1 · Gleiche Wassermassen bei 20 °C und 60 °C werden ideal gemischt. Welche Temperatur?
Lösung und Rechenweg ansehen
40 °C, der einfache Mittelwert bei gleicher Masse und gleichem c.
Erklärung wiederholen →Physik · Wärmelehre · Mittelstufe
Mischtemperatur: verstehen und üben
Welche Temperatur entsteht beim Mischen von warmem und kaltem Wasser? Leite die Rechnung aus der Energiebilanz her und erkenne, wann ein einfacher Mittelwert genügt – und wann nicht.
Abgegeben = aufgenommen
Qab = Qauf
Die warme Portion gibt Energie ab, die kalte nimmt sie auf. Im idealen Modell treffen sich beide bei derselben Mischtemperatur.
Lernschritt 1
Was passiert beim Mischen?
Beim Mischen von warmem und kaltem Wasser wird Energie vom wärmeren zum kälteren Teil übertragen. Nach ausreichendem Durchmischen und Temperaturausgleich hat die Mischung eine gemeinsame Temperatur TM.
Wir beginnen mit einem idealen Modell: Es wird keine Energie an die Umgebung abgegeben oder von ihr aufgenommen. Das Gefäß nimmt keine nennenswerte Energie auf. Es gibt keine Verdunstung, keinen Phasenwechsel und keine chemische Reaktion. Die spezifischen Wärmekapazitäten gelten als konstant.
Unter diesen Bedingungen liegt die Mischtemperatur zwischen den beiden Anfangstemperaturen. Die Massen bleiben erhalten und addieren sich. Ob die Volumina verschiedener Flüssigkeiten exakt additiv sind, spielt für die hier verwendete Rechnung mit Massen keine Rolle.
Lernschritt 2
Die Energiebilanz aufstellen
Bezeichne die warme Portion mit Index w und die kalte mit Index k. Die warme Portion kühlt von Tw auf TM ab. Die kalte erwärmt sich von Tk auf TM.
Qab = mw · cw · (Tw − TM)
Qauf = mk · ck · (TM − Tk)
Beide Ausdrücke sind hier positive Beträge. Deshalb stehen die Temperaturdifferenzen unterschiedlich herum. Setze nun abgegebene und aufgenommene Energie gleich:
mwcw(Tw − TM) = mkck(TM − Tk)
Dieselbe Bilanz könnte mit vorzeichenbehafteten Energieänderungen als Summe gleich null geschrieben werden. Mische die beiden Schreibweisen nicht innerhalb einer Rechnung.
Lernschritt 3
Gleicher Stoff: Die Wärmekapazität kürzt sich
Für zwei Wasserportionen mit demselben angenommenen c kürzt sich dieser Faktor auf beiden Seiten heraus. Es bleibt:
mw(Tw − TM) = mk(TM − Tk)
Nach Ausmultiplizieren und Zusammenfassen aller Terme mit TM erhältst du:
mwTw + mkTk = (mw + mk)TM
TM =
Das ist ein nach Massen gewichteter Mittelwert. Bei gleichen Massen wird daraus der gewöhnliche Mittelwert. Bei ungleichen Massen liegt das Ergebnis näher an der Anfangstemperatur der größeren Portion.
Hier dürfen beide Anfangstemperaturen einheitlich in °C eingesetzt werden; das Ergebnis steht dann in °C. Auch Kelvin funktioniert. Verwende eine einheitliche Temperaturskala und für beide Massen dieselbe Masseneinheit.
Lernschritt 4
Ungleiche Wassermassen: vollständig durchrechnen
Gegeben: mk = 0,20 kg bei 20 °C und mw = 0,10 kg bei 80 °C.
1. Gewichteten Mittelwert einsetzen:
TM = °C
2. Zähler und Nenner ausrechnen: 8 + 4 = 12; Gesamtmasse 0,30 kg.
TM = °C = 40 °C
3. Plausibilität prüfen: 40 °C liegt zwischen 20 °C und 80 °C und näher bei 20 °C. Das passt zur doppelt so großen kalten Portion. Der einfache Mittelwert 50 °C wäre hier falsch.
Lernschritt 5
Das Ergebnis mit Energie kontrollieren
Verwende für beide Wasserportionen c = 4.200 Joule pro Kilogramm und Kelvin. Die warme Portion kühlt um 40 K ab, die kalte erwärmt sich um 20 K.
Qab = 0,10 · 4.200 · 40 J = 16.800 J
Qauf = 0,20 · 4.200 · 20 J = 16.800 J
Die Beträge stimmen überein. Genau das muss die ideale Energiebilanz leisten. Gleiche übertragene Energie bedeutet bei unterschiedlichen Massen nicht gleiche Temperaturänderungen.
Die größere Wasserportion ändert ihre Temperatur weniger. Im Beispiel hat sie die doppelte Masse und deshalb nur die halbe Temperaturänderung.
Lernschritt 6
Vorhersagen: Welcher Anteil bestimmt das Ergebnis?
In allen drei Fällen beträgt die kalte Anfangstemperatur 20 °C und die warme 80 °C. Es wird jeweils Wasser im idealen Modell gemischt. Schätze zuerst, dann öffne das Ergebnis.
