Wie zerlegt ein Gitter Licht in seine Farben? Berechne Gitterabstände und Beugungswinkel und untersuche, welche Ordnungen überhaupt möglich sind.
Drei kurze Aufgaben helfen dir, deinen Startpunkt zu finden. Wenn du unsicher bist, wähle „Weiß ich noch nicht“.
Löse die Aufgaben ohne Nachschlagen. Bei Zahlen sind Dezimalkomma und Dezimalpunkt möglich. Verwende keine Tausenderpunkte.
Lernschritt 1
Ein optisches Gitter besitzt viele regelmäßig angeordnete Strukturen. Bei einem Transmissionsgitter treten Lichtanteile durch benachbarte Öffnungen. Ihre Wellen überlagern sich. In bestimmten Richtungen passen alle Beiträge zusammen: Dort entstehen Hauptmaxima.
Die Grundidee kennst du vom Doppelspalt. Beim Gitter tragen sehr viele Spalte bei. Zwischen den Hauptmaxima heben sich die Beiträge weitgehend auf. Je mehr Spalte bei gleichem Abstand gleichmäßig beleuchtet werden, desto schmaler werden die Hauptmaxima.
Wir betrachten hier senkrechten Lichteinfall auf ein ideales Gitter und Beobachtung im Fernfeld. Für schrägen Einfall ändert sich die Winkelgleichung. Reflexionsgitter arbeiten mit reflektiertem Licht; diese Seite rechnet mit dem einfachen Transmissionsmodell.
Lernschritt 2
Die Gitterkonstante g ist der Abstand zwischen benachbarten Spaltmitten. Sie ist weder die Breite eines einzelnen Spalts noch die Gesamtbreite des Gitters.
Auf einem Gitter steht zum Beispiel „500 Linien pro mm“. Das ist die Liniendichte n. Auf einen Millimeter passen 500 gleiche Abstände:
g = 1n = 1 mm500 = 0,0020 mm = 2,0 µm = 2,0 · 10−6 m
Eine höhere Liniendichte bedeutet eine kleinere Gitterkonstante. Die Zahl N der tatsächlich beleuchteten Spalte ist eine andere Größe. Sie hängt zusätzlich davon ab, wie breit der Lichtstrahl das Gitter beleuchtet.
Gitterkonstante g und Spaltzahl N trennen
g verbindet zwei benachbarte Spaltmitten. Die Spaltbreite ist die helle Öffnung selbst. Der Ausschnitt ist stark vergrößert und nicht maßstäblich.
500 Linien/mm ergeben g = 2 µm. Beleuchtest du bei dieser Dichte 4 mm Gitterbreite, tragen ungefähr N = 2000 Spalte bei.
Mehr beleuchtete Spalte bei festem g machen die Hauptmaxima schmaler. Kleineres g verschiebt dagegen ihre Winkel.
Lernschritt 3
Stelle zunächst 500 Linien pro mm und λ = 600 nm ein. Erhöhe dann nur die Liniendichte. Werden die Winkel größer oder kleiner? Beobachte auch, ob höhere Ordnungen verschwinden.
Es werden Winkel von 0° bis unter 90° ausgewertet. Ein Maximum genau bei 90° läuft parallel zur Gitterebene und trifft keinen endlichen Punkt auf einem dahinterliegenden ebenen Schirm. Die Skizze zeigt deshalb keine 90°-Ordnung.
Wechsle von 500 auf 1000 Linien pro mm bei 600 nm. Die erste Ordnung wandert von etwa 17,46° auf 36,87°. Gleichzeitig sinkt die größte Ordnung unter 90° von 3 auf 1. Erkläre beides mit dem Verhältnis λ zu g.
Lernschritt 4
Benachbarte Spalte liefern in einer schrägen Richtung einen Gangunterschied von g · sin θ. Für ein Hauptmaximum soll dieser eine ganze Zahl von Wellenlängen betragen:
g · sin θk = k · λ
k = 0, ±1, ±2, … bezeichnet die Ordnung. θ wird von der Geraden senkrecht zum Gitter gemessen. Bei k = 0 liegt das Zentralmaximum in Geradeausrichtung.
