraden und Wurzeln.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Was kannst du schon?
Drei kurze Aufgaben zeigen dir, wo du einsteigen kannst. Löse sie zunächst ohne Hilfe.
Drei Koordinaten oder Koordinatenterme mit Semikolon trennen, z. B. 2; −1; 3. Exakte Brüche mit / und Wurzeln als sqrt(…), z. B. sqrt(5). Abstände nicht vorzeitig runden. Nur Winkel wie verlangt runden. Ebenengleichungen sind mit x, y, z oder x1, x2, x3 möglich.
02 · Verstehen
Was der Abstand bedeutet
Der kürzeste Weg steht senkrecht
E: 2x₁ − x₂ + 2x₃ = 3
Für P(3 | 0 | 0) beträgt der Abstand zu E genau 1 Längeneinheit. Entscheidend ist die senkrechte Verbindung zur Ebene.
Der Abstand eines Punktes zur Ebene ist die Länge der kürzesten Verbindungsstrecke. Diese Strecke steht senkrecht auf der Ebene und endet im Lotfußpunkt L. Ein beliebiger anderer Ebenenpunkt liefert im Allgemeinen eine längere Strecke.
Liegt P bereits auf E, ist sein Abstand 0 und der Lotfußpunkt ist P selbst. Ein Abstand ist nie negativ. Ohne vorgegebene Maßeinheit geben wir ihn in Längeneinheiten an.
Die Abstandsformel für die Koordinatenform
Die Ebene sei E: ax₁ + bx₂ + cx₃ = k, der Punkt P habe die Koordinaten p₁, p₂ und p₃. Der Normalenvektor ist n = (a; b; c) und muss ungleich null sein. Dann gilt:
d(P, E) =
Im Zähler setzt du die Punktkoordinaten in die linke Seite ein, ziehst die rechte Seite ab und nimmst den Betrag. Der Nenner ist die Länge des Normalenvektors. Er sorgt dafür, dass das Ergebnis unabhängig von der Skalierung der Ebenengleichung ist.
Steht die Ebene als ax₁ + bx₂ + cx₃ + c₀ = 0 da, lautet der Zähler |ap₁ + bp₂ + cp₃ + c₀|. Bringe die Gleichung zuerst bewusst in eine Form, damit das Vorzeichen stimmt.
Beispiel Schritt für Schritt rechnen
Beispiel · Schritt für Schritt
Berechne den Abstand von P zu E
P(3 | 0 | 0)
E: 2x₁ − x₂ + 2x₃ = 3
Gegeben sind E: 2x₁ − x₂ + 2x₃ = 3 und P(3 | 0 | 0). Lies zunächst n = (2; −1; 2) ab.
n = (2; −1; 2)
|n| = √(4 + 1 + 4) = 3
|n| = √(4 + 1 + 4) = 3
2 · 3 − 0 + 2 · 0 − 3 = 3
2 Punkt einsetzen und Konstante abziehen
Setze P(3 | 0 | 0) in die linke Ebenenseite ein und subtrahiere die rechte Seite 3.
|3| = 3
d(P, E) = 3/3 = 1
d(P, E) = 3/3 = 1
3 Betrag nehmen und normieren
Teile den Betrag des Einsetzwerts durch die Normalenlänge. Der Abstand beträgt 1 Längeneinheit.
Das Ergebnis ist 1 Längeneinheit. Die Zahl 3 im Zähler allein wäre noch nicht der Abstand, weil unser Normalenvektor nicht die Länge 1 besitzt.
Warum die Hessesche Normalform funktioniert
Die Hessesche Normalform verwendet einen Normalenvektor der Länge 1. Dazu teilst du die normale Ebenengleichung durch die Normalenlänge:
= 0
Setzt du einen Punkt in die linke Seite ein, erhältst du seinen vorzeichenbehafteten Abstand bezüglich der gewählten Normalenrichtung. Der Betrag davon ist der geometrische Abstand.
