Berechne das Kreuzprodukt und erkenne, was sein Vektor und seine Länge bedeuten. Kurze Aufgaben helfen dir bei Vorzeichen, Flächen aus Eckpunkten und Normalenvektoren für Ebenen.
Hilfreiches Vorwissen: Vektoren, Skalarprodukt, Wurzeln und Ebenengleichungen.
Drei kurze Aufgaben zeigen dir, wo du einsteigen kannst. Löse sie zunächst ohne Hilfe.
Vektoren und mehrere Werte mit Semikolon trennen, z. B. 2; −1; 3. Exakte Brüche mit / und Wurzeln als sqrt(…), z. B. sqrt(7). Runde nicht vorzeitig. Ebenengleichungen sind mit x, y, z oder x1, x2, x3 möglich.
Verstehen
Ein Vektor mit geometrischer Bedeutung
× =
Das Ergebnis steht senkrecht zu beiden Ausgangsvektoren. Seine Länge 6 ist der Flächeninhalt des aufgespannten Parallelogramms.
Das Kreuzprodukt, auch Vektorprodukt genannt, ordnet zwei Vektoren im dreidimensionalen Raum einen neuen Vektor zu. Sind die Ausgangsvektoren nicht parallel, steht das Ergebnis senkrecht auf beiden.
Seine Länge entspricht dem Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms. Seine Richtung hängt von der Reihenfolge der Faktoren ab.
Verwechsle die Rechenarten nicht: Das Skalarprodukt a · b ergibt eine Zahl. Das Kreuzprodukt a × b ergibt einen Vektor. Für die hier verwendete Kreuzproduktformel brauchst du drei Komponenten pro Vektor.
Für a = (a₁; a₂; a₃) und b = (b₁; b₂; b₃) lautet die Formel:
a × b =
Jede Komponente ist eine Differenz aus zwei Produkten. Achte besonders auf die Reihenfolge in der mittleren Komponente. Negative Komponenten setzt du am besten in Klammern ein.
Rechne zunächst jede der drei Zeilen einzeln. Erst danach schreibst du den Ergebnisvektor auf. So lassen sich Vorzeichenfehler leichter finden.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Die Reihenfolge lautet hier ausdrücklich a₃b₁ zuerst.
Ein vertauschtes Vorzeichen in der mittleren Komponente verändert den Vektor.
Beispiel – Schritt für Schritt
a = (1; 2; 0)
b = (0; 1; 3)
Wähle a = (1; 2; 0) und b = (0; 1; 3). Einsetzen ergibt:
Hier steht a₃b₁ zuerst. Diese Reihenfolge bestimmt das Vorzeichen.
Multipliziere über Kreuz mit der ersten und zweiten Komponente.
Das Kreuzprodukt ist ein Vektor mit den drei berechneten Komponenten.
Kontrolliere mit zwei Skalarprodukten, ob das Ergebnis senkrecht auf beiden Vektoren steht:
Beispiel – Schritt für Schritt
a = (1; 2; 0)
b = (0; 1; 3)
n = (6; −3; 1)
Das Ergebnis steht senkrecht auf a.
Auch zu b steht n senkrecht. Die Proben allein prüfen noch nicht Länge und Orientierung.
Beide Kontrollen stimmen. Sie prüfen die Orthogonalität, aber nicht allein die korrekte Länge oder Orientierung. Auch ein falsches Vielfaches könnte beide Skalarprodukte 0 liefern. Deshalb bleibt die Komponentenrechnung wichtig.
In einem rechtshändigen Koordinatensystem gilt die Rechte-Hand-Regel: Zeigt der Zeigefinger in Richtung a und der Mittelfinger in Richtung b, zeigt der Daumen in Richtung a × b. Gemeint ist dabei die übliche räumliche Anordnung der drei Finger; bei schiefen Vektoren orientierst du dich an der Drehrichtung von a nach b.
b × a = −(a × b)
Beispiel – Schritt für Schritt
a × b = (6; −3; 1)
Verwende das eben berechnete Kreuzprodukt.
