Mathe · Klasse 11–13 · etwa 45–60 Minuten
Du bestimmst vollständige Linearkombinationen, erkennst unabhängige Richtungen und prüfst Nullkombinationen sowie Parameterfälle.
Vektorrechnung und lineare Gleichungssysteme, insbesondere Gauß.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Drei kurze Aufgaben zeigen dir, wo du einsteigen kannst. Löse sie zunächst ohne Hilfe.
Mehrere Komponenten mit Semikolon trennen, z. B. 2; −1; 3. Brüche mit / und Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt eingeben. Bei einer Nullkombination sind alle nichttrivialen richtigen Koeffizienten erlaubt.
02 · Verstehen
Aus bekannten Richtungen neue bilden
2 · + 3 · =
Multiplizieren mit Zahlen und anschließendes Addieren heißt Linearkombination. Die Zahlen 2 und 3 sind die Koeffizienten.
Eine Linearkombination entsteht, indem du Vektoren mit reellen Zahlen multiplizierst und addierst. Für zwei Vektoren a und b lautet ein allgemeiner Ansatz:
w = r · a + s · b
Die Koeffizienten r und s dürfen positiv, negativ oder 0 sein. Ein negatives Vorzeichen kehrt die Richtung um. Ein Koeffizient 0 bedeutet, dass dieser Vektor zum Ergebnis nichts beiträgt.
Du kennst solche Ausdrücke bereits von Geraden und Ebenen. Dort beschreibt die Linearkombination der Richtungs- beziehungsweise Spannvektoren eine Verschiebung vom Stützpunkt aus.
Beispiel · Schritt für Schritt
a = (1; 0; 1)
b = (0; 1; 1)
w = (2; 3; 5)
Gegeben sind a = (1; 0; 1), b = (0; 1; 1) und w = (2; 3; 5). Gesucht sind r und s mit w = ra + sb. Vergleiche die Komponenten:
Die ersten beiden Gleichungen bestimmen r und s. Die dritte ist mit diesen Werten ebenfalls erfüllt.
Alle drei Komponenten stimmen überein.
Beispiel · Schritt für Schritt
a = (1; 0; 1)
b = (0; 1; 1)
z = (2; 3; 4)
Vergleiche nun z = (2; 3; 4) mit denselben Vektoren a und b.
Die ersten beiden Komponenten erzwingen dieselben Koeffizienten wie zuvor.
Der Widerspruch zeigt: z lässt sich nicht als Linearkombination dieser beiden Vektoren darstellen.
Kontrolliere immer alle Komponenten mit denselben Koeffizienten. Eine Lösung aus nur zwei Gleichungen muss die dritte nicht erfüllen.
Mehrere Vektoren sind linear abhängig, wenn eine Linearkombination den Nullvektor ergibt, obwohl nicht alle Koeffizienten 0 sind. Für drei Vektoren lautet die Prüfgleichung:
r · a + s · b + t · c = 0
r = s = t = 0 ist immer eine Lösung. Sie heißt triviale Lösung. Findest du eine andere Lösung, sind die Vektoren abhängig. Gibt es nur die triviale Lösung, sind sie unabhängig.
Eine nicht triviale Lösung zeigt: Mindestens einer der Vektoren lässt sich aus den anderen zusammensetzen. Er bringt keine zusätzliche unabhängige Richtung hinzu.
Zwei Vektoren ungleich null sind genau dann abhängig, wenn einer ein Vielfaches des anderen ist. Beispiel:
= 2 ·
Beispiel · Schritt für Schritt
a = (1; 2; 3)
b = (2; 4; 6)
Für a = (1; 2; 3) und b = (2; 4; 6) passt der Faktor 2 in allen Komponenten.
Die Koeffizienten 2 und −1 sind nicht beide 0. Deshalb sind die beiden Vektoren abhängig.
Dagegen sind a = (1; 0; 1) und b = (0; 1; 1) unabhängig:
Beispiel · Schritt für Schritt
a = (1; 0; 1)
b = (0; 1; 1)
Falls b = λa wäre, müsste λ = 0 gelten.
Kein Faktor kann die zweite Komponente 0 in 1 verwandeln. Die beiden von null verschiedenen Vektoren sind keine Vielfachen und deshalb unabhängig.
Ist der Nullvektor Teil einer Vektorfamilie, ist diese immer abhängig. Wähle seinen Koeffizienten 1 und alle anderen 0. Die Summe bleibt der Nullvektor.
Beispiel · Schritt für Schritt
a = (1; 0; 1)
b = (0; 1; 1)
c = (1; 1; 2)
Nimm a = (1; 0; 1), b = (0; 1; 1) und c = (1; 1; 2). Keiner dieser Vektoren ist ein Vielfaches eines anderen. Trotzdem gilt:
Der dritte Vektor ist die Summe der ersten beiden, obwohl kein einzelnes Paar aus Vielfachen besteht.
Bringe c auf die linke Seite.
Die Koeffizienten sind nicht alle 0. Daher ist die Dreiergruppe abhängig. Ein bloßer paarweiser Vielfachheitsvergleich reicht bei drei Vektoren nicht aus.
Alle drei Richtungen liegen in derselben Ebene durch den Ursprung. Dabei sind jeweils zwei der Vektoren unabhängig, aber die gesamte Dreiergruppe ist es nicht.