Beispiel · Schritt für Schritt
Vergleiche orientierten und geometrischen Abstand
E: 2x₁ − x₂ + 2x₃ = 3
P(3 | 0 | 0); O(0 | 0 | 0)
P: (2 · 3 − 0 + 0 − 3)/3 = 1
1 Orientierten Abstand von P berechnen
Die normierte linke Seite liefert einen vorzeichenbehafteten Wert.
O: (0 − 0 + 0 − 3)/3 = −1
2 Ursprung einsetzen
O(0 | 0 | 0) liegt auf der anderen Seite der Ebene.
d(P, E) = |1| = 1
d(O, E) = |−1| = 1
d(O, E) = |−1| = 1
3 Geometrische Abstände vergleichen
Beide Punkte sind gleich weit entfernt. Die Vorzeichen hängen von der gewählten Normalenrichtung ab.
Den Lotfußpunkt mit einer Geraden finden
Wenn zusätzlich der nächstgelegene Ebenenpunkt gesucht ist, brauchst du den Lotfußpunkt. Stelle eine Gerade durch P auf, deren Richtung der Normalenvektor von E ist:
h: x = + t ·
Beispiel · Schritt für Schritt
Berechne den Lotfußpunkt auf E
P(3 | 0 | 0)
E: 2x₁ − x₂ + 2x₃ = 3
Lotrichtung: n = (2; −1; 2)
x₁ = 3 + 2t
x₂ = −t; x₃ = 2t
x₂ = −t; x₃ = 2t
1 Lotgerade komponentenweise lesen
Die Gerade durch P hat den Normalenvektor als Richtung. Ihr Schnittpunkt mit E ist der Lotfußpunkt.
2(3 + 2t) − (−t)
+ 2 · 2t = 3
+ 2 · 2t = 3
2 In die Ebene einsetzen
Ersetze alle drei Koordinaten durch ihre Terme mit demselben Parameter t.
6 + 4t + t + 4t = 3
9t = −3
9t = −3
3 Ausmultiplizieren und zusammenfassen
Das Minus vor −t wird zum Plus. Subtrahiere anschließend 6.
t = −1/3
4 Parameter bestimmen
Teile durch 9. Das negative Vorzeichen bedeutet Bewegung entgegen der gewählten Normalenrichtung.
x₁ = 3 − 2/3 = 7/3
x₂ = 1/3; x₃ = −2/3
x₂ = 1/3; x₃ = −2/3
5 In die Lotgerade zurückeinsetzen
Berechne jede Koordinate mit t = −1/3.
L(7/3 | 1/3 | −2/3)
6 Lotfußpunkt angeben
Der Punkt liegt auf der Lotgeraden und erfüllt die Ebenengleichung.
L liegt auf E und die Verbindung von P nach L verläuft parallel zum Normalenvektor. Genau diese beiden Eigenschaften kennzeichnen den Lotfußpunkt.
Den Lotfußpunkt und den Abstand kontrollieren
Beispiel · Schritt für Schritt
Kontrolliere Lotfußpunkt und Abstand
P(3 | 0 | 0)
E: 2x₁ − x₂ + 2x₃ = 3
L(7/3 | 1/3 | −2/3)
2 · (7/3) − 1/3
+ 2 · (−2/3)
= (14 − 1 − 4)/3 = 3
+ 2 · (−2/3)
= (14 − 1 − 4)/3 = 3
1 Punktprobe in E
Die linke Seite ergibt die geforderte rechte Seite. L liegt tatsächlich auf E.
PL = (−2/3; 1/3; −2/3)
PL = (−1/3)n
PL = (−1/3)n
2 Verbindungsrichtung prüfen
Subtrahiere die Koordinaten von P von denen von L. Der Verbindungsvektor ist parallel zur Normalenrichtung und damit senkrecht zur Ebene.
|PL| = √(4/9 + 1/9 + 4/9)
|PL| = 1
|PL| = 1
3 Länge berechnen
Die Summe der Quadrate beträgt 1. Das bestätigt den Abstand aus der Formel.
|t| · |n| = (1/3) · 3 = 1
4 Mit dem Parameter kontrollieren
Der Betrag des Parameters wird mit der Länge des Richtungsvektors multipliziert.