Alle drei Vorzeichen wechseln. Die Richtung kehrt sich um, die Länge und damit der Flächeninhalt bleiben gleich.
Als Orientierungshilfe gilt für die Standardachsen e₁ × e₂ = e₃. Beim Vertauschen entsteht −e₃.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Vertauschen kehrt die Richtung um.
Damit bleibt auch der zugehörige Flächeninhalt gleich.
Lege a und b an denselben Anfangspunkt. Sie bilden zwei benachbarte Seiten des Parallelogramms. Dann gilt:
A = |a × b|
Beispiel – Schritt für Schritt
a = (3; 0; 0)
b = (1; 2; 0)
Setze a = (3; 0; 0) und b = (1; 2; 0) in die Komponentenformel ein.
Die Länge des Kreuzprodukts ist die Parallelogrammfläche. FE steht für Flächeneinheiten.
Die allgemeine geometrische Beziehung lautet |a × b| = |a| · |b| · sin(α), wobei α der eingeschlossene Vektorwinkel ist. Das entspricht Grundseite mal senkrechter Höhe. Das Produkt der beiden Seitenlängen allein wäre nur bei einem rechten Winkel der richtige Flächeninhalt.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Die schräge Seitenlänge √5 ist nicht die Höhe.
Das Produkt der Seitenlängen wäre nur bei senkrechten Seiten richtig.
Beispiel – Schritt für Schritt
A(1 | 0 | 0)
B(4 | 0 | 0); C(2 | 2 | 0)
Gegeben sind A(1 | 0 | 0), B(4 | 0 | 0) und C(2 | 2 | 0). Bilde zwei Seitenvektoren mit demselben Startpunkt A:
Ziehe die Koordinaten des gemeinsamen Startpunkts A von B ab.
Auch dieser Seitenvektor beginnt in A.
Berechne das Kreuzprodukt wie im vorigen Beispiel und anschließend seine Länge.
Das Dreieck nimmt genau die Hälfte des aufgespannten Parallelogramms ein.
Verwende die Verbindungsvektoren der Punkte, nicht einfach die Ortsvektoren von B und C. Eine gemeinsame Verschiebung des Dreiecks darf seine Fläche nicht ändern.
Beispiel – Schritt für Schritt
a = (1; 2; 0)
b = (0; 1; 3)
Für a = (1; 2; 0) und b = (0; 1; 3) wurde dieses Kreuzprodukt bereits berechnet.
Quadriere auch die negative Komponente vollständig; ihr Quadrat ist positiv.
Halbiere den exakten Wert. Runde erst das Endergebnis.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Beide Seiten beginnen am selben Punkt A.
Das Dreieck ist die Hälfte des aufgespannten Parallelogramms.
Sind u und v unabhängige Spannvektoren einer Ebene, ist n = u × v ein geeigneter Normalenvektor. Für u = (1; 2; 0) und v = (0; 1; 3) erhältst du n = (6; −3; 1).
Geht die Ebene zusätzlich durch A(1 | 0 | 0), ergibt sich:
Beispiel – Schritt für Schritt
u = (1; 2; 0)
v = (0; 1; 3); A(1 | 0 | 0)
Das Kreuzprodukt der unabhängigen Spannvektoren steht senkrecht auf der Ebene.
Setze A(1 | 0 | 0) in die Normalenform ein.
Löse die Klammern auf und addiere 6 auf beiden Seiten. Der Stützpunkt erfüllt die Gleichung.
Das Gegenkreuzprodukt liefert den Gegenvektor und damit dieselbe Ebene, wenn du die ganze Gleichung entsprechend aufstellst. Der Normalenvektor muss für diese Anwendung nicht die Länge 1 haben.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Jedes von 0 verschiedene Vielfache steht ebenfalls senkrecht auf der Ebene.
Ein Normalenvektor muss eine Richtung besitzen.
Das Kreuzprodukt ist genau dann der Nullvektor, wenn die beiden Vektoren linear abhängig sind. Bei zwei Vektoren ungleich null bedeutet das: Sie sind parallel, einschließlich entgegengesetzter Richtungen.
