Partielle Integration: verstehen und üben

Lernschritt 1

Warum funktioniert partielle Integration?

Die Produktregel der Ableitung lautet (u · v)′ = u′ · v + u · v′. Wenn du sie integrierst und umstellst, erhältst du die partielle Integration:

∫ u · v′ dx = u · v − ∫ u′ · v dx

Du ersetzt ein Integral durch einen Produktterm und ein neues Integral. Das lohnt sich, wenn das neue Integral einfacher ist oder nach einigen Schritten zur ursprünglichen Aufgabe zurückführt.

Die Formel gilt auf passenden Intervallen für hinreichend glatte Funktionen, hier insbesondere die stetig differenzierbaren Beispiele auf dieser Seite. Beim unbestimmten Endergebnis kommt eine additive Konstante C dazu.

Lernschritt 2

Welchen Faktor solltest du ableiten?

Wähle u möglichst so, dass u′ einfacher wird. Den anderen Faktor nennst du v′; er muss sich gut zu v integrieren lassen.

Bei einem Logarithmus ist Ableiten häufig hilfreich, weil aus ln(x) der Bruch 1x wird. Das ist eine Orientierung, keine Garantie: Entscheidend ist immer das entstehende Restintegral.

Lernschritt 3

Das Grundbeispiel x · eˣ

Setze u = x und v′ = eˣ. Dann gilt u′ = 1 und v = eˣ. Einsetzen in die Formel ergibt:

∫ x · eˣ dx = x · eˣ − ∫ 1 · eˣ dx

= x · eˣ − eˣ + C

= eˣ(x − 1) + C

Kontrolle durch Ableiten: (x · eˣ − eˣ)′ = eˣ + x · eˣ − eˣ = x · eˣ. Beide zusätzlichen eˣ-Terme heben sich auf.

Lernschritt 4

Einen einzelnen Logarithmus als Produkt sehen

Auch ∫ ln(x) dx für x > 0 kannst du partiell integrieren. Schreibe dafür ln(x) · 1. Wähle u = ln(x) und v′ = 1.

u′ = 1x; v = x

∫ ln(x) dx = x · ln(x) − ∫ 1x · x dx

= x · ln(x) − x + C

Im Restintegral kürzt sich das Produkt zu 1. Die Bedingung x > 0 bleibt bestehen, weil der ursprüngliche Logarithmus sonst nicht reell definiert ist.

Lernschritt 5

Bei trigonometrischen Funktionen auf das Vorzeichen achten

Für ∫ x · sin(x) dx wähle u = x und v′ = sin(x). Eine Stammfunktion von sin(x) ist −cos(x). Damit:

∫ x · sin(x) dx = −x · cos(x) − ∫ (−cos(x)) dx

= −x · cos(x) + sin(x) + C

Das Minus aus v trifft auf das Minus aus der Formel. So entsteht das Plus vor dem verbleibenden Integral. Die üblichen trigonometrischen Ableitungen und Stammfunktionen gelten für Argumente im Bogenmaß.

Lernschritt 6

Partielle Integration mehrfach anwenden

Bei ∫ x² · eˣ dx wird x² nach einmaligem Ableiten zu 2x. Das Restintegral ist also einfacher, aber noch ein Produkt:

∫ x² · eˣ dx = x² · eˣ − 2 ∫ x · eˣ dx

Setze das Ergebnis des Grundbeispiels ein und beachte die gesamte Klammer:

= x² · eˣ − 2(x · eˣ − eˣ) + C

= eˣ(x² − 2x + 2) + C

Bei Produkten aus Polynomen und eˣ kannst du so weiterarbeiten, bis die Polynomableitung konstant geworden ist. Fasse die Integrationskonstanten am Ende zu einem C zusammen.

Lernschritt 7

Bestimmte Integrale partiell integrieren

Für feste Grenzen gilt dieselbe Idee. Der Produktterm wird an beiden Grenzen ausgewertet; auch das Restintegral behält die Grenzen:

∫ba u · v′ dx = u(b)v(b) − u(a)v(a) − ∫ba u′ · v dx

Beispiel auf [0; 1]:

∫10 x · eˣ dx = (1 · e − 0 · 1) − (e − 1) = 1

Alternativ kannst du zuerst die Stammfunktion eˣ(x − 1) bilden. Ihre Werte an 1 und 0 sind 0 und −1; die Differenz ist ebenfalls 1. Eine Integrationskonstante hebt sich bei der Auswertung auf.

Lernschritt 8

Wenn das ursprüngliche Integral wieder auftaucht

Bei manchen Produkten führt zweimaliges partielles Integrieren zurück zum Ausgangsintegral. Das ist kein Fehler, wenn du anschließend nach ihm auflösen kannst. Betrachte I = ∫ eˣ · sin(x) dx.

Mit u = sin(x) und v′ = eˣ folgt:

I = eˣ sin(x) − ∫ eˣ cos(x) dx

Für das zweite Integral erhältst du durch erneutes partielles Integrieren eˣ cos(x) + I. Bis auf eine additive Konstante folgt somit:

I = eˣ sin(x) − eˣ cos(x) − I

Bringe das zweite I auf die linke Seite und teile durch 2. Die allgemeine Stammfunktion lautet:

∫ eˣ sin(x) dx = eˣ · (sin(x) − cos(x))2 + C

In den Zwischenzeilen werden Integrationskonstanten zusammengefasst; im Endergebnis steht die beliebige Konstante ausdrücklich. Prüfe die Formel mit Produktregel und trigonometrischen Ableitungen.

Lernschritt 9

Partielle Integration oder Substitution?

Bei 2x · (x² + 1)³ passen innere Funktion und innere Ableitung zusammen: Substitution ist naheliegend. Bei x · eˣ wird dagegen ein Faktor durch Ableiten einfacher, während der andere leicht integrierbar bleibt: Partielle Integration ist naheliegend.

Ein Produkt allein entscheidet die Methode also nicht. Manchmal ist auch bloßes Vereinfachen am schnellsten, etwa x · x² = x³.

1. Produkt und Definitionsintervall prüfen.
2. u und v′ sinnvoll wählen.
3. u′ und eine Stammfunktion v getrennt bestimmen.
4. Die Formel mit Klammern und Minuszeichen einsetzen.
5. Das Restintegral lösen, gegebenenfalls erneut partiell.
6. Vereinfachen, Konstante ergänzen oder Grenzen auswerten.
7. Durch Ableiten kontrollieren.

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