1 · Welcher Vektor liefert die Richtung der Lotgeraden?
Lösung und Rechenweg ansehen
Ein Normalenvektor der Ebene. Er steht senkrecht zu ihr.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 11–13 · Grundlagen und Wiederholung
Abstand zwischen Punkt und Ebene: verstehen und üben
Berechne den kürzesten Abstand eines Punktes zu einer Ebene. Verstehe die Hessesche Normalform, bestimme den Lotfußpunkt und kontrolliere das Ergebnis mit einer zweiten Methode.
Der kürzeste Weg steht senkrecht
E: 2x₁ − x₂ + 2x₃ = 3
Für P(3 | 0 | 0) beträgt der Abstand zu E genau 1 Längeneinheit. Entscheidend ist die senkrechte Verbindung zur Ebene.
Lernschritt 1
Was der Abstand bedeutet
Der Abstand eines Punktes zur Ebene ist die Länge der kürzesten Verbindungsstrecke. Diese Strecke steht senkrecht auf der Ebene und endet im Lotfußpunkt L. Ein beliebiger anderer Ebenenpunkt liefert im Allgemeinen eine längere Strecke.
Liegt P bereits auf E, ist sein Abstand 0 und der Lotfußpunkt ist P selbst. Ein Abstand ist nie negativ. Ohne vorgegebene Maßeinheit geben wir ihn in Längeneinheiten an.
Lernschritt 2
Die Abstandsformel für die Koordinatenform
Die Ebene sei E: ax₁ + bx₂ + cx₃ = k, der Punkt P habe die Koordinaten p₁, p₂ und p₃. Der Normalenvektor ist n = (a; b; c) und muss ungleich null sein. Dann gilt:
d(P, E) =
Im Zähler setzt du die Punktkoordinaten in die linke Seite ein, ziehst die rechte Seite ab und nimmst den Betrag. Der Nenner ist die Länge des Normalenvektors. Er sorgt dafür, dass das Ergebnis unabhängig von der Skalierung der Ebenengleichung ist.
Steht die Ebene als ax₁ + bx₂ + cx₃ + c₀ = 0 da, lautet der Zähler |ap₁ + bp₂ + cp₃ + c₀|. Bringe die Gleichung zuerst bewusst in eine Form, damit das Vorzeichen stimmt.
Lernschritt 3
Beispiel Schritt für Schritt rechnen
Gegeben sind E: 2x₁ − x₂ + 2x₃ = 3 und P(3 | 0 | 0). Lies zunächst n = (2; −1; 2) ab.
|n| = √(2² + (−1)² + 2²) = 3
Setze P in den Zähler ein:
|2 · 3 − 0 + 2 · 0 − 3| = |3| = 3
Teile durch die Normalenlänge:
d(P, E) = = 1
Das Ergebnis ist 1 Längeneinheit. Die Zahl 3 im Zähler allein wäre noch nicht der Abstand, weil unser Normalenvektor nicht die Länge 1 besitzt.
Lernschritt 4
Warum die Hessesche Normalform funktioniert
Die Hessesche Normalform verwendet einen Normalenvektor der Länge 1. Dazu teilst du die normale Ebenengleichung durch die Normalenlänge:
= 0
Setzt du einen Punkt in die linke Seite ein, erhältst du seinen vorzeichenbehafteten Abstand bezüglich der gewählten Normalenrichtung. Der Betrag davon ist der geometrische Abstand.
Beim Beispiel ist die Normalenlänge 3. Für P ergibt die normierte linke Seite 1. Für O(0 | 0 | 0) ergibt sie −1. Beide Punkte sind gleich weit von E entfernt, liegen aber auf verschiedenen Seiten. Welches Vorzeichen welche Seite bezeichnet, hängt von der Normalenrichtung ab.
Lernschritt 5
Den Lotfußpunkt mit einer Geraden finden
Wenn zusätzlich der nächstgelegene Ebenenpunkt gesucht ist, brauchst du den Lotfußpunkt. Stelle eine Gerade durch P auf, deren Richtung der Normalenvektor von E ist:
h: x = + t ·
Setze die Koordinaten (3 + 2t; −t; 2t) in E ein:
2(3 + 2t) − (−t) + 2 · 2t = 3
6 + 9t = 3 → t = −
Zurück in die Lotgerade eingesetzt ergibt das:
L( | | −)
L liegt auf E und die Verbindung von P nach L verläuft parallel zum Normalenvektor. Genau diese beiden Eigenschaften kennzeichnen den Lotfußpunkt.
