Unterscheide identische, echt parallele, schneidende und windschiefe Geraden. Prüfe alle Koordinaten mit getrennten Parametern und berechne einen Schnittpunkt oder den kleineren Richtungswinkel.
Hilfreiches Vorwissen: Vektorrechnung, Geradenparameter, lineare Gleichungssysteme und Skalarprodukt.
Drei kurze Aufgaben zeigen dir, wo du einsteigen kannst. Löse sie zunächst ohne Hilfe.
Komponenten mit Semikolon trennen, z. B. 2; −1; 3. Brüche mit /, Wurzeln als sqrt(…). Lagebeziehungen wie in der Aufgabe benennen. Winkel in Grad auf eine Nachkommastelle runden.
Verstehen
Richtung prüfen, dann Lage
Parallele Richtungsvektoren?
Gemeinsamer Punkt?
Diese beiden Fragen reichen aus, um die Lage zweier Geraden im dreidimensionalen Raum einzuordnen.
| Lage | Richtungen | Gemeinsame Punkte |
|---|---|---|
| Identisch | Parallel | Unendlich viele |
| Echt parallel | Parallel | Keine |
| Schneidend | Nicht parallel | Genau einer |
| Windschief | Nicht parallel | Keine |
Windschiefe Geraden gibt es im Raum, aber nicht in einer gemeinsamen Ebene. Sie schneiden sich nicht und sind zugleich nicht parallel.
Eine perspektivische Zeichnung kann täuschen: Zwei Linien können im Bild kreuzen, obwohl die räumlichen Geraden keinen gemeinsamen Punkt haben. Deshalb entscheiden wir mit den Gleichungen.
Schreibe die Geraden in Parameterform:
g: x = a + t · d
h: x = b + s · e
Die Richtungsvektoren d und e müssen ungleich null sein. Verwende verschiedene Parameter t und s: Ein gemeinsamer Punkt kann auf den beiden Geraden zu ganz unterschiedlichen Parameterwerten gehören.
Prüfe zuerst, ob ein gemeinsamer Skalar λ mit e = λd existiert. Dazu muss derselbe Faktor in allen Komponenten passen. Bei Nullkomponenten prüfst du die Gleichungen direkt, statt durch null zu teilen.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Die Parameter gehören zu verschiedenen Geraden.
Alle drei Koordinaten stimmen überein, obwohl 1 ≠ 3.
Wir verwenden als erste Gerade:
g: x = + t ·
Vergleiche sie mit:
h: x = + s ·
Beispiel – Schritt für Schritt
g: x = (1; 2; 1) + t · (2; −1; 2)
h: x = (3; 1; 3) + s · (4; −2; 4)
Setze B(3 | 1 | 3) in g ein. Die erste Koordinate liefert t = 1.
Mit t = 1 entsteht tatsächlich B. Die parallelen Geraden haben einen gemeinsamen Punkt und sind deshalb identisch.
Parallel verlaufende Geraden mit einem gemeinsamen Punkt sind identisch. Hier beschreiben beide Gleichungen dieselbe Gerade. Die Parameter hängen durch t = 1 + 2s zusammen.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Die Richtungen sind parallel und B liegt auf g.
Ein gemeinsamer Punkt macht parallele Geraden zur selben Geraden.
Behalte g bei, aber ändere den Stützpunkt der zweiten Geraden:
p: x = + s ·
Beispiel – Schritt für Schritt
g: x = (1; 2; 1) + t · (2; −1; 2)
p: x = (1; 2; 2) + s · (4; −2; 4)
Wie zuvor ist der zweite Richtungsvektor das Doppelte des ersten.
Für P(1 | 2 | 2) verlangt die erste Koordinate t = 0.
Die zweite Koordinate stimmt, die dritte nicht. Es gibt keinen Parameter, der alle drei erfüllt. P liegt nicht auf g.
