Linearkombinationen und lineare Unabhängigkeit: verstehen und üben

Lernschritt 1

Was eine Linearkombination ist

Eine Linearkombination entsteht, indem du Vektoren mit reellen Zahlen multiplizierst und addierst. Für zwei Vektoren a und b lautet ein allgemeiner Ansatz:

w = r · a + s · b

Die Koeffizienten r und s dürfen positiv, negativ oder 0 sein. Ein negatives Vorzeichen kehrt die Richtung um. Ein Koeffizient 0 bedeutet, dass dieser Vektor zum Ergebnis nichts beiträgt.

Du kennst solche Ausdrücke bereits von Geraden und Ebenen. Dort beschreibt die Linearkombination der Richtungs- beziehungsweise Spannvektoren eine Verschiebung vom Stützpunkt aus.

Lernschritt 2

Einen Vektor als Linearkombination darstellen

Gegeben sind a = (1; 0; 1), b = (0; 1; 1) und w = (2; 3; 5). Gesucht sind r und s mit w = ra + sb. Vergleiche die Komponenten:

r = 2, s = 3, r + s = 5

Die ersten beiden Gleichungen liefern r = 2 und s = 3. Auch die dritte Gleichung stimmt: 2 + 3 = 5. Somit gilt w = 2a + 3b.

Bei z = (2; 3; 4) würden dieselben ersten beiden Gleichungen wieder r = 2 und s = 3 verlangen. Die dritte wäre dann 5 = 4. Deshalb lässt sich z nicht aus diesen beiden Vektoren bilden.

Lernschritt 3

Was linear abhängig bedeutet

Mehrere Vektoren sind linear abhängig, wenn eine Linearkombination den Nullvektor ergibt, obwohl nicht alle Koeffizienten 0 sind. Für drei Vektoren lautet die Prüfgleichung:

r · a + s · b + t · c = 0

r = s = t = 0 ist immer eine Lösung. Sie heißt triviale Lösung. Findest du eine andere Lösung, sind die Vektoren abhängig. Gibt es nur die triviale Lösung, sind sie unabhängig.

Eine nicht triviale Lösung zeigt: Mindestens einer der Vektoren lässt sich aus den anderen zusammensetzen. Er bringt keine zusätzliche unabhängige Richtung hinzu.

Lernschritt 4

Zwei Vektoren prüfen

Zwei Vektoren ungleich null sind genau dann abhängig, wenn einer ein Vielfaches des anderen ist. Beispiel:

246 = 2 · 123

Die beiden Vektoren sind abhängig. Eine nicht triviale Nullkombination ist 2a − b = 0. Die Vektoren a = (1; 0; 1) und b = (0; 1; 1) sind dagegen unabhängig: Kein gemeinsamer Faktor kann die erste Komponente 1 in 0 und zugleich die zweite Komponente 0 in 1 verwandeln.

Ist der Nullvektor Teil einer Vektorfamilie, ist diese immer abhängig. Wähle seinen Koeffizienten 1 und alle anderen 0. Die Summe bleibt der Nullvektor.

Lernschritt 5

Drei Vektoren: paarweise verschieden reicht nicht

Nimm a = (1; 0; 1), b = (0; 1; 1) und c = (1; 1; 2). Keiner dieser Vektoren ist ein Vielfaches eines anderen. Trotzdem gilt:

c = a + b

a + b − c = 0

Die Koeffizienten (1; 1; −1) sind nicht alle 0. Also sind die drei Vektoren zusammen abhängig. Das zeigt, warum der bloße Vielfachheitsvergleich für drei Vektoren nicht ausreicht.

Alle drei Richtungen liegen in derselben Ebene durch den Ursprung. Dabei sind jeweils zwei der Vektoren unabhängig, aber die gesamte Dreiergruppe ist es nicht.

Lernschritt 6

Ein unabhängiges Dreierbeispiel durchrechnen

Behalte a und b bei und wähle nun c = (0; 0; 1). Aus ra + sb + tc = 0 ergeben sich:

r = 0, s = 0, r + s + t = 0

Die ersten beiden Gleichungen erzwingen r = s = 0. Die dritte liefert dann t = 0. Es existiert nur die triviale Lösung: Die drei Vektoren sind unabhängig.

Mit ihnen lässt sich jeder Vektor im dreidimensionalen Raum eindeutig darstellen. Beispielsweise gilt für w = (2; 3; 4):

w = 2a + 3b − c

Denn die dritte Komponente ist 2 + 3 − 1 = 4. Ein solches unabhängiges Dreiersystem nennt man eine Basis des dreidimensionalen Raums.

Lernschritt 7

Unabhängigkeit mit einem Parameter untersuchen

Seien a = (1; 0; 0), b = (0; 1; 0) und c = (1; 1; k). Die Nullkombination führt zu:

r + t = 0, s + t = 0, kt = 0

Falls k ungleich 0 ist, folgt aus der letzten Gleichung t = 0 und danach r = s = 0. Die Vektoren sind unabhängig.

Für k = 0 darf t dagegen frei gewählt werden. Mit t = 1, r = −1 und s = −1 erhältst du eine nicht triviale Lösung. Die Vektoren sind abhängig; c = a + b.

Lernschritt 8

Was das für Geraden, Ebenen und den Raum bedeutet

Ein Vektor ungleich null spannt eine Gerade durch den Ursprung auf. Zwei unabhängige Vektoren spannen eine Ebene durch den Ursprung auf. Drei unabhängige Vektoren spannen den gesamten dreidimensionalen Raum auf.

Mehr als drei Vektoren im dreidimensionalen Raum sind immer abhängig. In der zweidimensionalen Ebene sind bereits mehr als zwei Vektoren abhängig.

Bei einer Ebenengleichung x = a + ru + sv müssen die Spannvektoren u und v unabhängig sein. Der Stützvektor a verschiebt die Ebene und muss nicht zusammen mit ihnen unabhängig sein. Verwechsle außerdem nicht die Abhängigkeit von Ortsvektoren mit der Frage, ob drei Punkte auf einer Geraden liegen: Dafür vergleichst du zwei Verbindungsvektoren von einem gemeinsamen Startpunkt.

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Häufige Fragen