1 · Ein Gitter besitzt 250 Linien pro mm. Wie groß ist g?
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g = 0,004 mm = 4 µm.
Physik verstehen und üben · Wellenoptik
Physik · Oberstufe
Optisches Gitter: verstehen und üben
Wie zerlegt ein Gitter Licht in seine Farben? Berechne Gitterabstände und Beugungswinkel und untersuche, welche Ordnungen überhaupt möglich sind.
Viele Spalte, scharfe Maxima
Der Abstand benachbarter Spalte legt die Winkel der Hauptmaxima fest. Mehr beleuchtete Spalte machen diese Maxima schmaler.
Was ist ein optisches Gitter?
Ein optisches Gitter besitzt viele regelmäßig angeordnete Strukturen. Bei einem Transmissionsgitter treten Lichtanteile durch benachbarte Öffnungen. Ihre Wellen überlagern sich. In bestimmten Richtungen passen alle Beiträge zusammen: Dort entstehen Hauptmaxima.
Die Grundidee kennst du vom Doppelspalt. Beim Gitter tragen sehr viele Spalte bei. Zwischen den Hauptmaxima heben sich die Beiträge weitgehend auf. Je mehr Spalte bei gleichem Abstand gleichmäßig beleuchtet werden, desto schmaler werden die Hauptmaxima.
Wir betrachten hier senkrechten Lichteinfall auf ein ideales Gitter und Beobachtung im Fernfeld. Für schrägen Einfall ändert sich die Winkelgleichung. Reflexionsgitter arbeiten mit reflektiertem Licht; diese Seite rechnet mit dem einfachen Transmissionsmodell.
Linien pro Millimeter in einen Abstand umrechnen
Die Gitterkonstante g ist der Abstand zwischen benachbarten Spaltmitten. Sie ist weder die Breite eines einzelnen Spalts noch die Gesamtbreite des Gitters.
Auf einem Gitter steht zum Beispiel „500 Linien pro mm“. Das ist die Liniendichte n. Auf einen Millimeter passen 500 gleiche Abstände:
g = 1n = 1 mm500 = 0,0020 mm = 2,0 µm = 2,0 · 10−6 m
Eine höhere Liniendichte bedeutet eine kleinere Gitterkonstante. Die Zahl N der tatsächlich beleuchteten Spalte ist eine andere Größe. Sie hängt zusätzlich davon ab, wie breit der Lichtstrahl das Gitter beleuchtet.
Welche Ordnungen bleiben sichtbar?
Stelle zunächst 500 Linien pro mm und λ = 600 nm ein. Erhöhe dann nur die Liniendichte. Werden die Winkel größer oder kleiner? Beobachte auch, ob höhere Ordnungen verschwinden.
g = 2,00 µm. Erste Ordnung: 17,46°. Größte Ordnung vor 90°: 3.
Es werden Winkel von 0° bis unter 90° ausgewertet. Ein Maximum genau bei 90° läuft parallel zur Gitterebene und trifft keinen endlichen Punkt auf einem dahinterliegenden ebenen Schirm. Die Skizze zeigt deshalb keine 90°-Ordnung.
Unterrichtsimpuls mit Auflösung
Wechsle von 500 auf 1000 Linien pro mm bei 600 nm. Die erste Ordnung wandert von etwa 17,46° auf 36,87°. Gleichzeitig sinkt die größte Ordnung unter 90° von 3 auf 1. Erkläre beides mit dem Verhältnis λ zu g.
Die Gittergleichung Schritt für Schritt
Benachbarte Spalte liefern in einer schrägen Richtung einen Gangunterschied von g · sin θ. Für ein Hauptmaximum soll dieser eine ganze Zahl von Wellenlängen betragen:
g · sin θk = k · λ
k = 0, ±1, ±2, … bezeichnet die Ordnung. θ wird von der Geraden senkrecht zum Gitter gemessen. Bei k = 0 liegt das Zentralmaximum in Geradeausrichtung.
θk = arcsin(k · λg)
Prüfe vor der Winkelberechnung: Der Betrag des Arguments darf nicht größer als 1 sein. Wenn |kλ| > g gilt, gibt es diese Ordnung nicht. Das ist ein physikalischer Ausschluss, kein Fehler des Taschenrechners.