Beispiel – Schritt für Schritt
a = (1; 2; 3)
b = (2; 4; 6)
Ein Vektor ist ein Vielfaches des anderen. Beide zeigen in dieselbe Richtung.
Alle drei Differenzen sind null.
Die Vektoren spannen keine Fläche auf. Der Nullvektor eignet sich nicht als Normalenvektor einer Ebene.
Auch mit einem Nullvektor als Faktor entsteht das Kreuzprodukt (0; 0; 0).
Der Nullvektor ist kein gültiger Normalenvektor einer Ebene. Ergibt das Kreuzprodukt zweier vermeintlicher Spannvektoren null, spannen diese keine Ebene auf. Bei drei Punkten bedeutet eine Fläche 0, dass die Punkte auf einer Geraden liegen oder Punkte zusammenfallen.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Die beiden Vektoren sind linear abhängig.
Auch der Nullvektor als einer der Faktoren führt zu diesem Ergebnis.
Selbst ausprobieren
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Mathehelfer
Gib zwei Vektoren oder drei Dreieckspunkte ein. Der Helfer zeigt die Komponentenrechnung, prüft die Orthogonalität und veranschaulicht die Figur im Raumbild und in Koordinatenprojektionen.
Eigene Aufgabe lösen →Ein Rücklink führt dich wieder hierher. Dein Übungsstand bleibt in diesem Tab erhalten.
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
Lösung – Schritt für Schritt
Kreuzprodukt: a × b
Das Kreuzprodukt zweier Vektoren im Raum liefert wieder einen Vektor.
Erst die Länge des Ergebnisvektors ist eine Zahl: die Parallelogrammfläche.
Lösung – Schritt für Schritt
a = (1; 2; 0)
b = (0; 1; 3)
Verwende die zweite und dritte Komponente der beiden Vektoren.
Hier steht a₃b₁ zuerst. Diese Reihenfolge bestimmt das Vorzeichen.
Multipliziere über Kreuz mit der ersten und zweiten Komponente.
Das Kreuzprodukt ist ein Vektor mit den drei berechneten Komponenten.
Lösung – Schritt für Schritt
a × b und b × a
Alle Komponenten wechseln das Vorzeichen; die Orientierung kehrt sich um.
Ein Vektor und sein Gegenvektor sind gleich lang. Die Fläche bleibt daher unverändert.
Lösung – Schritt für Schritt
a = (3; 0; 0)
b = (1; 2; 0)
Setze a = (3; 0; 0) und b = (1; 2; 0) in die Komponentenformel ein.
Die Länge des Kreuzprodukts ist die Parallelogrammfläche. FE steht für Flächeneinheiten.
Lösung – Schritt für Schritt
a = (3; 0; 0)
b = (1; 2; 0)
Die Seitenvektoren sind wie zuvor (3; 0; 0) und (1; 2; 0).
Das ist zunächst die Fläche des Parallelogramms.
Die Dreiecksfläche ist halb so groß.
Lösung – Schritt für Schritt
a = (1; 2; 3)
b = (2; 4; 6)
Ein Vektor ist ein Vielfaches des anderen. Beide zeigen in dieselbe Richtung.
Alle drei Differenzen sind null.
Die Vektoren spannen keine Fläche auf. Der Nullvektor eignet sich nicht als Normalenvektor einer Ebene.
Dein nächster Schritt
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Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Nein. Für den Flächeninhalt brauchst du seine Länge. Das Vorzeichen der Normalenrichtung spielt dabei keine Rolle.
Die beiden Seitenvektoren spannen ein Parallelogramm auf. Eine Diagonale teilt es in zwei flächengleiche Dreiecke.
Nein. Auch ein falsches Vielfaches des richtigen Ergebnisvektors ist zu beiden Faktoren orthogonal. Prüfe zusätzlich die Komponentenrechnung.
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Verwende die zweite und dritte Komponente der beiden Vektoren.