Finde die durchschnittliche Höhe einer Funktion über ein ganzes Intervall. Beispiele, Skizzen und kurze Aufgaben zeigen dir den Unterschied zum Endpunktdurchschnitt und zur mittleren Änderungsrate.
Hilfreiches Vorwissen: Bestimmte Integrale, Intervalllängen und Bruchrechnung.
Drei kurze Aufgaben zeigen dir, wo du einsteigen kannst. Löse sie zunächst ohne Hilfe.
Zahlen mit Komma oder Punkt, Brüche exakt mit /. Gib bei Zahlenaufgaben nur den Zahlenwert ein; die Einheit steht am Eingabefeld. Entscheidungen: ja oder nein. Mehrere Stellen mit Semikolon trennen. Wurzeln exakt etwa als 2/sqrt(3) eingeben.
Verstehen
Integral durch Intervalllänge
mf = · f(x) dx
Das Integral beschreibt den gesamten vorzeichenbehafteten Beitrag. Durch die Intervalllänge geteilt ergibt es den durchschnittlichen Funktionswert.
Eine Funktion kann auf einem Intervall steigen, fallen oder schwanken. Ihr Mittelwert beschreibt eine konstante Höhe, die über dasselbe Intervall denselben Integralwert liefert.
Für eine nicht negative Funktion kannst du dir ein Rechteck vorstellen: Es hat dieselbe Breite wie das Intervall und denselben Flächeninhalt wie die Fläche unter dem Graphen. Seine Höhe ist der Funktionsmittelwert.
Bei negativen Funktionswerten zählen die Beiträge mit Vorzeichen. Dann ist der Mittelwert keine durchschnittliche Entfernung von der x-Achse.
Für eine integrierbare Funktion auf [a; b] mit a < b soll die konstante Höhe mf denselben Integralwert liefern:
mf · (b − a) = f(x) dx
Teile durch die positive Intervalllänge:
mf = · f(x) dx
Du brauchst also zwei Schritte: das bestimmte Integral berechnen und durch die Intervalllänge teilen. Die Intervalllänge ist b − a, nicht grundsätzlich die obere Grenze b.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Teile durch die Länge, nicht durch die obere Grenze.
Die Einheit ist dieselbe wie die der Funktionswerte.
Beispiel – Schritt für Schritt
f(x) = x² auf [0; 2]
Setze obere minus untere Grenze in die Stammfunktion ein.
Für den Mittelwert wird durch die gesamte Breite des Intervalls geteilt.
Der Mittelwert ist die konstante Rechteckhöhe, die denselben Integralwert ergibt.
Kontrolle: Ein Rechteck mit Breite 2 und Höhe vier Drittel hat Fläche acht Drittel. Das ist genau der Integralwert.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Zuerst die vorzeichenbehaftete Bilanz berechnen.
Das gleich hohe Rechteck über der Breite 2 hat denselben Integralwert.
Beispiel – Schritt für Schritt
f(x) = x² auf [0; 2]
Betrachte weiterhin f(x) = x² auf [0; 2].
Dieses arithmetische Mittel verwendet lediglich zwei Funktionswerte.
Die Rechnung zeigt, warum das Endpunktmittel bei einer nichtlinearen Funktion im Allgemeinen nicht genügt.
Die Endpunkte allein erfassen den Verlauf dazwischen nicht. Auch f in der Intervallmitte ist im Allgemeinen nicht der Mittelwert: f(1) = 1 stimmt ebenfalls nicht mit vier Drittel überein.
Für eine lineare Funktion gilt dagegen die praktische Ausnahme: Ihr Mittelwert auf einem Intervall ist der Durchschnitt der beiden Endpunktwerte und zugleich ihr Wert in der Intervallmitte.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Hier werden nur zwei Werte berücksichtigt.
Er berücksichtigt den gesamten Verlauf im Intervall.
Beispiel – Schritt für Schritt
f(x) = 2x + 1 auf [1; 3]
Gesucht ist der Mittelwert auf [1; 3].
