1 · Was für ein Ergebnis liefert das Spatprodukt?
Lösung und Rechenweg ansehen
Eine Zahl. Ihr Betrag ist das Spatvolumen.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 11–13 · etwa 45–60 Minuten
Spatprodukt und Volumenberechnung
Du unterscheidest Spatprodukt und Volumen, berechnest Spat, Pyramide und Tetraeder und prüfst Parameter sowie Koplanarität.
Voraussetzungen ansehen
Kreuzprodukt, Skalarprodukt, Verbindungsvektoren und Beträge.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Was kannst du schon?
Drei kurze Aufgaben zeigen dir, wo du einsteigen kannst. Löse sie zunächst ohne Hilfe.
Vektoren und mehrere Werte mit Semikolon trennen, z. B. 2; −1; 3. Exakte Brüche mit / und Wurzeln als sqrt(…), z. B. sqrt(7). Runde nicht vorzeitig. Bei Parameteraufgaben alle Lösungen mit Semikolon getrennt eingeben.
02 · Verstehen
Was ein Spat ist
Kreuzprodukt trifft Skalarprodukt
V = |(a × b) · c|
Der Betrag des Spatprodukts liefert das Volumen des von drei Kantenvektoren aufgespannten Spats.
Ein Spat, auch Parallelepiped genannt, ist ein Körper mit sechs parallelogrammförmigen Seitenflächen. Du kannst ihn dir als schiefen Quader vorstellen. Drei Kantenvektoren a, b und c mit gemeinsamem Anfangspunkt legen ihn fest.
Die Kanten müssen nicht senkrecht aufeinander stehen. Deshalb ist das Produkt ihrer Längen im Allgemeinen nicht das Volumen. Du brauchst Grundfläche mal senkrechte Höhe.
Das Spatprodukt Schritt für Schritt
Das Spatprodukt kombiniert zwei Rechenarten:
S = (a × b) · c
- Berechne das Kreuzprodukt a × b. Das Ergebnis ist ein Vektor.
- Bilde sein Skalarprodukt mit c. Das Ergebnis ist eine Zahl.
- Nimm für das Volumen den Betrag dieser Zahl.
Das Vorzeichen des Spatprodukts beschreibt die Orientierung der drei Vektoren. Ein geometrisches Volumen ist dagegen nicht negativ.
Ein schiefes Beispiel durchrechnen
Gegeben seien:
a = , b = , c =
Beispiel · Schritt für Schritt
Berechne Spatprodukt und Spatvolumen
a = (3; 0; 0)
b = (1; 2; 0)
c = (1; 0; 4)
RechnungErklärung zum Schritt
a × b =
a × b =
2 Komponenten berechnen
Der Normalenvektor zur Grundfläche hat die Länge 6.
S = 0 · 1 + 0 · 0 + 6 · 4
3 Skalarprodukt mit c
Multipliziere entsprechende Komponenten und addiere die Produkte.
S = 24
V = |24| = 24
V = |24| = 24
4 Betrag bilden
Das Spatprodukt ist eine Zahl. Ihr Betrag liefert das geometrische Volumen.
Das Volumen beträgt 24 Volumeneinheiten. Bei Koordinatenlängen in cm wäre die Einheit cm³.
Warum nur die senkrechte Höhe zählt
Beispiel · Schritt für Schritt
Unterscheide schräge Kante und senkrechte Höhe
a = (3; 0; 0)
b = (1; 2; 0)
c = (1; 0; 4)
RechnungErklärung zum Schritt
G = √(0² + 0² + 6²) = 6
1 Grundfläche bestimmen
Die Grundfläche liegt in der x₁-x₂-Ebene. Ihr Flächeninhalt ist der Betrag von a × b.
|c| = √(1² + 0² + 4²) = √17
2 Kantenlänge unterscheiden
Die schräge Kante ist länger als die senkrechte Höhe.
h = 4
3 Höhe ablesen
Zur x₁-x₂-Ebene zählt nur der senkrechte Abstand, hier die dritte Komponente.
V = G · h = 6 · 4 = 24
4 Volumen berechnen
Verwende Grundfläche mal senkrechte Höhe.
Die erste Komponente von c verschiebt die obere Fläche seitlich. Sie verändert die Höhe nicht. Würde c = (5; −2; 4) lauten, bliebe das Volumen deshalb ebenfalls 24.
Allgemein mit n = a × b ungleich null gilt:
h =
Multipliziert mit G = |n| ergibt das genau den Betrag des Spatprodukts. Sind a und b abhängig, ist schon die Grundfläche 0 und der Spat hat Volumen 0.