Beispiel · Schritt für Schritt
a = (1; 0; 1)
b = (0; 1; 1)
c = (0; 0; 1)
Behalte a und b bei und wähle nun c = (0; 0; 1). Aus ra + sb + tc = 0 ergeben sich:
Setze a = (1; 0; 1), b = (0; 1; 1) und c = (0; 0; 1) in ra + sb + tc = 0 ein.
Die ersten beiden Gleichungen erzwingen bereits r = s = 0.
Nur die triviale Lösung ist möglich. Damit sind die drei Vektoren unabhängig.
Mit ihnen lässt sich jeder Vektor im dreidimensionalen Raum eindeutig darstellen. Beispielsweise gilt für w = (2; 3; 4):
Beispiel · Schritt für Schritt
a = (1; 0; 1)
b = (0; 1; 1)
c = (0; 0; 1); w = (2; 3; 4)
Vergleiche die drei Komponenten von w = ra + sb + tc mit w = (2; 3; 4).
Die ersten beiden Komponenten liefern r = 2 und s = 3.
Die erste Komponente ist 2, die zweite 3 und die dritte 4. Die Darstellung ist eindeutig.
Ein solches unabhängiges Dreiersystem nennt man eine Basis des dreidimensionalen Raums.
Beispiel · Schritt für Schritt
a = (1; 0; 0)
b = (0; 1; 0); c = (1; 1; k)
Seien a = (1; 0; 0), b = (0; 1; 0) und c = (1; 1; k). Die Nullkombination führt zu:
Vergleiche die Komponenten von ra + sb + tc = 0.
Nur in diesem Fall darfst du kt = 0 durch k teilen. Es bleibt ausschließlich die triviale Lösung: unabhängig.
t ist frei. Mit t = 1 erhältst du eine nicht triviale Lösung der anderen beiden Gleichungen.
Für k = 0 ist die Familie abhängig. Genau für k ≠ 0 ist sie unabhängig.
Teile bei Parameteraufgaben nicht ungeprüft durch den Parameter. Sonst verlierst du genau den Sonderfall, der über Abhängigkeit entscheiden kann.
Ein Vektor ungleich null spannt eine Gerade durch den Ursprung auf. Zwei unabhängige Vektoren spannen eine Ebene durch den Ursprung auf. Drei unabhängige Vektoren spannen den gesamten dreidimensionalen Raum auf.
Mehr als drei Vektoren im dreidimensionalen Raum sind immer abhängig. In der zweidimensionalen Ebene sind bereits mehr als zwei Vektoren abhängig.
Bei einer Ebenengleichung x = a + ru + sv müssen die Spannvektoren u und v unabhängig sein. Der Stützvektor a verschiebt die Ebene und muss nicht zusammen mit ihnen unabhängig sein. Verwechsle außerdem nicht die Abhängigkeit von Ortsvektoren mit der Frage, ob drei Punkte auf einer Geraden liegen: Dafür vergleichst du zwei Verbindungsvektoren von einem gemeinsamen Startpunkt.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Rechne und begründe zuerst auf Papier. Gib die vollständige gefragte Antwort ein und prüfe sie in den Ausgangsbedingungen.
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Dein Wissen anwenden
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
Lösung · Schritt für Schritt
a = (1; 0; 1)
b = (0; 1; 1)
w = (2; 3; 5)
a liefert die erste, b die zweite Komponente.
Auch die letzte Komponente stimmt. Das Ergebnis ist (2; 3; 5).
Lösung · Schritt für Schritt
a = (1; 0; 1)
b = (0; 1; 1)
z = (2; 3; 4)
Die ersten beiden Komponenten lassen keine andere Wahl.
Nein. Die dritte Komponente passt nicht, also gibt es keine Darstellung mit diesen beiden Vektoren.
Lösung · Schritt für Schritt
a = (1; 2; 3)
b = (2; 4; 6)
Der Faktor 2 passt in allen Komponenten.
Die nicht triviale Nullkombination zeigt: Die Vektoren sind abhängig, also nicht unabhängig.
Nein. Sein Koeffizient kann 1 sein, während alle anderen 0 sind.
Erklärung wiederholen →Nein. Der dritte könnte die Summe der ersten beiden sein.
Erklärung wiederholen →Lösung · Schritt für Schritt
a = (1; 0; 0)
b = (0; 1; 0); c = (1; 1; k)
Prüfe die Nullkombination der drei angegebenen Vektoren.
Die einzige Lösung ist die triviale: unabhängig.
Hier ist der dritte Vektor die Summe der ersten beiden: abhängig. Insgesamt gilt Unabhängigkeit genau für k ≠ 0.
Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Dranbleiben
Wiederhole die Erklärung zu deinem Fehler. Rechne danach eine ähnliche Aufgabe ohne geöffneten Tipp oder Rechenweg.
Gezielt weiterüben →Wiederhole in zwei bis drei Tagen fünf Aufgaben ohne Hilfe. Danach kannst du das nächste Thema angehen.
Mit Matrizen weiterrechnen →Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Alle Koeffizienten sind 0. Diese Lösung gibt es bei der Nullkombination immer.
Nein. Unabhängigkeit verlangt keine rechten Winkel. Zwei Vektoren ungleich null müssen lediglich keine Vielfachen voneinander sein.
Nein. Im dreidimensionalen Raum können höchstens drei Vektoren linear unabhängig sein.
Aus ra + sb = w entsteht für jede der drei Komponenten eine Gleichung.