θk = arcsin(k · λg)
Prüfe vor der Winkelberechnung: Der Betrag des Arguments darf nicht größer als 1 sein. Wenn |kλ| > g gilt, gibt es diese Ordnung nicht. Das ist ein physikalischer Ausschluss, kein Fehler des Taschenrechners.
Für den Abstand y auf einem ebenen Schirm im Abstand L gilt geometrisch:
yk = L · tan θk
Am Gitter können die Winkel groß sein. Ersetze sin und tan deshalb nicht automatisch durch dieselbe Kleinwinkelnäherung. Rechne hier mit der Winkelberechnung und anschließend mit dem Tangens. Stelle deinen Rechner für die angegebenen Gradwinkel auf DEG.
Aus n Linien pro mm wird g = (1 mm)/n. Wellenlänge und g müssen danach in derselben Einheit stehen.
Berechne q = kλ/g. |q| > 1: keine solche Ordnung. |q| = 1: 90°, kein endlicher Treffer auf dem dahinterliegenden Schirm.
Nutze θₖ = arcsin(q). Für Gradangaben muss der Taschenrechner auf DEG stehen.
Für den Schirmpunkt: yₖ = L tan θₖ. Für eine Wellenlänge: λ = g sin θₖ / k; dafür muss k ≠ 0 sein.
Lernschritt 5
Beispiel · Schritt für Schritt
Wo liegt die erste Ordnung bei senkrechtem Lichteinfall?
n = 500 Linien/mm · λ = 600 nm · L = 1,50 m · k = 1
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| g = 1 mm / 500 = 0,0020 mm = 2,0 · 10−6 m |
1Liniendichte in Abstand umrechnen
500 Linien/mm ist eine Dichte. Die Gittergleichung benötigt den Abstand g. |
| q = kλ/g = (1 · 6,0 · 10−7) / (2,0 · 10−6) = 0,30 |
2Existenz prüfen
0,30 liegt zwischen −1 und +1. Diese Ordnung ist möglich und ihr Winkel liegt unter 90°. |
| θ₁ = arcsin(0,30) ≈ 17,46° |
3Winkel berechnen
arcsin ist die Umkehrfunktion des Sinus. Verwende den Gradmodus. |
| y₁ = 1,50 m · tan(arcsin(0,30)) ≈ 0,472 m |
4Auf den Schirm übertragen
Winkel und Schirmabstand sind verschiedene Größen. Mit dem Tangens erhältst du die seitliche Position. |
| y₊₁ − y₋₁ = 2 · |y₁| ≈ 0,943 m |
5Beidseitigen Abstand bestimmen
Die linke Ordnung liegt symmetrisch. Erst am Ende runden, damit sich Zwischenfehler nicht addieren. |
Beispiel · Schritt für Schritt
Bestimme die größte Ordnung mit einem Winkel unter 90° und die Gesamtzahl einschließlich Zentrum.
g = 2,0 µm · λ = 0,600 µm · senkrechter Einfall
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| |k| · λ/g < 1 |
1Endlichen Schirmpunkt fordern
Für einen Winkel kleiner als 90° gilt die strenge Ungleichung. Gleichheit würde eine Richtung parallel zum Gitter bedeuten. |
| |k| < g/λ = 2,0/0,600 ≈ 3,33 |
2Nach der Ordnung umstellen
k darf nur ganzzahlig sein. Die größte zulässige positive Zahl ist deshalb 3. |
| k = 3: q = 0,90 k = 4: q = 1,20 |
3Grenze prüfen
Die dritte Ordnung ist möglich. Für die vierte wäre ein Sinus größer als 1 nötig. |
| k = −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3 2 · 3 + 1 = 7 |
4Beide Seiten und Zentrum zählen
Die Formel zählt mögliche Richtungen. Ein begrenzter Schirm oder geringe Intensitäten können die tatsächlich sichtbare Zahl verkleinern. |
Beispiel · Schritt für Schritt
Die erste Ordnung wird bei 15° beobachtet. Welche Wellenlänge besitzt das Licht?