Spat, Pyramide und Tetraeder unterscheiden
| Körper aus denselben drei Vektoren | Volumen |
|---|---|
| Spat | |S| |
| Pyramide über dem Parallelogramm aus a und b, Spitze am Endpunkt von c | |S| geteilt durch 3 |
| Tetraeder mit Kanten a, b, c an einer gemeinsamen Ecke | |S| geteilt durch 6 |
Eine Pyramide hat ein Drittel des Volumens eines Prismas mit gleicher Grundfläche und Höhe. Beim Tetraeder ist die Grundfläche zusätzlich ein Dreieck, also halb so groß wie das Parallelogramm.
VTetraeder = · · |S| =
Beispiel · Schritt für Schritt
Vergleiche Spat, Pyramide und Tetraeder
Spatprodukt: S = 24
RechnungErklärung zum Schritt
VSpat = |24| = 24
1 Spat
Nimm den Betrag des Spatprodukts.
VPyramide = 24/3 = 8
2 Parallelogramm als Grundfläche
Die Pyramide hat ein Drittel des Spatvolumens bei gleicher Grundfläche und Höhe.
VTetraeder = 24/6 = 4
3 Dreieck als Grundfläche
Zusätzlich halbiert sich die Grundfläche. Die Faktoren 1/3 und 1/2 ergeben 1/6.
Ein Tetraeder aus vier Punkten
Beispiel · Schritt für Schritt
Berechne das Volumen des Tetraeders ABCD
A(1 | 0 | 0); B(4 | 0 | 0)
C(2 | 2 | 0); D(2 | 0 | 4)
Gegeben sind A(1 | 0 | 0), B(4 | 0 | 0), C(2 | 2 | 0) und D(2 | 0 | 4). Wähle A als gemeinsamen Startpunkt:
RechnungErklärung zum Schritt
AB = =
1 Erste Kante
Bilde Ziel minus Start mit gemeinsamem Startpunkt A.
AC = =
2 Zweite Kante
Auch dieser Vektor beginnt in A.
AD = =
3 Dritte Kante
Damit liegen genau die drei Vektoren des Ausgangsbeispiels vor.
(AB × AC) · AD = 24
4 Spatprodukt nutzen
Das zuvor berechnete Spatprodukt gilt hier ebenfalls.
VABCD = |24|/6 = 4
5 Tetraedervolumen
Vier Punkte bilden hier ein Tetraeder. Teile den Betrag durch 6.
Verwende nicht einfach die Ortsvektoren von B, C und D. Die Kanten müssen von derselben Ecke ausgehen. Eine gemeinsame Verschiebung aller vier Punkte darf das Volumen nicht verändern.
Volumen 0 und lineare Abhängigkeit
Das Spatprodukt ist genau dann 0, wenn die drei Vektoren linear abhängig sind. Sie spannen dann keinen dreidimensionalen Körper auf.
Beispiel: a = (3; 0; 0), b = (1; 2; 0), c = (1; 1; 0).
Beispiel · Schritt für Schritt
Prüfe, ob ein positives Raumvolumen entsteht
a = (3; 0; 0)
b = (1; 2; 0)
c = (1; 1; 0)
RechnungErklärung zum Schritt
a × b =
1 Grundfläche bestimmen
Das Kreuzprodukt der ersten beiden Vektoren ist unverändert.
S = 0 · 1 + 0 · 1 + 6 · 0 = 0
2 Skalarprodukt berechnen
Der dritte Vektor besitzt keine Komponente senkrecht zur Grundfläche.
V = |0| = 0
3 Abhängigkeit erkennen
Die Vektoren sind linear abhängig und spannen kein positives Raumvolumen auf.
Für vier Punkte bedeutet das: Die drei Verbindungsvektoren von einem gemeinsamen Startpunkt sind abhängig. Die vier Punkte liegen gemeinsam in einer Ebene; auch Fälle mit Punkten auf einer Geraden oder zusammenfallenden Punkten sind dabei eingeschlossen.
Eine Höhe als Parameter bestimmen
Ersetze im Ausgangsbeispiel c durch (1; 0; k). Das Spatprodukt lautet 6k. Der Spat soll Volumen 18 haben:
Beispiel · Schritt für Schritt
Bestimme alle passenden Werte für k
a = (3; 0; 0)
b = (1; 2; 0)
c = (1; 0; k)
Gesuchtes Spatvolumen: 18
RechnungErklärung zum Schritt
|6k| = 18
1 Volumenbedingung
Der Betrag des Spatprodukts muss 18 ergeben.
