Bestimme zuerst den Abstand zur Drehachse. Aus Kreis- oder Ringflächen entsteht dann das Volumenintegral. Skizzen und kurze Aufgaben helfen dir, Radien, Vorzeichen und Einheiten sicher zu unterscheiden.
Hilfreiches Vorwissen: Bestimmte Integrale, Potenzen, Kreisflächen und räumliche Vorstellung.
Drei kurze Aufgaben zeigen dir, wo du einsteigen kannst. Löse sie zunächst ohne Hilfe.
Volumen- und Flächenwerte exakt mit pi eingeben, zum Beispiel 8*pi/3. Zahlenwerte ohne Einheit; die Einheit steht am Feld. Terme mit x und Potenzen wie x^2. Entscheidungen: ja oder nein.
Verstehen
Aus Kreisflächen wird Volumen
V = π · [f(x)]² dx
Die Fläche zwischen Graph und x-Achse rotiert. Jeder senkrechte Querschnitt ist eine Kreisscheibe mit Radius |f(x)|.
Betrachte eine stetige Funktion f auf einem endlichen Intervall [a; b] mit a < b. Die Fläche zwischen ihrem Graphen und der x-Achse wird einmal vollständig um die x-Achse gedreht. Dabei entsteht ein Rotationskörper.
Ein konstanter positiver Funktionswert ergibt einen Zylinder. Eine Gerade durch den Ursprung kann einen Kegel erzeugen. Eine gekrümmte Randlinie erzeugt einen Körper mit veränderlichem Radius.
Notiere vor jeder Rechnung die Drehachse, das Intervall und die rotierende Fläche. Dieselbe Funktion kann bei einer anderen Drehachse einen anderen Körper erzeugen.
Schneide den Körper gedanklich senkrecht zur x-Achse in sehr dünne Scheiben. An der Stelle x ist der Kreisradius |f(x)|. Seine Querschnittsfläche beträgt:
A(x) = π · [f(x)]²
Das Integral summiert diese Querschnittsflächen entlang der x-Achse zum Volumen. Deshalb integrierst du f(x)² und nicht f(x).
V = A(x) dx = π · [f(x)]² dx
Wenn beide Achsen Längen in cm beschreiben, hat die Kreisfläche die Einheit cm² und das Integral die Einheit cm³. Das hilft bei der Kontrolle.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Ein konstanter Radius erzeugt einen Zylinder.
Querschnittsfläche mal Länge ergibt hier das Volumen.
Beispiel – Schritt für Schritt
f(x) = x auf [0; 2]
Drehachse: x-Achse
Die Fläche unter f(x) = x rotiert zwischen 0 und 2 um die x-Achse. Der Radius wächst von 0 auf 2. Es entsteht ein Kegel mit Höhe 2 und Grundkreisradius 2.
Quadriere den Radius und multipliziere mit π.
Integriere die Querschnittsflächen von 0 bis 2.
F ist eine Stammfunktion von x²; π bleibt vor dem Integral.
Berechne obere Grenze minus untere Grenze.
Das Ergebnis steht in Volumeneinheiten; bei cm-Achsen in cm³.
Kontrolle mit der Kegelformel: ein Drittel mal π mal 2² mal 2 ergibt ebenfalls acht Drittel π. Das Integral und die bekannte Körperformel stimmen überein.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Der Radius x wird vor dem Integrieren quadriert.
Kontrolle mit dem Kegel: (1/3)·π·2²·2 ergibt denselben Wert.
Beispiel – Schritt für Schritt
f(x) = x² auf [0; 1]
Drehachse: x-Achse
Die Fläche zwischen der Parabel und der x-Achse rotiert um die x-Achse. So gehst du vor:
Auf [0; 1] ist der Radius der Abstand x² zur Drehachse.
Die Kreisfläche enthält das Quadrat der Funktion, also x⁴.
Integriere die Kreisflächen entlang der x-Achse.
Eine Stammfunktion von x⁴ ist x⁵/5.