Berechne beide Stammfunktionswerte getrennt.
Die obere Grenze 3 ist nicht die Intervalllänge.
Der durchschnittliche Funktionswert beträgt 5.
Die Endpunktwerte sind 3 und 7. Ihr Mittel 5 stimmt hier überein, weil die Funktion linear ist. Wenn du fälschlich durch die obere Grenze 3 teilst, erhältst du einen falschen Mittelwert.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Beide Grenzen getrennt einsetzen.
Bei dieser linearen Funktion stimmt auch der Endpunktdurchschnitt (3 + 7)/2.
Beispiel – Schritt für Schritt
f(x) = x auf [−1; 1]
Für f(x) = x betrachten wir das Intervall [−1; 1].
Die negative und die positive Teilfläche gleichen sich im Integral aus.
Durch die Intervalllänge geteilt bleibt die Bilanz null.
Die Funktion selbst ist nicht überall 0. Ein Mittelwert von 0 bedeutet nur, dass sich ihre Beiträge über dieses Intervall ausgleichen.
Beispiel – Schritt für Schritt
f(x) = x auf [−1; 1]
Gesucht: der mittlere Betrag
Für den durchschnittlichen Betrag von f(x) = x wird bei x = 0 getrennt gerechnet.
Das Integral von |f(x)| zählt beide Teilflächen positiv.
Der mittlere Betrag ist 0,5, während der Funktionsmittelwert 0 beträgt. Das sind verschiedene Fragestellungen.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Gleich große positive und negative Beiträge heben sich auf.
Ein Mittelwert fasst den Verlauf zusammen und ersetzt nicht die einzelnen Funktionswerte.
Ein vereinfachtes Bewegungsmodell beschreibt die Geschwindigkeit durch v(t) = 2t + 1 für 0 ≤ t ≤ 4, mit t in Sekunden und v in Metern pro Sekunde. Die Geschwindigkeit bleibt positiv.
Beispiel – Schritt für Schritt
v(t) = 2t + 1 für 0 ≤ t ≤ 4
t in s · v in m/s
Eine Stammfunktion von v(t) = 2t + 1 ist V(t). Die Zeit t wird in Sekunden gemessen.
Da die Geschwindigkeit positiv bleibt, liefert das Integral hier auch die insgesamt zurückgelegte Strecke.
Für den Mittelwert zählt die Länge des Zeitintervalls.
Der Mittelwert hat dieselbe Einheit wie die Geschwindigkeit.
Mit konstant 5 Metern pro Sekunde würde in derselben Zeit dieselbe Strecke zurückgelegt. Bei vorzeichenbehafteter Geschwindigkeit liefert das Integral die Ortsänderung. Für die insgesamt zurückgelegte Strecke und das mittlere Tempo brauchst du dann den Betrag der Geschwindigkeit.
Der Funktionsmittelwert mittelt die Werte von f. Die mittlere Änderungsrate beschreibt dagegen, wie stark f im Durchschnitt pro x-Einheit steigt oder fällt:
Mittlere Änderungsrate =
Beispiel – Schritt für Schritt
f(x) = x² auf [0; 2]
Für f(x) = x² auf [0; 2] wird das Integral durch die Intervalllänge geteilt.
Die mittlere Änderungsrate nutzt die Differenz der Randwerte.
Die Änderungsrate 2 beschreibt eine Steigung; der Funktionsmittelwert 4/3 beschreibt eine durchschnittliche Höhe.
Für stetig differenzierbare Funktionen ist die mittlere Änderungsrate von f gleich dem Funktionsmittelwert ihrer Ableitung f′. Das folgt aus dem Hauptsatz: Das Integral von f′ ist f(b) − f(a).
Ist f auf dem gesamten abgeschlossenen Intervall stetig, gibt es mindestens eine Stelle ξ im Intervall mit f(ξ) = mf. Das ist der Mittelwertsatz der Integralrechnung.
