1 · Was bedeuten μ und σ?
Lösung und Rechenweg ansehen
μ ist der Erwartungswert, σ die positive Standardabweichung. Größeres σ bedeutet mehr Streuung.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 11–13 · Grundlagen und Wiederholung
Normalverteilung: verstehen und üben
Verstehe die Glockenkurve, standardisiere Werte und berechne Wahrscheinlichkeiten als Flächen. Mit Beispielen, Sigma-Regeln und einem Selbstcheck für die Oberstufe.
Die Fläche zählt
Lernschritt 1
Was beschreibt eine Normalverteilung?
Die Normalverteilung ist ein Modell für stetige Zufallsvariablen. Stetig bedeutet: Zwischen zwei möglichen Werten liegen weitere mögliche Werte. Im Modell wird also nicht nur mit einzelnen Trefferzahlen gerechnet.
Die Dichtekurve ist glockenförmig und symmetrisch um den Erwartungswert μ. Die Standardabweichung σ ist positiv und beschreibt die Streuung. Wir schreiben auf dieser Seite X ∼ N(μ; σ²): Die zweite Angabe ist die Varianz. Manche Bücher oder Rechner verwenden stattdessen σ – prüfe daher immer die Konvention.
| Parameter | Bedeutung | Auswirkung auf die Kurve |
|---|---|---|
| μ | Erwartungswert | Verschiebt die Mitte nach links oder rechts. |
| σ > 0 | Standardabweichung | Größeres σ: breitere und flachere Kurve. |
| σ² | Varianz | Quadrat der Standardabweichung. |
Nicht jede Messgröße ist normalverteilt. Das Modell muss zur Aufgabe oder zu den Daten passen. Aus einer ungefähr glockenförmigen Stichprobe allein folgt noch keine exakte Normalverteilung.
Lernschritt 2
Wahrscheinlichkeiten sind Flächen unter der Kurve
Die gesamte Fläche unter der Dichtekurve ist 1, also 100 %. Die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall ist die Fläche zwischen dessen Grenzen. Die Höhe der Kurve an einem Punkt ist dagegen eine Dichte und keine Einzelwahrscheinlichkeit.
Für eine stetige normalverteilte Größe gilt P(X = a) = 0. Eine einzelne Stelle hat keine Breite und damit keine Fläche. Deshalb ist P(X < a) = P(X ≤ a). Bei der Binomialverteilung ist das anders: Dort kann ein einzelner ganzzahliger Wert positive Wahrscheinlichkeit haben.
| Frage | Gesuchte Fläche |
|---|---|
| P(X ≤ b) | Alles links von b. |
| P(X ≥ a) | Alles rechts von a. |
| P(a ≤ X ≤ b) | Der Bereich zwischen a und b. |
Wenn ein Messgerät „500“ anzeigt, meint es durch Rundung meist ein kleines Messintervall. Das widerspricht der Wahrscheinlichkeit null für einen exakt festgelegten Einzelwert im stetigen Modell nicht.
Lernschritt 3
Werte auf die Standardnormalverteilung umrechnen
Die Standardnormalverteilung hat Erwartungswert 0 und Standardabweichung 1. Ihre Zufallsvariable heißt häufig Z. Subtrahiere den Erwartungswert und teile durch die Standardabweichung:
Z =
Ein z-Wert gibt den Abstand von μ in Standardabweichungen an. z = 1 bedeutet eine Standardabweichung über dem Mittelwert, z = −2 zwei darunter.
Beispielmodell: Die Füllmenge X eines Produkts sei normalverteilt mit μ = 500 ml und σ = 10 ml. Für 510 ml erhältst du:
z = = 1
Für 480 ml wäre z = −2. Die Einheit ml kürzt sich beim Standardisieren heraus. In unserer Schreibweise lautet das Modell X ∼ N(500; 100), denn σ² = 100.
Lernschritt 4
Beispiel: höchstens 510 ml
Φ(z), gesprochen „Phi von z“, bezeichnet die Fläche links von z bei der Standardnormalverteilung. Tabellen und Verteilungsfunktionen liefern diese kumulierte Wahrscheinlichkeit.
P(X ≤ 510) = P(Z ≤ 1) = Φ(1) ≈ 0,8413
Im vorgegebenen Modell enthalten etwa 84,13 % der Füllungen höchstens 510 ml. Die rechts verbleibende Wahrscheinlichkeit ist P(X > 510) = 1 − 0,8413 ≈ 15,87 %.
Lernschritt 5
Beispiel: zwischen 490 und 520 ml
Standardisiere beide Grenzen: 490 ml entsprechen z = −1 und 520 ml entsprechen z = 2. Ziehe dann die linke kumulierte Fläche von der rechten ab:
P(490 ≤ X ≤ 520) = Φ(2) − Φ(−1)
≈ 0,97725 − 0,15866 = 0,81859
Das sind etwa 81,86 %. Wegen der Symmetrie gilt außerdem Φ(−z) = 1 − Φ(z). Runde möglichst erst das Endergebnis; gerundete Tabellenwerte können kleine Abweichungen verursachen.