Lernschritt 6
Den Lotfußpunkt und den Abstand kontrollieren
Prüfe zuerst, ob L die Ebenengleichung erfüllt:
2 · − + 2 · (−) = 3
Der Verbindungsvektor von P nach L ist (−zwei Drittel; ein Drittel; −zwei Drittel). Seine Länge ist:
|PL| = √( + + ) = 1
Das stimmt mit der Abstandsformel überein. Alternativ kannst du direkt aus der Lotgeraden rechnen: Die Streckenlänge beträgt |t| · |n|, hier ein Drittel mal 3 gleich 1.
Der Betrag des Parameters t ist nur dann direkt eine Länge, wenn der Richtungsvektor die Länge 1 hat. Hier ist |t| ein Drittel, der Abstand aber 1.
Lernschritt 7
Nützliche Sonderfälle
Punkt auf der Ebene: Für A(0 | 1 | 2) ergibt die linke Seite unserer Ebene −1 + 4 = 3. Der Zähler wird 0, also d(A, E) = 0.
Ebene parallel zu einer Koordinatenebene: Für E: x₃ = 2 und P(1 | −4 | 5) ist der Abstand |5 − 2| = 3. Nur die dritte Koordinate unterscheidet den Punkt vom nächstgelegenen Ebenenpunkt L(1 | −4 | 2).
Skalierte Ebenengleichung: Verdoppelst du alle Terme unserer Ausgangsebene, entsteht 4x₁ − 2x₂ + 4x₃ = 6. Für P ist der Zähler dann 6 und die Normalenlänge ebenfalls 6. Der Abstand bleibt 1.
Lernschritt 8
Wenn die Ebene in Parameterform vorliegt
Bestimme zuerst einen Normalenvektor n, der zu beiden Spannvektoren orthogonal ist. Verwende anschließend einen Stützpunkt A der Ebene. Mit den Ortsvektoren p und a gilt:
d(P, E) =
Das ist dieselbe Abstandsformel in Vektorschreibweise. Du kannst auch zunächst die Koordinatenform aufstellen und danach die bekannte Formel anwenden. A darf dabei jeder beliebige Punkt der Ebene sein; er muss nicht der Lotfußpunkt sein.
Lernschritt 9
So gehst du in einer Aufgabe vor
- Bringe die Ebene in eine passende Form und lies den Normalenvektor ab.
- Berechne seine Länge sorgfältig mit allen drei quadrierten Komponenten.
- Setze die Punktkoordinaten ein und beachte die Konstante der Ebene.
- Nimm den Betrag und teile durch die Normalenlänge.
- Falls der Lotfußpunkt gefragt ist: Schneide die Lotgerade durch P mit E.
- Kontrolliere den Lotfußpunkt in E und die Verbindungsrichtung.
- Gib den Abstand nicht negativ und mit passender Einheit an.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Wie lang ist n = (2; −1; 2)?
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√(4 + 1 + 4) = 3.
Erklärung wiederholen →3 · Welchen Abstand hat P(3 | 0 | 0) von 2x₁ − x₂ + 2x₃ = 3?
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Der Zähler ist |6 − 3| = 3, die Normalenlänge 3. Der Abstand ist 1.
Erklärung wiederholen →4 · Warum gehört ein Betrag in die Abstandsformel?
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Die Einsetzung kann je nach Seite der Ebene positiv oder negativ sein. Der geometrische Abstand ist stets nicht negativ.
Erklärung wiederholen →5 · Welchen Abstand hat P(1 | −4 | 5) von x₃ = 2?
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3 Längeneinheiten. Der Lotfußpunkt ist L(1 | −4 | 2).
Erklärung wiederholen →6 · Ist bei einer Lotgeraden mit |n| = 3 und t = −ein Drittel der Abstand ein Drittel?
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Nein. Der Abstand beträgt |t| · |n| = ein Drittel mal 3 = 1.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Kann der Abstand negativ sein?
Nein. Ein vorzeichenbehafteter Ausdruck kann negativ werden, der geometrische Abstand ist aber sein Betrag.
Muss ich immer den Lotfußpunkt bestimmen?
Nein. Wenn nur der Abstand gefragt ist, reicht die Abstandsformel. Für den nächstgelegenen Punkt oder eine Spiegelung brauchst du den Lotfußpunkt.
Warum teilt man durch die Länge des Normalenvektors?
Damit die Normalenrichtung auf Länge 1 normiert wird. Sonst würde eine bloße Skalierung derselben Ebenengleichung das Ergebnis verändern.