Beispiel – Schritt für Schritt
f(x) = x² auf [0; 2] · mf =
Gesucht ist eine Stelle, an der x² den Mittelwert auf [0; 2] annimmt.
Beim Wurzelziehen entstehen zunächst zwei Kandidaten.
Nur der positive Kandidat liegt in [0; 2]. Diese Stelle ist nicht die Intervallmitte 1.
Bei einer unstetigen Funktion kann der Mittelwert existieren, ohne dass er als Funktionswert vorkommt. Eine Funktion, die eine Hälfte des Intervalls den Wert 0 und die andere Hälfte den Wert 2 hat, besitzt Mittelwert 1, muss aber nirgends 1 annehmen.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Zuerst alle reellen Kandidaten bestimmen.
Die negative Lösung liegt außerhalb und wird ausgeschlossen.
Für endlich viele gleich gewichtete Messwerte verwendest du das arithmetische Mittel. Sind Werte für unterschiedlich lange Zeitabschnitte konstant, müssen sie dagegen mit den jeweiligen Zeitdauern gewichtet werden.
Beispiel – Schritt für Schritt
Wert 10 für 1 Stunde
Wert 20 für 3 Stunden
Die Größe hat zunächst den Wert 10 und anschließend den Wert 20.
Der Wert 20 zählt dreimal so lange wie der Wert 10. Die gemeinsamen Zeiteinheiten kürzen sich beim Teilen.
Der ungewichtete Durchschnitt 15 wäre hier falsch, weil er die unterschiedlichen Dauern ignoriert.
Das Integral übernimmt diese Gewichtung für einen kontinuierlichen Verlauf. Einzelne Stichproben erlauben ohne zusätzliche Annahmen nur eine Näherung an diesen Mittelwert.
Selbst ausprobieren
Mit Tipps lernen oder ohne Hilfe testen – du entscheidest.
Wähle deine Stufe. Pro Runde löst du sechs Aufgaben mit direkter Rückmeldung.
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
Löse die Aufgaben ohne Tipps. Danach bekommst du passende Empfehlungen. Der Check zeigt deinen Lernstand, keine Schulnote.
Mathehelfer
Für Polynome bis Grad 6: Integral und Intervalllänge berechnen, die mittlere Höhe als Rechteck sehen und mit Endpunktdurchschnitt sowie Änderungsrate vergleichen. Du kannst auch alle Stellen im Intervall mit diesem Funktionswert finden.
Eigene Aufgabe lösen →Ein Rücklink führt dich wieder hierher. Dein Übungsstand bleibt in diesem Tab erhalten.
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
Integral von f über [a; b], geteilt durch b − a.
Erklärung wiederholen →Lösung – Schritt für Schritt
f(x) = x² auf [0; 2]
Die Ableitung von F ist x².
Setze beide Grenzen ein und bilde die Differenz.
Teile durch die Intervalllänge 2.
Nein. Das funktioniert insbesondere bei linearen Funktionen, aber nicht allgemein.
Erklärung wiederholen →2. Du teilst durch 3 − 1.
Erklärung wiederholen →Lösung – Schritt für Schritt
f(x) = x auf [−1; 1]
Die Stammfunktionswerte an beiden Grenzen sind gleich.
Die Intervalllänge ist 2. Der Mittelwert null bedeutet nicht, dass f überall null ist.
Lösung – Schritt für Schritt
Wert 10 für 1 Stunde
Wert 20 für 3 Stunden
Multipliziere jeden Wert mit seiner Dauer in Stunden.
Der gesamte Zeitraum umfasst vier Stunden.
Teile die gewichtete Summe durch die Gesamtdauer.
Dein nächster Schritt
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Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Ja. Das Integral multipliziert mit der Einheit der unabhängigen Variablen; die Division durch die Intervalllänge hebt das wieder auf.
Ja. Wenn die negativen Integralbeiträge überwiegen, ist er negativ.
Nein. Bei linearen Funktionen gilt das, bei anderen Funktionen im Allgemeinen nicht.
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Die Ableitung von x³/3 ist x².