Obere Grenze minus untere Grenze; π bleibt als Faktor erhalten.
Das Volumen beträgt π/5 Volumeneinheiten.
Sind die Achsen in cm angegeben, beträgt das Volumen cm³. Das Flächenintegral unter der Parabel beträgt dagegen cm²: Es beschreibt die Fläche vor der Rotation.
Quadriere zuerst die vollständige Funktion. Bei f(x) = x + 1 gilt (x + 1)² = x² + 2x + 1. Der mittlere Term darf nicht fehlen.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Die Funktion gibt den Radius an, noch nicht die Querschnittsfläche.
Die Potenzregel wird erst nach dem Quadrieren angewendet.
Ein Radius ist nicht negativ. Liegt der Graph unterhalb der x-Achse, ist der Radius |f(x)|. Weil die Kreisfläche den Radius quadriert, gilt weiterhin π[f(x)]².
Für f(x) = −x auf [0; 2] entsteht derselbe Körper wie bei f(x) = x. Das Volumen ist wieder acht Drittel π.
Wechselt f das Vorzeichen, können sich die Volumenanteile nicht aufheben: Der Integrand f(x)² ist nicht negativ. Eine Aufteilung an Nullstellen kann beim Rechnen helfen, ist wegen des Vorzeichens allein aber nicht erforderlich.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Ein Abstand zur Achse ist nicht negativ.
Der Körper hat dasselbe Volumen wie beim Graphen y = x.
Liegt die rotierende Fläche vollständig oberhalb der x-Achse zwischen 0 ≤ g(x) ≤ f(x), entsteht ein Kreisring als Querschnitt. Der äußere Radius ist f(x), der innere g(x).
V = π · ([f(x)]² − [g(x)]²) dx
Beispiel – Schritt für Schritt
f(x) = 2; g(x) = 1 auf [0; 3]
Drehachse: x-Achse
Beispiel: Zwischen f(x) = 2 und g(x) = 1 auf [0; 3] entsteht ein Hohlzylinder:
Der Außenradius ist 2, der Innenradius 1. Beide Randfunktionen liegen oberhalb der Drehachse.
Subtrahiere die innere Kreisfläche von der äußeren.
Der Querschnitt ist auf der Länge 3 konstant.
Eine Stammfunktion des Integranden 3 ist 3x.
Das Volumen des Hohlzylinders ist 9π Volumeneinheiten.
Du subtrahierst die Kreisflächen. Der Ausdruck (f − g)² wäre falsch: Er quadriert nur die Wanddicke und beschreibt nicht die Ringfläche.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Subtrahiere die Kreisflächen, nicht die Radien vor dem Quadrieren.
Der Hohlraum mit Radius 1 ist bereits abgezogen.
Die Kreisringformel darf nicht ungeprüft verwendet werden, wenn die beiden Graphen auf verschiedenen Seiten der x-Achse liegen. Dann kann der Querschnitt eine volle Scheibe sein.
Beispiel – Schritt für Schritt
y = −1 und y = 2 auf [0; 1]
Drehachse: x-Achse
Beispiel: Die Fläche zwischen y = −1 und y = 2 auf [0; 1] rotiert um die x-Achse.
Die Fläche enthält die Drehachse. Beim Rotieren entsteht eine volle Scheibe mit Radius 2, kein Ring mit Loch.
Es wird keine innere Kreisfläche abgezogen.
Multipliziere die konstante Kreisfläche mit der Länge 1. Das Volumen ist 4π, nicht 3π.
Bestimme bei komplizierten Aufgaben zuerst für jedes Teilintervall den äußeren und inneren Abstand zur Achse. Ändern sich diese Rollen, teile das Integral an den entsprechenden Stellen auf.
Bei Rotation um y = c misst du Radien als senkrechte Abstände zu dieser Geraden. Rotiert die Fläche zwischen f(x) und y = c, lautet der Radius |f(x) − c|.