P liegt nicht auf g. Daher sind die Geraden echt parallel und verschieden. Eine weitere Schnittpunktsuche ist nicht nötig.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Für diesen Wert ist g(0) = (1; 2; 1).
Der gemeinsame Richtungsfaktor allein entscheidet noch nicht zwischen identisch und echt parallel.
Vergleiche g mit der Geraden:
k: x = + s ·
Beispiel – Schritt für Schritt
g: x = (1; 2; 1) + t · (2; −1; 2)
k: x = (3; 0; 3) + s · (0; 1; 0)
Ein Faktor λ für (0; 1; 0) = λ(2; −1; 2) müsste aus der ersten Komponente 0 sein. Dann passt die zweite nicht.
Verwende die unabhängigen Parameter t und s und vergleiche alle drei Koordinaten.
Die erste Gleichung liefert t = 1, die zweite anschließend s = 1.
Auch die dritte Koordinate ist mit demselben Parameterpaar erfüllt.
Hier bezeichnet g(1) beziehungsweise k(1) den Punkt zum Parameter 1. Beide Geraden liefern denselben Punkt. Weil die Richtungen nicht parallel sind, ist dies der einzige Schnittpunkt.
Dass hier t = s = 1 gilt, ist Zufall. Verschiebe bei k den Stützpunkt entlang derselben Geraden auf (3 | −2 | 3), behalte aber die Richtung (0; 1; 0) bei. Die Gerade ändert sich dadurch nicht.
Lösung – Schritt für Schritt
g: x = (1; 2; 1) + t · (2; −1; 2)
k: x = (3; −2; 3) + s · (0; 1; 0)
Der verschobene Stützpunkt von k ist (3 | −2 | 3). Die erste Koordinatengleichung bleibt gleich.
Setze t = 1 ein und addiere 2.
Auf der verschobenen Darstellung von k liefert s = 3 ebenfalls (3 | 1 | 3). Die dritte Koordinate stimmt unverändert.
Der Schnittpunkt bleibt S(3 | 1 | 3), aber er gehört jetzt zu t = 1 und s = 3. Würdest du von Anfang an t = s verlangen, würdest du diesen Schnittpunkt übersehen.
Ändere bei k nur die dritte Koordinate des Stützpunkts:
w: x = + s ·
Beispiel – Schritt für Schritt
g: x = (1; 2; 1) + t · (2; −1; 2)
w: x = (3; 0; 4) + s · (0; 1; 0)
Die Richtungen sind wie bei g und k nicht parallel. Vergleiche daher die drei Koordinaten mit unabhängigen Parametern.
Aus der ersten folgt t = 1; damit ergibt die zweite s = 1.
Die dritte Koordinate stimmt nicht. Das Parameterpaar liefert keinen gemeinsamen Raumpunkt.
Da die Richtungen nicht parallel sind und das vollständige System keine Lösung besitzt, sind g und w windschief.
So hängen Bild und Rechnung zusammen: Die ersten beiden Gleichungen bestimmen die scheinbare Kreuzung in der Draufsicht. Erst die dritte prüft, ob die Punkte auch dieselbe Höhe haben. Weil das hier nicht stimmt und die Richtungen nicht parallel sind, heißen die Geraden windschief.
Löse nicht nur zwei Gleichungen und höre dann auf. Die dritte Gleichung entscheidet in diesem Beispiel, ob tatsächlich ein Schnittpunkt existiert.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Ein Parameterpaar muss jede Koordinate erfüllen.
Eine Kreuzung in einer Projektion wäre kein räumlicher Schnittpunkt.
Beim vollständigen Gleichsetzen zweier gültiger Geraden können drei Arten von Ergebnissen auftreten:
Der letzte Fall wird durch den Richtungsvergleich unterschieden. Keine Lösung allein bedeutet also noch nicht „windschief“. In unseren Beispielen waren die Richtungen bereits zu Beginn geprüft.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Dann sind die Geraden identisch.
Die Zahl gemeinsamer Punkte muss zur Lagebeziehung passen.