Gleiche Massen: 100 g kalt + 100 g warm
50 °C. Beide Portionen haben dieselbe Wärmekapazität, deshalb liegt die Temperatur genau in der Mitte.
Mehr kaltes Wasser: 200 g kalt + 100 g warm
40 °C. Die kalte Portion hat das doppelte Gewicht im Mittelwert.
Mehr warmes Wasser: 100 g kalt + 200 g warm
60 °C. Die warme Portion bestimmt das Ergebnis stärker.
Verdoppelst du in einem Fall beide Massen, bleibt die ideale Mischtemperatur gleich. Die insgesamt zwischen den Portionen übertragene Energie verdoppelt sich jedoch.
Lernschritt 7
Wie viel kaltes Wasser wird benötigt?
Aufgabe: 0,10 kg Wasser bei 80 °C sollen durch Mischen mit Wasser bei 20 °C eine Mischtemperatur von 40 °C erreichen. Wie groß muss die kalte Masse sein?
Stelle die Bilanz für denselben Stoff auf und löse nach mk auf:
0,10 · (80 − 40) = mk · (40 − 20)
mk = kg = 0,20 kg
So findest du dieselbe Massenverteilung wie im Beispiel. Die Zieltemperatur muss im idealen Modell zwischen den beiden Anfangstemperaturen liegen. Mit Wasser bei 20 °C erreichst du durch endliches ideales Mischen nicht genau 20 °C, solange eine positive Menge wärmeres Wasser dabei ist.
Lernschritt 8
Andere Stoffe und reale Gefäße
Bei verschiedenen Stoffen kürzen sich die spezifischen Wärmekapazitäten im Allgemeinen nicht. Ohne weitere Energieanteile gilt:
TM =
Die Gewichte sind jetzt die Wärmekapazitäten m · c. Gleich große Massen liefern also nicht automatisch den einfachen Mittelwert. Das Modell setzt voraus, dass beim Zusammenbringen keine zusätzlichen Reaktions- oder Mischungseffekte relevant sind.
Ein kaltes Gefäß nimmt selbst Energie auf. Ist es anfangs so kalt wie die kalte Portion, gilt beispielsweise:
Qab, warm = Qauf, kalt + CGefäß(TM − Tk)
Die Mischtemperatur liegt dann niedriger als ohne dieses Gefäß. Auch die Umgebung, Messfühler und Verdunstung können das Ergebnis beeinflussen. Beim Mischen mit Eis muss zusätzlich Schmelzenergie berücksichtigt werden; die einfache Mittelwertformel reicht dafür nicht.
Für den Unterricht
Lass vor dem Rechnen eine Mischtemperatur auf einer Skala zwischen 20 °C und 80 °C markieren und begründen. Nach der Rechnung prüfen Lernende die beiden Energiemengen getrennt. Zum Schluss erklären sie, in welche Richtung ein zunächst kaltes Gefäß das Ergebnis verändert.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · 200 g Wasser bei 20 °C und 100 g bei 80 °C: Mischtemperatur?
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40 °C. Der nach Massen gewichtete Mittelwert berücksichtigt die größere kalte Portion.
Erklärung wiederholen →3 · Warum erwärmt sich die doppelte Kaltwassermasse weniger stark als die warme abkühlt?
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Bei gleichem c braucht die doppelte Masse für dieselbe Temperaturänderung doppelt so viel Energie. Bei gleichen Energieübertragungsbeträgen ist ihre Änderung halb so groß.
Erklärung wiederholen →4 · Beide Wassermassen werden verdreifacht. Ändert sich die ideale Mischtemperatur?
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Nein. Ihr Verhältnis bleibt gleich; der gemeinsame Faktor kürzt sich.
Erklärung wiederholen →5 · Eine Rechnung ergibt 90 °C aus Wasser bei 20 °C und 80 °C. Passt das zum idealen Modell?
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Nein. Ohne zusätzliche Energiequelle oder andere Energieeffekte muss die Temperatur zwischen den Anfangswerten liegen.
Erklärung wiederholen →6 · Warum darf bei verschiedenen Stoffen c nicht einfach weggelassen werden?
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Die Stoffe können unterschiedliche spezifische Wärmekapazitäten haben. Entscheidend sind die Produkte m · c.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Ist die Mischtemperatur immer der Mittelwert?
Der einfache Mittelwert gilt im idealen Modell bei gleichen Wärmekapazitäten der beiden Portionen. Für denselben Stoff bedeutet das gleiche Massen.
Kann ich Gramm statt Kilogramm einsetzen?
In der gekürzten Mittelwertformel für denselben Stoff ja, wenn beide Massen dieselbe Einheit haben. Bei Energieberechnungen mit c in Joule pro Kilogramm und Kelvin brauchst du Kilogramm.
Warum stimmt eine Messung nicht genau mit der Rechnung überein?
Die einfache Rechnung vernachlässigt Gefäß, Umgebung und weitere Einflüsse. Diese können Energie aufnehmen oder abgeben; auch Messunsicherheiten spielen eine Rolle.