Für den Abstand y auf einem ebenen Schirm im Abstand L gilt geometrisch:
yk = L · tan θk
Am Gitter können die Winkel groß sein. Ersetze sin und tan deshalb nicht automatisch durch dieselbe Kleinwinkelnäherung. Rechne hier mit der Winkelberechnung und anschließend mit dem Tangens. Stelle deinen Rechner für die angegebenen Gradwinkel auf DEG.
Von der Gitterangabe zum Schirmpunkt
Gegeben: 500 Linien pro mm, λ = 600 nm und L = 1,50 m. Gesucht ist die erste Ordnung rechts vom Zentrum.
1. Gitterkonstante: g = 2,0 · 10−6 m. Die Wellenlänge beträgt 6,0 · 10−7 m.
sin θ₁ = 6,0 · 10−7 m2,0 · 10−6 m = 0,30
θ₁ ≈ 17,46°; y₁ = 1,50 m · tan(17,46°) ≈ 0,472 m
2. Höhere Ordnungen: Für k = 2 ist das Sinusargument 0,60, für k = 3 ist es 0,90. Beide sind möglich. Für k = 4 ergäbe sich 1,20: Diese Ordnung existiert nicht.
3. Links und rechts: Die erste linke Ordnung liegt bei etwa −0,472 m. Der Abstand zwischen beiden ersten Ordnungen beträgt etwa 0,943 m. Rechne für diesen Wert mit ungerundeten Zwischenwerten.
Umkehrung: Bei einem Gitter mit g = 2,0 µm wird die erste Ordnung bei 15° gemessen. Dann gilt:
λ = g · sin θk = 2,0 µm · sin(15°) ≈ 0,518 µm = 518 nm
Warum entstehen Spektren?
Bei gleicher Ordnung und gleichem Gitter erzeugt eine größere Wellenlänge einen größeren Beugungswinkel. In der ersten Ordnung liegt rotes Licht deshalb weiter außen als blaues Licht. Die nullte Ordnung trennt die Wellenlängen nicht nach Winkel.
Ein Gemisch vieler Wellenlängen kann so in ein Spektrum aufgespalten werden. Die unterschiedlichen Ordnungen können sich überlappen. Beispielsweise besitzen 600 nm in zweiter Ordnung und 400 nm in dritter Ordnung denselben Wert kλ und damit denselben Winkel, sofern diese Richtungen möglich sind.
Ein Gitter dient daher unter anderem zur Untersuchung von Linienspektren. Die genaue Helligkeit hängt außerdem von der Bauart und der Beleuchtung ab. Unsere Skizze sagt nur die Richtungen der Hauptmaxima voraus.
Vier häufige Verwechslungen
500 Linien pro mm als g einsetzen: Das ist die Liniendichte. Zuerst den Kehrwert bilden.
Mehr Spalte mit kleinerem Spaltabstand verwechseln: Mehr beleuchtete Spalte bei gleichem g schärfen die Maxima. Ein kleineres g verschiebt ihre Winkel.
Für jede Ordnung einen Winkel erzwingen: Ein Sinusargument größer als 1 bedeutet: nicht möglich.
Den Abstand zwischen links und rechts als y₁ verwenden: y₁ wird vom Zentrum aus gemessen. Die beidseitige Strecke ist bei symmetrischem Aufbau doppelt so groß.
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Erst vorhersagen oder selbst rechnen, dann die Lösung öffnen.
2 · g = 2 µm und λ = 500 nm: Wie groß ist θ₁?
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sin θ₁ = 0,25; θ₁ ≈ 14,48°.
3 · g = 1 µm und λ = 600 nm: Gibt es k = 2?
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Nein. kλ = 1,2 µm ist größer als g.
4 · Warum bleibt die nullte Ordnung bei θ = 0°?
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Für k = 0 ist der Gangunterschied null. Alle Wellenlängen haben hier dieselbe Hauptrichtung.
5 · Was bewirken mehr beleuchtete Spalte bei unverändertem g?
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Die Hauptmaxima werden schmaler. Ihre Winkel bleiben gleich.
6 · g = 2 µm, λ = 500 nm: Trifft die vierte Ordnung einen endlichen Punkt auf dem Schirm?
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Nein. Das Argument ist genau 1 und θ = 90°. Diese Grenzrichtung liegt parallel zur Gitterebene.
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