Wenn Geraden sich schneiden, verwendest du ihre Richtungsvektoren für den kleineren Schnittwinkel φ:
cos(φ) =
Für g und k gilt d = (2; −1; 2), e = (0; 1; 0).
Beispiel – Schritt für Schritt
d = (2; −1; 2)
e = (0; 1; 0)
Multipliziere die entsprechenden Komponenten und addiere die Produkte.
Beide Richtungsvektoren sind ungleich null; ihre Längen sind positiv.
Der Betrag im Zähler sorgt für den kleineren Schnittwinkel.
Verwende am Taschenrechner DEG für die Ausgabe im Gradmaß und runde erst am Ende.
Die Betragsstriche sorgen dafür, dass der kleinere Winkel zwischen 0° und 90° entsteht. Bei windschiefen Geraden kann man auf dieselbe Weise einen Richtungswinkel berechnen; ein gemeinsamer Schnittpunkt entsteht dadurch nicht.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Für den kleineren Winkel zwischen den Geradenrichtungen nimmst du den Betrag.
Ohne Betrag erhieltest du den gerichteten Vektorwinkel von etwa 109,47°.
Nur eine Komponente vergleichen: Ein Faktor muss bei allen Komponenten passen, bevor du parallele Richtungen behauptest.
Für beide Geraden denselben Parameter erzwingen: Verwende t und s unabhängig voneinander. Sonst übersiehst du mögliche gemeinsame Punkte.
Parallel mit identisch verwechseln: Parallele Richtungsvektoren lassen beide Fälle zu. Eine Punktprobe trennt sie.
Aus einem Bild entscheiden: Die räumliche Lage lässt sich aus einer Projektion allein nicht sicher ablesen. Rechne nach.
Selbst ausprobieren
Mit Tipps lernen oder ohne Hilfe testen – du entscheidest.
Wähle deine Stufe. Pro Runde löst du sechs Aufgaben mit direkter Rückmeldung.
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
Löse die Aufgaben ohne Tipps. Danach bekommst du passende Empfehlungen. Der Check zeigt deinen Lernstand, keine Schulnote.
Mathehelfer
Gib für jede Gerade Stützpunkt und Richtung ein. Der Helfer prüft die Lage exakt, zeigt das gemeinsame Gleichungssystem und bestätigt einen Schnittpunkt auf beiden Geraden.
Eigene Aufgabe lösen →Ein Rücklink führt dich wieder hierher. Dein Übungsstand bleibt in diesem Tab erhalten.
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
Die Geraden sind identisch.
Erklärung wiederholen →Die Geraden sind echt parallel.
Erklärung wiederholen →Die Geraden sind windschief.
Erklärung wiederholen →Derselbe Raumpunkt kann auf jeder Geraden zu einem anderen Parameterwert gehören.
Erklärung wiederholen →Lösung – Schritt für Schritt
g: x = (1; 2; 1) + t · (2; −1; 2)
k: x = (3; 0; 3) + s · (0; 1; 0)
Setze g und k gleich. Die ersten beiden Koordinaten liefern das Parameterpaar.
Mit denselben Werten ist auch die dritte Gleichung erfüllt.
Beide Parameterdarstellungen liefern bei t = 1 beziehungsweise s = 1 denselben Punkt.
Nein. Auch die dritte Gleichung muss mit demselben Parameterpaar erfüllt sein.
Erklärung wiederholen →Dein nächster Schritt
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Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Nein. Windschiefe Geraden liegen nicht gemeinsam in einer Ebene.
Nein. Auch unterschiedliche Vektoren können Vielfache voneinander sein und damit parallele Richtungen beschreiben.
Nein. Es beschreibt senkrechte Richtungen. Ob die Geraden einen gemeinsamen Punkt haben, muss getrennt geprüft werden.
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In allen drei Komponenten passt derselbe Faktor 2. Der Richtungsvektor von h ist das Doppelte des Richtungsvektors von g.