1 · Was für ein Ergebnis liefert das Spatprodukt?
Lösung und Rechenweg ansehen
Eine Zahl. Ihr Betrag ist das Spatvolumen.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 11–13 · Grundlagen und Wiederholung
Spatprodukt und Volumenberechnung: verstehen und üben
Berechne mit drei Vektoren das Volumen eines Spats, einer Pyramide oder eines Tetraeders. Verstehe die Faktoren und prüfe, ob vier Punkte in einer Ebene liegen.
Kreuzprodukt trifft Skalarprodukt
V = |(a × b) · c|
Der Betrag des Spatprodukts liefert das Volumen des von drei Kantenvektoren aufgespannten Spats.
Lernschritt 1
Was ein Spat ist
Ein Spat, auch Parallelepiped genannt, ist ein Körper mit sechs parallelogrammförmigen Seitenflächen. Du kannst ihn dir als schiefen Quader vorstellen. Drei Kantenvektoren a, b und c mit gemeinsamem Anfangspunkt legen ihn fest.
Die Kanten müssen nicht senkrecht aufeinander stehen. Deshalb ist das Produkt ihrer Längen im Allgemeinen nicht das Volumen. Du brauchst Grundfläche mal senkrechte Höhe.
Lernschritt 2
Das Spatprodukt Schritt für Schritt
Das Spatprodukt kombiniert zwei Rechenarten:
S = (a × b) · c
- Berechne das Kreuzprodukt a × b. Das Ergebnis ist ein Vektor.
- Bilde sein Skalarprodukt mit c. Das Ergebnis ist eine Zahl.
- Nimm für das Volumen den Betrag dieser Zahl.
Das Vorzeichen des Spatprodukts beschreibt die Orientierung der drei Vektoren. Ein geometrisches Volumen ist dagegen nicht negativ.
Lernschritt 3
Ein schiefes Beispiel durchrechnen
Gegeben seien:
a = , b = , c =
Zuerst das Kreuzprodukt:
a × b =
Dann das Skalarprodukt mit c:
S = 0 · 1 + 0 · 0 + 6 · 4 = 24
V = |24| = 24
Das Volumen beträgt 24 Volumeneinheiten. Bei Koordinatenlängen in cm wäre die Einheit cm³.
Lernschritt 4
Warum nur die senkrechte Höhe zählt
Im Beispiel liegt die Grundfläche in der x₁-x₂-Ebene. Ihre Fläche ist |a × b| = 6. Der dritte Kantenvektor c = (1; 0; 4) hat die Länge √17. Die senkrechte Höhe ist aber nur 4.
V = G · h = 6 · 4 = 24
Die erste Komponente von c verschiebt die obere Fläche seitlich. Sie verändert die Höhe nicht. Würde c = (5; −2; 4) lauten, bliebe das Volumen deshalb ebenfalls 24.
Allgemein mit n = a × b ungleich null gilt:
h =
Multipliziert mit G = |n| ergibt das genau den Betrag des Spatprodukts. Sind a und b abhängig, ist schon die Grundfläche 0 und der Spat hat Volumen 0.
Lernschritt 5
Spat, Pyramide und Tetraeder unterscheiden
| Körper aus denselben drei Vektoren | Volumen |
|---|---|
| Spat | |S| |
| Pyramide über dem Parallelogramm aus a und b, Spitze am Endpunkt von c | |S| geteilt durch 3 |
| Tetraeder mit Kanten a, b, c an einer gemeinsamen Ecke | |S| geteilt durch 6 |
Eine Pyramide hat ein Drittel des Volumens eines Prismas mit gleicher Grundfläche und Höhe. Beim Tetraeder ist die Grundfläche zusätzlich ein Dreieck, also halb so groß wie das Parallelogramm.
V_Tetraeder = · · |S| =
Für S = 24 hat der Spat Volumen 24, die Pyramide über der parallelogrammförmigen Grundfläche Volumen 8 und das Tetraeder Volumen 4.