Lernschritt 6
Die Sigma-Regeln sinnvoll nutzen
| Intervall | Anteil bei Normalverteilung | Beispiel μ = 500 ml, σ = 10 ml |
|---|---|---|
| μ − σ bis μ + σ | ≈ 68,27 % | 490 bis 510 ml |
| μ − 2σ bis μ + 2σ | ≈ 95,45 % | 480 bis 520 ml |
| μ − 3σ bis μ + 3σ | ≈ 99,73 % | 470 bis 530 ml |
Diese Regeln gelten für symmetrische Intervalle um μ bei einer Normalverteilung. Für ein unsymmetrisches Intervall wie 490 bis 520 ml musst du beide Grenzen getrennt berechnen.
„Ungefähr 95 %“ und „zwei Sigma“ sind nicht exakt dasselbe. Das zentrale 95-%-Intervall reicht ungefähr von μ − 1,96σ bis μ + 1,96σ. Ein solches Intervall für Einzelwerte ist kein Konfidenzintervall für einen unbekannten Mittelwert.
Lernschritt 7
Umgekehrt rechnen: Welche Grenze umfasst 95 %?
Gesucht ist eine Grenze b, unter der 95 % der Werte liegen. Der zugehörige z-Wert erfüllt Φ(z) = 0,95 und beträgt ungefähr 1,645. Rechne anschließend in die ursprüngliche Einheit zurück:
b = μ + z · σ
b ≈ 500 + 1,645 · 10 = 516,45 ml
Das ist eine einseitige 95-%-Grenze: Rechts bleiben 5 %. Für ein zentrales 95-%-Intervall bleiben dagegen links und rechts jeweils 2,5 %; dafür brauchst du ungefähr ±1,96. Verwechsle diese beiden Fragestellungen nicht.
Lernschritt 8
Binomialverteilung durch eine Normalverteilung annähern
Eine Binomialverteilung kann unter geeigneten Bedingungen näherungsweise durch eine Normalverteilung beschrieben werden. Die Parameter sind μ = n · p und σ = √(n · p · (1 − p)). Die Näherung wird schlechter, wenn nur wenige Treffer oder Nichttreffer zu erwarten sind; beachte die Bedingung deiner Aufgabe.
Da Trefferzahlen diskret sind, wird bei der Stetigkeitskorrektur eine halbe Einheit ergänzt. Für eine binomialverteilte Trefferzahl Y und eine passende normalverteilte Näherung X gilt zum Beispiel:
P(Y ≤ k) ≈ P(X ≤ k + 0,5)
Für P(Y ≥ k) liegt die Grenze bei k − 0,5; für P(a ≤ Y ≤ b) verwendest du a − 0,5 und b + 0,5. Wenn eine exakte Binomialrechnung möglich und verlangt ist, nutze diese.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · μ = 100, σ = 15, x = 130: Welcher z-Wert?
Lösung und Rechenweg ansehen
z = = 2. Der Wert liegt zwei Standardabweichungen über μ.
Erklärung wiederholen →3 · Wie groß ist P(X = 500) im stetigen Füllmengenmodell?
Lösung und Rechenweg ansehen
0. Ein einzelner exakter Wert hat keine Fläche. Messanzeigen stehen dagegen typischerweise für gerundete Intervalle.
Erklärung wiederholen →4 · Welcher Anteil liegt zwischen μ − 2σ und μ + 2σ?
Lösung und Rechenweg ansehen
Bei einer Normalverteilung ungefähr 95,45 %.
Erklärung wiederholen →5 · Wie berechnest du P(−1 ≤ Z ≤ 2)?
Lösung und Rechenweg ansehen
Φ(2) − Φ(−1) ≈ 81,86 %.
Erklärung wiederholen →6 · Warum sind 1,645 und 1,96 unterschiedliche 95-%-Grenzen?
Lösung und Rechenweg ansehen
1,645 liefert links 95 % und rechts 5 %. Die Grenzen −1,96 und 1,96 schließen zentral 95 % ein, mit je 2,5 % außerhalb.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
Kostenlos weiterlernen
Passende Materialien zum Weiterlernen
Die kleinen Bilder zeigen eine Vorschau. Über Bild oder Link gelangst du zur Produktseite mit den Angaben zum Material und zum PDF-Bezug.
Kostenlos · Arbeitsblatt · PDF
Normalverteilung üben
Passendes kostenloses Arbeitsblatt mit Lösungen für die Oberstufe. Übe das Rechnen mit normalverteilten Größen.
Material ansehen →Häufige Fragen
Ist die Höhe der Glockenkurve eine Wahrscheinlichkeit?
Nein. Wahrscheinlichkeiten sind Flächen unter der Dichtekurve. Die Höhe beschreibt eine Dichte.
Wann verwende ich die Stetigkeitskorrektur?
Bei der Näherung einer diskreten Verteilung durch eine stetige, etwa einer Binomialverteilung durch eine Normalverteilung. Für eine bereits normalverteilte Messgröße ist sie nicht nötig.
Ist die Standardabweichung dasselbe wie die Varianz?
Nein. Die Varianz ist σ². Die Standardabweichung σ ist ihre positive Wurzel und hat dieselbe Einheit wie die Zufallsvariable.