Mittelwert einer Funktion: verstehen und üben

Lernschritt 1

Was der Funktionsmittelwert bedeutet

Eine Funktion kann auf einem Intervall steigen, fallen oder schwanken. Ihr Mittelwert beschreibt eine konstante Höhe, die über dasselbe Intervall denselben Integralwert liefert.

Für eine nicht negative Funktion kannst du dir ein Rechteck vorstellen: Es hat dieselbe Breite wie das Intervall und denselben Flächeninhalt wie die Fläche unter dem Graphen. Seine Höhe ist der Funktionsmittelwert.

Bei negativen Funktionswerten zählen die Beiträge mit Vorzeichen. Dann ist der Mittelwert keine durchschnittliche Entfernung von der x-Achse.

Lernschritt 2

Die Formel herleiten

Für eine integrierbare Funktion auf [a; b] mit a < b soll die konstante Höhe m_f denselben Integralwert liefern:

m_f · (b − a) = ∫ba f(x) dx

Teile durch die positive Intervalllänge:

m_f = 1b − a · ∫ba f(x) dx

Du brauchst also zwei Schritte: das bestimmte Integral berechnen und durch die Intervalllänge teilen. Die Intervalllänge ist b − a, nicht grundsätzlich die obere Grenze b.

Lernschritt 3

Beispiel: f(x) = x² auf [0; 2]

Eine Stammfunktion von x² ist x³3. Das Integral lautet:

∫20 x² dx = 83

Die Intervalllänge beträgt 2. Daher:

m_f = 12 · 83 = 43 ≈ 1,33

Kontrolle: Ein Rechteck mit Breite 2 und Höhe vier Drittel hat Fläche acht Drittel. Das ist genau der Integralwert.

Lernschritt 4

Warum der Mittelwert der Endpunkte nicht genügt

Im Beispiel sind die Endpunktwerte f(0) = 0 und f(2) = 4. Ihr arithmetisches Mittel ist 2. Der tatsächliche Funktionsmittelwert ist aber vier Drittel.

Die Endpunkte allein erfassen den Verlauf dazwischen nicht. Auch f in der Intervallmitte ist im Allgemeinen nicht der Mittelwert: f(1) = 1 stimmt ebenfalls nicht mit vier Drittel überein.

Für eine lineare Funktion gilt dagegen die praktische Ausnahme: Ihr Mittelwert auf einem Intervall ist der Durchschnitt der beiden Endpunktwerte und zugleich ihr Wert in der Intervallmitte.

Lernschritt 5

Ein Intervall, das nicht bei 0 beginnt

Berechne den Mittelwert von f(x) = 2x + 1 auf [1; 3]. Die Länge ist 3 − 1 = 2. Mit der Stammfunktion x² + x folgt:

∫31 (2x + 1) dx = (9 + 3) − (1 + 1) = 10

m_f = 102 = 5

Die Endpunktwerte sind 3 und 7. Ihr Mittel 5 stimmt hier überein, weil die Funktion linear ist. Wenn du fälschlich durch die obere Grenze 3 teilst, erhältst du einen falschen Mittelwert.

Lernschritt 6

Positive und negative Werte verrechnen

Für f(x) = x auf [−1; 1] ist das Integral 0. Die negativen und positiven Beiträge heben sich auf. Der Funktionsmittelwert ist daher 0.

Die Funktion selbst ist nicht überall 0. Ein Mittelwert von 0 bedeutet nur, dass sich ihre Beiträge über dieses Intervall ausgleichen.

Wenn ausdrücklich der durchschnittliche Betrag gefragt ist, integrierst du |f(x)|. Im Beispiel beträgt das Integral des Betrags 1 und die Intervalllänge 2. Der mittlere Betrag ist also 12. Das ist eine andere Fragestellung.

Lernschritt 7

Beispiel: durchschnittliche Geschwindigkeit

Ein vereinfachtes Bewegungsmodell beschreibt die Geschwindigkeit durch v(t) = 2t + 1 für 0 ≤ t ≤ 4, mit t in Sekunden und v in Metern pro Sekunde. Die Geschwindigkeit bleibt positiv.

Das Zeitintegral ist die zurückgelegte Strecke: Mit der Stammfunktion t² + t ergeben sich 16 + 4 = 20 Meter. Teile durch die Zeitdauer:

v_mittel = 20 m4 s = 5 m · s⁻¹

Mit konstant 5 Metern pro Sekunde würde in derselben Zeit dieselbe Strecke zurückgelegt. Bei vorzeichenbehafteter Geschwindigkeit liefert das Integral die Ortsänderung. Für die insgesamt zurückgelegte Strecke und das mittlere Tempo brauchst du dann den Betrag der Geschwindigkeit.

Lernschritt 8

Mittelwert und mittlere Änderungsrate unterscheiden

Der Funktionsmittelwert mittelt die Werte von f. Die mittlere Änderungsrate beschreibt dagegen, wie stark f im Durchschnitt pro x-Einheit steigt oder fällt:

Mittlere Änderungsrate = f(b) − f(a)b − a

Für f(x) = x² auf [0; 2] beträgt der Funktionsmittelwert vier Drittel, die mittlere Änderungsrate aber 2. Die Formeln beantworten verschiedene Fragen.

Für stetig differenzierbare Funktionen ist die mittlere Änderungsrate von f gleich dem Funktionsmittelwert ihrer Ableitung f′. Das folgt aus dem Hauptsatz: Das Integral von f′ ist f(b) − f(a).

Lernschritt 9

Wird der Mittelwert auch wirklich angenommen?

Ist f auf dem gesamten abgeschlossenen Intervall stetig, gibt es mindestens eine Stelle ξ im Intervall mit f(ξ) = m_f. Das ist der Mittelwertsatz der Integralrechnung.

Für f(x) = x² auf [0; 2] löst du ξ² = vier Drittel. Im Intervall liegt ξ = 2√3 ≈ 1,15. Diese Stelle ist nicht die Intervallmitte.

Bei einer unstetigen Funktion kann der Mittelwert existieren, ohne dass er als Funktionswert vorkommt. Eine Funktion, die eine Hälfte des Intervalls den Wert 0 und die andere Hälfte den Wert 2 hat, besitzt Mittelwert 1, muss aber nirgends 1 annehmen.

Lernschritt 10

Was sich bei einzelnen Messwerten ändert

Für endlich viele gleich gewichtete Messwerte verwendest du das arithmetische Mittel. Sind Werte für unterschiedlich lange Zeitabschnitte konstant, müssen sie dagegen mit den jeweiligen Zeitdauern gewichtet werden.

Beispiel: Eine Größe ist 1 Stunde lang 10 und danach 3 Stunden lang 20. Der Zeitmittelwert ist (10 · 1 + 20 · 3) geteilt durch 4, also 17,5. Der einfache Mittelwert der beiden Zahlen wäre 15 und würde die unterschiedlichen Dauern ignorieren.

Das Integral übernimmt diese Gewichtung für einen kontinuierlichen Verlauf. Einzelne Stichproben erlauben ohne zusätzliche Annahmen nur eine Näherung an diesen Mittelwert.

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