Lernschritt 6
Ein Tetraeder aus vier Punkten
Gegeben sind A(1 | 0 | 0), B(4 | 0 | 0), C(2 | 2 | 0) und D(2 | 0 | 4). Wähle A als gemeinsamen Startpunkt:
AB = , AC = , AD =
Das sind genau die drei Vektoren unseres Beispiels. Somit:
V_ABCD = = 4
Verwende nicht einfach die Ortsvektoren von B, C und D. Die Kanten müssen von derselben Ecke ausgehen. Eine gemeinsame Verschiebung aller vier Punkte darf das Volumen nicht verändern.
Lernschritt 7
Volumen 0 und lineare Abhängigkeit
Das Spatprodukt ist genau dann 0, wenn die drei Vektoren linear abhängig sind. Sie spannen dann keinen dreidimensionalen Körper auf.
Bei a = (3; 0; 0), b = (1; 2; 0) und c = (1; 1; 0) ist das Kreuzprodukt der ersten beiden (0; 0; 6). Das anschließende Skalarprodukt mit c ergibt 0.
Für vier Punkte bedeutet das: Die drei Verbindungsvektoren von einem gemeinsamen Startpunkt sind abhängig. Die vier Punkte liegen gemeinsam in einer Ebene; auch Fälle mit Punkten auf einer Geraden oder zusammenfallenden Punkten sind dabei eingeschlossen.
Lernschritt 8
Eine Höhe als Parameter bestimmen
Ersetze im Ausgangsbeispiel c durch (1; 0; k). Das Spatprodukt lautet 6k. Der Spat soll Volumen 18 haben:
|6k| = 18 → |k| = 3 → k = 3 oder k = −3
Beide Werte liefern dasselbe Volumen. Die Spitze beziehungsweise obere Fläche liegt dabei auf unterschiedlichen Seiten der Grundebene. Für k = 0 verschwindet das Volumen.
Lass den Betrag bei Volumenaufgaben nicht weg. Andernfalls würdest du hier eine gültige Lösung verlieren.
Lernschritt 9
Reihenfolge und typische Fehler
Vertauschst du zwei Vektoren, wechselt das Spatprodukt sein Vorzeichen. Sein Betrag und damit das Volumen bleiben gleich. Zyklisches Vertauschen erhält sogar das Vorzeichen.
- Kreuzprodukt und Skalarprodukt unterscheiden: Erst entsteht ein Vektor, dann eine Zahl.
- Für ein Tetraeder den Faktor ein Sechstel verwenden.
- Eine schräge Kantenlänge nicht mit der senkrechten Höhe verwechseln.
- Bei Punkten zuerst Verbindungsvektoren bilden.
- Das Ergebnis in Volumeneinheiten angeben.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Berechne das Spatprodukt für a = (3; 0; 0), b = (1; 2; 0), c = (1; 0; 4).
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a × b = (0; 0; 6), anschließend 6 · 4 = 24.
Erklärung wiederholen →3 · Welches Tetraedervolumen gehört zum Spatprodukt 24?
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24 geteilt durch 6 ergibt 4 Volumeneinheiten.
Erklärung wiederholen →4 · Was bedeutet Spatprodukt 0?
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Die drei Vektoren sind linear abhängig. Sie spannen kein positives Raumvolumen auf.
Erklärung wiederholen →5 · Welche k ergeben bei c = (1; 0; k) und derselben Grundfläche das Volumen 18?
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k = 3 und k = −3.
Erklärung wiederholen →6 · Ändert sich das Volumen beim Vertauschen zweier Kantenvektoren?
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Nein. Das Spatprodukt wechselt sein Vorzeichen, der Betrag bleibt gleich.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Ist das Spatprodukt dasselbe wie eine Determinante?
Ja. Es entspricht der Determinante der Matrix mit den drei Vektoren als Spalten in derselben Reihenfolge.
Warum steht beim Tetraeder ein Sechstel?
Die Dreiecksgrundfläche liefert den Faktor ein Halb, die Pyramidenform zusätzlich ein Drittel.
Kann ein Volumen negativ sein?
Nein. Das Spatprodukt kann negativ sein, sein Betrag als geometrisches Volumen nicht.