6|k| = 18
2 Positiven Faktor herausziehen
Weil 6 positiv ist, gilt |6k| = 6|k|.
|k| = 3
3 Durch 6 teilen
Teile beide Seiten durch 6.
k = 3 oder k = −3
4 Beide Fälle berücksichtigen
Beide Werte haben den Betrag 3. Die Höhen liegen auf unterschiedlichen Seiten der Grundebene.
Beide Werte liefern dasselbe Volumen. Die Spitze beziehungsweise obere Fläche liegt dabei auf unterschiedlichen Seiten der Grundebene. Für k = 0 verschwindet das Volumen.
Lass den Betrag bei Volumenaufgaben nicht weg. Andernfalls würdest du hier eine gültige Lösung verlieren.
Reihenfolge und typische Fehler
Vertauschst du zwei Vektoren, wechselt das Spatprodukt sein Vorzeichen. Sein Betrag und damit das Volumen bleiben gleich. Zyklisches Vertauschen erhält sogar das Vorzeichen.
- Kreuzprodukt und Skalarprodukt unterscheiden: Erst entsteht ein Vektor, dann eine Zahl.
- Für ein Tetraeder den Faktor ein Sechstel verwenden.
- Eine schräge Kantenlänge nicht mit der senkrechten Höhe verwechseln.
- Bei Punkten zuerst Verbindungsvektoren bilden.
- Das Ergebnis in Volumeneinheiten angeben.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Übe in deinem Tempo
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Rechne und begründe zuerst auf Papier. Gib vollständige Vektoren oder die gefragten exakten Werte ein. Kontrolliere Vorzeichen, Einheiten und die geometrischen Bedingungen.
Fortschritt auf diesem Gerät merken
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Wie sicher bist du jetzt?
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Lieber auf Papier? Weitere Aufgaben mit Rechenwegen
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Berechne das Spatprodukt für a = (3; 0; 0), b = (1; 2; 0), c = (1; 0; 4).
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Berechne das Spatprodukt
a = (3; 0; 0)
b = (1; 2; 0)
c = (1; 0; 4)
RechnungErklärung zum Schritt
a × b =
1 Kreuzprodukt bilden
Berechne zuerst den Vektor a × b.
a × b =
2 Vereinfachen
Nur die dritte Komponente ist ungleich 0.
S = 0 · 1 + 0 · 0 + 6 · 4 = 24
3 Skalarprodukt
Das gesuchte Spatprodukt beträgt 24.
3 · Welches Tetraedervolumen gehört zum Spatprodukt 24?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Berechne das Tetraedervolumen
Spatprodukt: S = 24
RechnungErklärung zum Schritt
VTetraeder = |S|/6
1 Passenden Faktor wählen
Ein Tetraeder hat ein Sechstel des zugehörigen Spatvolumens.
VTetraeder = |24|/6 = 4
2 Einsetzen
Das Ergebnis lautet 4 Volumeneinheiten.
4 · Was bedeutet Spatprodukt 0?
Lösung und Rechenweg ansehen
Die drei Vektoren sind linear abhängig. Sie spannen kein positives Raumvolumen auf.
Erklärung wiederholen →5 · Welche k ergeben bei c = (1; 0; k) und derselben Grundfläche das Volumen 18?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Bestimme beide möglichen Werte für k
a = (3; 0; 0)
b = (1; 2; 0)
c = (1; 0; k)
Spatvolumen: 18
RechnungErklärung zum Schritt
S = 6k
1 Spatprodukt bestimmen
a × b = (0; 0; 6); das Skalarprodukt mit (1; 0; k) ist 6k.
|6k| = 18 ⇒ |k| = 3
2 Volumenbedingung lösen
Teile beide Seiten durch den positiven Faktor 6.
k = 3 oder k = −3
3 Alle Lösungen nennen
Beide Werte liefern Volumen 18.
6 · Ändert sich das Volumen beim Vertauschen zweier Kantenvektoren?
Lösung und Rechenweg ansehen
Nein. Das Spatprodukt wechselt sein Vorzeichen, der Betrag bleibt gleich.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Für Lehrkräfte: Vorschlag für eine Übungsstunde
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Häufige Fragen
Ist das Spatprodukt dasselbe wie eine Determinante?
Ja. Es entspricht der Determinante der Matrix mit den drei Vektoren als Spalten in derselben Reihenfolge.
Warum steht beim Tetraeder ein Sechstel?
Die Dreiecksgrundfläche liefert den Faktor ein Halb, die Pyramidenform zusätzlich ein Drittel.
Kann ein Volumen negativ sein?
Nein. Das Spatprodukt kann negativ sein, sein Betrag als geometrisches Volumen nicht.
Rechne die Komponenten in dieser Reihenfolge; das Ergebnis ist zunächst ein Vektor.