Normalverteilung

02 · Verstehen

Was beschreibt eine Normalverteilung?

Die Normalverteilung ist ein Modell für stetige Zufallsvariablen. Stetig bedeutet: Zwischen zwei möglichen Werten liegen weitere mögliche Werte. Im Modell wird also nicht nur mit einzelnen Trefferzahlen gerechnet.

Die Dichtekurve ist glockenförmig und symmetrisch um den Erwartungswert μ. Die Standardabweichung σ ist positiv und beschreibt die Streuung. Wir schreiben auf dieser Seite X ∼ N(μ; σ²): Die zweite Angabe ist die Varianz. Manche Bücher oder Rechner verwenden stattdessen σ – prüfe daher immer die Konvention.

Wahrscheinlichkeiten sind Flächen unter der Kurve

Die gesamte Fläche unter der Dichtekurve ist 1, also 100 %. Die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall ist die Fläche zwischen dessen Grenzen. Die Höhe der Kurve an einem Punkt ist dagegen eine Dichte und keine Einzelwahrscheinlichkeit.

Für eine stetige normalverteilte Größe gilt P(X = a) = 0. Eine einzelne Stelle hat keine Breite und damit keine Fläche. Deshalb ist P(X < a) = P(X ≤ a). Bei der Binomialverteilung ist das anders: Dort kann ein einzelner ganzzahliger Wert positive Wahrscheinlichkeit haben.

Wenn ein Messgerät „500“ anzeigt, meint es durch Rundung meist ein kleines Messintervall. Das widerspricht der Wahrscheinlichkeit null für einen exakt festgelegten Einzelwert im stetigen Modell nicht.

Werte auf die Standardnormalverteilung umrechnen

Die Standardnormalverteilung hat Erwartungswert 0 und Standardabweichung 1. Ihre Zufallsvariable heißt häufig Z. Subtrahiere den Erwartungswert und teile durch die Standardabweichung:

Z = X − μσ

Ein z-Wert gibt den Abstand von μ in Standardabweichungen an. z = 1 bedeutet eine Standardabweichung über dem Mittelwert, z = −2 zwei darunter.

Beispielmodell: Die Füllmenge X eines Produkts sei normalverteilt mit μ = 500 ml und σ = 10 ml. Für 510 ml erhältst du:

Beispiel: höchstens 510 ml

Φ(z), gesprochen „Phi von z“, bezeichnet die Fläche links von z bei der Standardnormalverteilung. Tabellen und Verteilungsfunktionen liefern diese kumulierte Wahrscheinlichkeit.

Beispiel: zwischen 490 und 520 ml

Das sind etwa 81,86 %. Wegen der Symmetrie gilt außerdem Φ(−z) = 1 − Φ(z). Runde möglichst erst das Endergebnis; gerundete Tabellenwerte können kleine Abweichungen verursachen.

Die Sigma-Regeln sinnvoll nutzen

Diese Regeln gelten für symmetrische Intervalle um μ bei einer Normalverteilung. Für ein unsymmetrisches Intervall wie 490 bis 520 ml musst du beide Grenzen getrennt berechnen.

Umgekehrt rechnen: Welche Grenze umfasst 95 %?

Gesucht ist eine Grenze b, unter der 95 % der Werte liegen. Bestimme zuerst den zugehörigen z-Wert und rechne dann in die ursprüngliche Einheit zurück:

Das ist eine einseitige 95-%-Grenze: Rechts bleiben 5 %. Für ein zentrales 95-%-Intervall bleiben dagegen links und rechts jeweils 2,5 %; dafür brauchst du ungefähr ±1,96. Verwechsle diese beiden Fragestellungen nicht.

Binomialverteilung durch eine Normalverteilung annähern

Eine Binomialverteilung kann unter geeigneten Bedingungen näherungsweise durch eine Normalverteilung beschrieben werden. Die Parameter sind μ = n · p und σ = √(n · p · (1 − p)). Die Näherung wird schlechter, wenn nur wenige Treffer oder Nichttreffer zu erwarten sind; beachte die Bedingung deiner Aufgabe.

Warum eine halbe Einheit? Stelle dir zu jeder ganzen Trefferzahl eine Säule mit Breite 1 vor. Die Säule bei 60 reicht von 59,5 bis 60,5. Soll die 60 noch dazugehören, muss die angenäherte Fläche deshalb bis 60,5 reichen. Soll die 60 der erste enthaltene Wert sein, beginnt die Fläche bei 59,5.

Diese Anpassung heißt Stetigkeitskorrektur. Für eine binomialverteilte Trefferzahl Y und eine passende normalverteilte Näherung X gilt:

P(Y ≤ k) ≈ P(X ≤ k + 0,5)

Für P(Y ≥ k) liegt die Grenze bei k − 0,5; für P(a ≤ Y ≤ b) verwendest du a − 0,5 und b + 0,5. Wenn eine exakte Binomialrechnung möglich und verlangt ist, nutze diese.