V = π · [f(x) − c]² dx
Diese Formel gilt für genau diese beschriebene Fläche. Bei zwei Begrenzungsgraphen musst du wieder äußeren und inneren Radius bestimmen.
Bei Rotation um die y-Achse brauchst du eine dazu passende Methode, beispielsweise Scheiben mit dem Radius als Funktion von y und Integration nach y. Übernimm nicht einfach die x-Achsen-Formel unverändert.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Entscheidend ist der Abstand zur Drehachse, nicht die Höhe über y = 0.
Die Verschiebung der gesamten Figur verändert dieses Volumen nicht.
Selbst ausprobieren
Mit Tipps lernen oder ohne Hilfe testen – du entscheidest.
Wähle deine Stufe. Pro Runde löst du sechs Aufgaben mit direkter Rückmeldung.
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
Löse die Aufgaben ohne Tipps. Danach bekommst du passende Empfehlungen. Der Check zeigt deinen Lernstand, keine Schulnote.
Mathehelfer
Für Randfunktionen oder Radien als Polynome bis Grad 3 und eine waagerechte Drehachse. Wähle Scheiben, eine verschobene Achse oder Kreisringe. Der Helfer zeigt das Volumen mit π und eine Skizze; den Querschnitt kannst du entlang des Körpers verschieben.
Eigene Aufgabe lösen →Ein Rücklink führt dich wieder hierher. Dein Übungsstand bleibt in diesem Tab erhalten.
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
Weil der Querschnitt eine Kreisfläche πr² mit Radius |f(x)| ist.
Erklärung wiederholen →Lösung – Schritt für Schritt
f(x) = 2x auf [0; 2]
Drehachse: x-Achse
Auf [0; 2] ist 2x nichtnegativ. Auch der Faktor 2 wird quadriert.
Integriere die Kreisquerschnitte.
π bleibt vor dem Integral.
4 · 2³/3 − 0 = 32/3.
Das Volumen beträgt 32π/3 Volumeneinheiten.
Kontrolle: Der Kegel hat Höhe 2 und Radius 4. V = (1/3) · π · 4² · 2 = 32π/3.
Lösung – Schritt für Schritt
f(x) = x + 1 auf [0; 1]
Drehachse: x-Achse
Auf [0; 1] liegt der Graph oberhalb der x-Achse.
Der mittlere Term 2x darf nicht fehlen.
Setze das vollständige Quadrat ein.
Integriere den Klammerausdruck gliedweise.
Ziehe den unteren Funktionswert 0 ab.
Multipliziere mit π. Das Ergebnis steht in Volumeneinheiten.
Nein. Beide liefern denselben Radiusbetrag und denselben Rotationskörper.
Erklärung wiederholen →Lösung – Schritt für Schritt
R = 2 cm; r = 1 cm
Länge: 3 cm
Lea quadriert die Wanddicke. Gesucht ist die Differenz der Kreisflächen, nicht das Quadrat der Radiendifferenz.
Eine Skizze konzentrischer Kreise zeigt: Die Wanddicke ist kein Radius einer gleich großen Kreisfläche.
4π cm² − π cm² = 3π cm².
Die konstante Ringfläche mal Länge ergibt das Volumen.
Lösung – Schritt für Schritt
y = −1 und y = 2 auf [0; 1]
Drehachse: x-Achse
Die Fläche enthält die x-Achse; daher entsteht kein Loch.
Der größte Abstand zur Achse beträgt 2.
Multipliziere mit der Länge 1. Das Ergebnis ist 4π Volumeneinheiten.
Dein nächster Schritt
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Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Nein. Bei korrekt gewählten Radien ist die Querschnittsfläche nicht negativ.
Nein. Du brauchst Außenradius zum Quadrat minus Innenradius zum Quadrat.
Bei der Rotation zwischen Graph und x-Achse nicht allein wegen des Vorzeichenwechsels. Bei wechselnden Außen- und Innenradien kann eine Aufteilung nötig sein.
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Auf [0; 2] ist x nichtnegativ. Der Abstand zur x-Achse ist x.