Der Betrag des Parameters t ist nur dann direkt eine Länge, wenn der Richtungsvektor die Länge 1 hat. Hier ist |t| ein Drittel, der Abstand aber 1.
Nützliche Sonderfälle
Beispiel · Schritt für Schritt
Prüfe den Fall: Punkt liegt auf der Ebene
A(0 | 1 | 2)
E: 2x₁ − x₂ + 2x₃ = 3
A(0 | 1 | 2)
2 · 0 − 1 + 2 · 2 = 3
2 · 0 − 1 + 2 · 2 = 3
1 Punktprobe durchführen
A erfüllt die Ebenengleichung 2x₁ − x₂ + 2x₃ = 3.
d(A, E) = |3 − 3|/3 = 0
2 Abstand berechnen
Der Zähler ist null. A liegt auf der Ebene und ist sein eigener Lotfußpunkt.
Beispiel · Schritt für Schritt
Berechne Abstand und Lotfußpunkt
P(1 | −4 | 5)
E: x₃ = 2
E: x₃ = 2
n = (0; 0; 1); |n| = 1
n = (0; 0; 1); |n| = 1
1 Normalenrichtung ablesen
Die Ebene ist parallel zur x₁-x₂-Ebene.
d(P, E) = |5 − 2|/1 = 3
2 P(1 | −4 | 5) einsetzen
Nur die dritte Koordinate geht in die Abstandsformel ein.
L(1 | −4 | 2)
3 Lotfußpunkt angeben
Die ersten beiden Koordinaten bleiben gleich. Der Abstand beträgt 3 Längeneinheiten.
Beispiel · Schritt für Schritt
Prüfe den Abstand nach Verdoppeln der Ebenengleichung
P(3 | 0 | 0)
E: 2x₁ − x₂ + 2x₃ = 3
4x₁ − 2x₂ + 4x₃ = 6
1 Ganze Ebenengleichung verdoppeln
Auch die rechte Seite wird mit 2 multipliziert. Die Ebene bleibt dieselbe.
|n| = √(16 + 4 + 16) = 6
2 Neue Normalenlänge berechnen
Der verdoppelte Normalenvektor ist doppelt so lang.
d(P, E) = |4 · 3 − 6|/6
d(P, E) = 6/6 = 1
d(P, E) = 6/6 = 1
3 Abstand zu P(3 | 0 | 0) prüfen
Zähler und Nenner verdoppeln sich gemeinsam. Der Abstand ändert sich nicht.
Wenn die Ebene in Parameterform vorliegt
Bestimme zuerst einen Normalenvektor n, der zu beiden Spannvektoren orthogonal ist. Verwende anschließend einen Stützpunkt A der Ebene. Mit den Ortsvektoren p und a gilt:
d(P, E) =
Das ist dieselbe Abstandsformel in Vektorschreibweise. Du kannst auch zunächst die Koordinatenform aufstellen und danach die bekannte Formel anwenden. A darf dabei jeder beliebige Punkt der Ebene sein; er muss nicht der Lotfußpunkt sein.
So gehst du in einer Aufgabe vor
- Bringe die Ebene in eine passende Form und lies den Normalenvektor ab.
- Berechne seine Länge sorgfältig mit allen drei quadrierten Komponenten.
- Setze die Punktkoordinaten ein und beachte die Konstante der Ebene.
- Nimm den Betrag und teile durch die Normalenlänge.
- Falls der Lotfußpunkt gefragt ist: Schneide die Lotgerade durch P mit E.
- Kontrolliere den Lotfußpunkt in E und die Verbindungsrichtung.
