Rotationskörper und Volumen mit Integralen: verstehen und üben

Lernschritt 1

Welcher Körper entsteht?

Betrachte eine stetige Funktion f auf einem endlichen Intervall [a; b] mit a < b. Die Fläche zwischen ihrem Graphen und der x-Achse wird einmal vollständig um die x-Achse gedreht. Dabei entsteht ein Rotationskörper.

Ein konstanter positiver Funktionswert ergibt einen Zylinder. Eine Gerade durch den Ursprung kann einen Kegel erzeugen. Eine gekrümmte Randlinie erzeugt einen Körper mit veränderlichem Radius.

Notiere vor jeder Rechnung die Drehachse, das Intervall und die rotierende Fläche. Dieselbe Funktion kann bei einer anderen Drehachse einen anderen Körper erzeugen.

Lernschritt 2

Warum die Funktion quadriert wird

Schneide den Körper gedanklich senkrecht zur x-Achse in sehr dünne Scheiben. An der Stelle x ist der Kreisradius |f(x)|. Seine Querschnittsfläche beträgt:

A(x) = π · [f(x)]²

Das Integral summiert diese Querschnittsflächen entlang der x-Achse zum Volumen. Deshalb integrierst du f(x)² und nicht f(x).

V = ∫ba A(x) dx = π · ∫ba [f(x)]² dx

Wenn beide Achsen Längen in cm beschreiben, hat die Kreisfläche die Einheit cm² und das Integral die Einheit cm³. Das hilft bei der Kontrolle.

Lernschritt 3

Beispiel: f(x) = x auf [0; 2]

Die Fläche unter f(x) = x rotiert zwischen 0 und 2 um die x-Achse. Der Radius wächst von 0 auf 2. Es entsteht ein Kegel mit Höhe 2 und Grundkreisradius 2.

V = π · ∫20 x² dx

Eine Stammfunktion von x² ist x³3. Setze die Grenzen ein:

V = π · (2³3 − 0) = 8π3 ≈ 8,38

Kontrolle mit der Kegelformel: ein Drittel mal π mal 2² mal 2 ergibt ebenfalls acht Drittel π. Das Integral und die bekannte Körperformel stimmen überein.

Lernschritt 4

Beispiel: f(x) = x² auf [0; 1]

Jetzt ist der Radius x². Die Querschnittsfläche enthält dessen Quadrat:

[f(x)]² = (x²)² = x⁴

V = π · ∫10 x⁴ dx = π5

Das Flächenintegral unter dem Graphen wäre ein Drittel. Das Rotationsvolumen ist dagegen π geteilt durch 5. Fläche und Volumen sind unterschiedliche Größen.

Lernschritt 5

Was passiert bei negativen Funktionswerten?

Ein Radius ist nicht negativ. Liegt der Graph unterhalb der x-Achse, ist der Radius |f(x)|. Weil die Kreisfläche den Radius quadriert, gilt weiterhin π[f(x)]².

Für f(x) = −x auf [0; 2] entsteht derselbe Körper wie bei f(x) = x. Das Volumen ist wieder acht Drittel π.

Wechselt f das Vorzeichen, können sich die Volumenanteile nicht aufheben: Der Integrand f(x)² ist nicht negativ. Eine Aufteilung an Nullstellen kann beim Rechnen helfen, ist wegen des Vorzeichens allein aber nicht erforderlich.

Lernschritt 6

Zwischen zwei Graphen: äußeres Quadrat minus inneres Quadrat

Liegt die rotierende Fläche vollständig oberhalb der x-Achse zwischen 0 ≤ g(x) ≤ f(x), entsteht ein Kreisring als Querschnitt. Der äußere Radius ist f(x), der innere g(x).

V = π · ∫ba ([f(x)]² − [g(x)]²) dx

Beispiel: Zwischen f(x) = 2 und g(x) = 1 auf [0; 3] entsteht ein Hohlzylinder:

V = π · ∫30 (4 − 1) dx = 9π

Du subtrahierst die Kreisflächen. Der Ausdruck (f − g)² wäre falsch: Er quadriert nur die Wanddicke und beschreibt nicht die Ringfläche.

Lernschritt 7

Wenn die Fläche die Drehachse überquert

Die Kreisringformel darf nicht ungeprüft verwendet werden, wenn die beiden Graphen auf verschiedenen Seiten der x-Achse liegen. Dann kann der Querschnitt eine volle Scheibe sein.

Beispiel: Die Fläche zwischen y = −1 und y = 2 auf [0; 1] rotiert um die x-Achse. Sie füllt eine volle Scheibe mit Radius 2 aus. Das Volumen ist 4π, nicht 3π.

Bestimme bei komplizierten Aufgaben zuerst für jedes Teilintervall den äußeren und inneren Abstand zur Achse. Ändern sich diese Rollen, teile das Integral an den entsprechenden Stellen auf.

Lernschritt 8

Eine verschobene Drehachse berücksichtigen

Bei Rotation um y = c misst du Radien als senkrechte Abstände zu dieser Geraden. Rotiert die Fläche zwischen f(x) und y = c, lautet der Radius |f(x) − c|.

V = π · ∫ba [f(x) − c]² dx

Diese Formel gilt für genau diese beschriebene Fläche. Bei zwei Begrenzungsgraphen musst du wieder äußeren und inneren Radius bestimmen.

Bei Rotation um die y-Achse brauchst du eine dazu passende Methode, beispielsweise Scheiben mit dem Radius als Funktion von y und Integration nach y. Übernimm nicht einfach die x-Achsen-Formel unverändert.

Lernschritt 9

Dein Rechenplan

1. Skizziere Fläche, Intervall und Drehachse.
2. Bestimme den Radius beziehungsweise Außen- und Innenradius.
3. Stelle die Kreis- oder Ringfläche auf.
4. Quadriere und vereinfache sorgfältig.
5. Bestimme eine Stammfunktion und setze obere minus untere Grenze ein.
6. Multipliziere mit π und gib Volumeneinheiten an.
7. Prüfe, ob das Ergebnis zur Größe des Körpers passt.

Dein Wissen anwenden

Sechs Aufgaben zum Selbstcheck

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Häufige Fragen