g = 2,0 µm · k = 1 · θ₁ = 15°
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| λ = g sin θ₁ / k |
1Gittergleichung umstellen
Aus g sin θₖ = kλ folgt durch Teilen durch k die gesuchte Wellenlänge. |
| λ = 2,0 µm · sin(15°) / 1 ≈ 0,518 µm |
2Winkel einsetzen
DEG verwenden. Der Sinus selbst ist einheitenlos. |
| λ ≈ 518 nm |
3Einheit umrechnen
1 µm entspricht 1000 nm. Die Linie liegt im grünen Bereich des sichtbaren Spektrums. |
Lernschritt 6
Bei gleicher Ordnung und gleichem Gitter erzeugt eine größere Wellenlänge einen größeren Beugungswinkel. In der ersten Ordnung liegt rotes Licht deshalb weiter außen als blaues Licht. Die nullte Ordnung trennt die Wellenlängen nicht nach Winkel.
Ein Gemisch vieler Wellenlängen kann so in ein Spektrum aufgespalten werden. Die unterschiedlichen Ordnungen können sich überlappen. Beispielsweise besitzen 600 nm in zweiter Ordnung und 400 nm in dritter Ordnung denselben Wert kλ und damit denselben Winkel, sofern diese Richtungen möglich sind.
Ein Gitter dient daher unter anderem zur Untersuchung von Linienspektren. Die genaue Helligkeit hängt außerdem von der Bauart und der Beleuchtung ab. Unsere Skizze sagt nur die Richtungen der Hauptmaxima voraus.
Blau innen · Grün dazwischen · Rot außen
Berechnete Richtungen für g = 2,0 µm: 450 nm → 13,0°; 550 nm → 16,0°; 650 nm → 19,0°. Dargestellt ist eine Seite der ersten Ordnung.
Die Farben kennzeichnen die drei ausgewählten Wellenlängen schematisch. Weißes Licht enthält viele Wellenlängen und erzeugt ein zusammenhängendes Spektrum. Auch unterhalb der Achse entstehen entsprechende Ordnungen.
Die nullte Ordnung liegt geradeaus; dort werden die Wellenlängen nicht räumlich getrennt.
Lernschritt 7
500 Linien pro mm als g einsetzen: Das ist die Liniendichte. Zuerst den Kehrwert bilden.
Mehr Spalte mit kleinerem Spaltabstand verwechseln: Mehr beleuchtete Spalte bei gleichem g schärfen die Maxima. Ein kleineres g verschiebt ihre Winkel.
Für jede Ordnung einen Winkel erzwingen: Ein Sinusargument größer als 1 bedeutet: nicht möglich.
Den Abstand zwischen links und rechts als y₁ verwenden: y₁ wird vom Zentrum aus gemessen. Die beidseitige Strecke ist bei symmetrischem Aufbau doppelt so groß.
Selbst ausprobieren
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Löse die Aufgaben ohne Nachschlagen. Bei Zahlen sind Dezimalkomma und Dezimalpunkt möglich. Verwende keine Tausenderpunkte.
Die Aufgaben sind unterschiedlich. Die Ergebnisse geben dir eine kurze Orientierung zu deinem Lernstand.
Physikhelfer
Berechne die Winkel der Hauptmaxima, die Gitterkonstante oder die Wellenlänge. Nicht mögliche Beugungsordnungen werden erklärt. Wähle deine gesuchte Größe und lass dir den Rechenweg Schritt für Schritt zeigen.
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Erst vorhersagen oder selbst rechnen, dann die Lösung öffnen.
g = 0,004 mm = 4 µm.
sin θ₁ = 0,25; θ₁ ≈ 14,48°.
Nein. kλ = 1,2 µm ist größer als g.
Für k = 0 ist der Gangunterschied null. Alle Wellenlängen haben hier dieselbe Hauptrichtung.
Die Hauptmaxima werden schmaler. Ihre Winkel bleiben gleich.
Nein. Das Argument ist genau 1 und θ = 90°. Diese Grenzrichtung liegt parallel zur Gitterebene.
Fachlicher Abgleich der Grundgleichung: OpenStax · University Physics 3. Texte, Zahlenbeispiele und Schaubilder sind eigenständig erstellt.
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