- Gib den Abstand nicht negativ und mit passender Einheit an.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Übe in deinem Tempo
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Rechne und begründe zuerst auf Papier. Gib vollständige Koordinaten, Terme oder exakte Zahlenwerte ein. Nutze die Punktprobe und die Senkrechtbedingung zur Kontrolle.
Fortschritt auf diesem Gerät merken
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Wie sicher bist du jetzt?
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Lieber auf Papier? Weitere Aufgaben mit Rechenwegen
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Wie lang ist n = (2; −1; 2)?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Berechne die Normalenlänge
n = (2; −1; 2)
|n| = √(2² + (−1)² + 2²)
1 Komponenten quadrieren
Das Quadrat von −1 ist positiv.
|n| = √9 = 3
2 Addieren und Wurzel ziehen
Die Vektorlänge ist eine nichtnegative Zahl.
3 · Welchen Abstand hat P(3 | 0 | 0) von 2x₁ − x₂ + 2x₃ = 3?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Berechne den Abstand
P(3 | 0 | 0)
E: 2x₁ − x₂ + 2x₃ = 3
|2 · 3 − 0 + 2 · 0 − 3| = 3
1 Zähler berechnen
Setze den Punkt ein und ziehe die rechte Ebenenseite ab.
|n| = √(4 + 1 + 4) = 3
2 Normalenlänge bestimmen
Die Koeffizienten sind 2, −1 und 2.
d(P, E) = 3/3 = 1
3 Teilen
Der Abstand beträgt 1 Längeneinheit.
4 · Warum gehört ein Betrag in die Abstandsformel?
Lösung und Rechenweg ansehen
Die Einsetzung kann je nach Seite der Ebene positiv oder negativ sein. Der geometrische Abstand ist stets nicht negativ.
Erklärung wiederholen →5 · Welchen Abstand hat P(1 | −4 | 5) von x₃ = 2?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Bestimme Abstand und Lotfußpunkt
P(1 | −4 | 5)
E: x₃ = 2
d(P, E) = |5 − 2| = 3
1 Höhenunterschied berechnen
Die Normale der Ebene x₃ = 2 hat bereits Länge 1.
L(1 | −4 | 2)
2 Lotfußpunkt bestimmen
Behalte die ersten beiden Koordinaten und ersetze die dritte durch 2. Der Abstand ist 3 Längeneinheiten.
6 · Ist bei einer Lotgeraden mit |n| = 3 und t = −ein Drittel der Abstand ein Drittel?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Rechne den Lotparameter in eine Entfernung um
|n| = 3; t = −1/3
|t| = |−1/3| = 1/3
1 Parameterbetrag nehmen
Das Vorzeichen zeigt nur die Bewegungsrichtung entlang der Lotgeraden.
d = |t| · |n|
d = (1/3) · 3 = 1
d = (1/3) · 3 = 1
2 Richtungsvektorlänge berücksichtigen
Nein, der Abstand ist 1 Längeneinheit. Der Parameterbetrag allein ist hier noch keine Länge.
Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Abstände zu Geraden untersuchen →Für Eltern: in zehn Minuten gemeinsam wiederholen
Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Für Lehrkräfte: Vorschlag für eine Übungsstunde
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Häufige Fragen
Kann der Abstand negativ sein?
Nein. Ein vorzeichenbehafteter Ausdruck kann negativ werden, der geometrische Abstand ist aber sein Betrag.
Muss ich immer den Lotfußpunkt bestimmen?
Nein. Wenn nur der Abstand gefragt ist, reicht die Abstandsformel. Für den nächstgelegenen Punkt oder eine Spiegelung brauchst du den Lotfußpunkt.
Warum teilt man durch die Länge des Normalenvektors?
Damit die Normalenrichtung auf Länge 1 normiert wird. Sonst würde eine bloße Skalierung derselben Ebenengleichung das Ergebnis verändern.
Die Koeffizienten der Ebene bilden den Normalenvektor. Quadriere auch die negative Komponente vollständig.