1 · Können zwei Ebenen im Raum windschief sein?
Lösung und Rechenweg ansehen
Nein. Sie sind identisch, echt parallel oder schneiden sich in einer Geraden.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 11–13 · Grundlagen und Wiederholung
Lagebeziehungen von Ebenen: verstehen und üben
Unterscheide identische, echt parallele und sich schneidende Ebenen. Vergleiche Normalenvektoren, berechne eine Schnittgerade und bestimme den kleineren Winkel zwischen zwei Ebenen.
Zuerst die Normalen vergleichen
E: x₁ + x₂ + x₃ = 1
F: x₁ − x₂ + x₃ = 1
Die Normalenvektoren sind keine Vielfachen voneinander. Deshalb schneiden sich diese Ebenen in einer Geraden.
Lernschritt 1
Die drei möglichen Fälle
| Lage | Normalenvektoren | Gemeinsame Punkte |
|---|---|---|
| Identisch | Parallel | Die gesamte Ebene |
| Echt parallel | Parallel | Keine |
| Schneidend | Nicht parallel | Eine Gerade |
Zwei verschiedene Ebenen im dreidimensionalen Raum schneiden sich entweder in einer Geraden oder sind echt parallel. Sie können nicht nur einen einzelnen gemeinsamen Punkt haben. Auch „windschief“ ist kein Lagefall für zwei Ebenen.
In einer Zeichnung siehst du immer nur Ausschnitte. Auch wenn sich die gezeichneten Flächen nicht berühren, können sich die unbegrenzt fortgesetzten Ebenen schneiden.
Lernschritt 2
Die Normalen aus der Koordinatenform ablesen
Schreibe die Ebenen möglichst in Koordinatenform:
E: n · x = d
F: m · x = e
Die Koeffizienten vor x₁, x₂ und x₃ bilden jeweils einen Normalenvektor. Beide Normalenvektoren müssen ungleich null sein. Prüfe nun, ob ein gemeinsamer Faktor λ mit m = λn existiert.
Der Faktor muss in allen drei Komponenten passen. Ist eine Komponente 0, kontrollierst du die entsprechende Gleichung direkt. Teile nicht durch null. Gibt es keinen gemeinsamen Faktor, schneiden sich die Ebenen.
Lernschritt 3
Beispiel: identische Ebenen
Vergleiche die beiden Gleichungen:
E: x₁ + x₂ + x₃ = 1
F: 2x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 2
Der Normalenvektor von F ist das Doppelte von (1; 1; 1). Auch die rechte Seite wurde mit 2 multipliziert. Die vollständigen Gleichungen sind Vielfache voneinander.
Damit beschreiben E und F dieselbe Ebene. Jeder Punkt, der die erste Gleichung erfüllt, erfüllt auch die zweite. Ein anderer Normalenvektor oder eine anders aussehende Gleichung bedeutet also nicht automatisch eine andere Ebene.
Lernschritt 4
Beispiel: echt parallele Ebenen
Ändere nur die rechte Seite der zweiten Gleichung:
E: x₁ + x₂ + x₃ = 1
G: 2x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 4
Die Normalenvektoren sind weiterhin parallel. Teilt man die zweite Gleichung vollständig durch 2, erhält man jedoch x₁ + x₂ + x₃ = 2. Ein Punkt kann nicht gleichzeitig Koordinatensumme 1 und 2 haben.
Die Ebenen sind echt parallel und haben keinen gemeinsamen Punkt. Allgemein gilt bei m = λn: Wenn auch e = λd gilt, sind die Ebenen identisch. Andernfalls sind sie echt parallel.
Vergleiche die rechte Seite mit demselben Faktor wie den Normalenvektor. Unterschiedliche rechte Seiten allein beweisen keine Parallelität verschiedener Ebenen.
Lernschritt 5
Beispiel: eine Schnittgerade bestimmen
Jetzt betrachten wir:
E: x₁ + x₂ + x₃ = 1
H: x₁ − x₂ + x₃ = 1
Die Normalenvektoren (1; 1; 1) und (1; −1; 1) sind nicht parallel. Subtrahiere die zweite Gleichung von der ersten:
2x₂ = 0 → x₂ = 0
Einsetzen ergibt x₁ + x₃ = 1. Wähle x₃ = t frei. Dann ist x₁ = 1 − t. Alle gemeinsamen Punkte lassen sich so schreiben:
g: x = + t ·
Die freie Variable wird zum Geradenparameter. Für t = 0 erhältst du (1; 0; 0), für t = 1 den Punkt (0; 0; 1). Beide liegen auf beiden Ebenen.
Lernschritt 6
Die Schnittgerade vollständig kontrollieren
Setze nicht nur einen einzelnen Punkt ein, sondern die gesamte Parameterform. Für die erste Ebene erhältst du:
(1 − t) + 0 + t = 1
Für die zweite Ebene gilt ebenfalls (1 − t) − 0 + t = 1. Beide Gleichungen stimmen für jedes reelle t. Damit liegt die ganze Gerade in beiden Ebenen.
Eine weitere Kontrolle betrifft den Richtungsvektor v = (−1; 0; 1). Er muss zu beiden Normalenvektoren orthogonal sein:
(1; 1; 1) · (−1; 0; 1) = 0
(1; −1; 1) · (−1; 0; 1) = 0
Diese Richtungsprüfung ersetzt aber keinen passenden Stützpunkt. Erst beides zusammen legt die richtige Schnittgerade fest.
Lernschritt 7
Den kleineren Ebenenwinkel berechnen
Der kleinere Winkel φ zwischen Ebenen ist gleich dem kleineren Winkel zwischen ihren Normalenrichtungen. Er liegt zwischen 0° und 90°:
cos(φ) =
Für E und H ist das Skalarprodukt 1 − 1 + 1 = 1. Beide Normalenvektoren haben die Länge √3:
cos(φ) = → φ ≈ 70,53°
Die Betragsstriche machen das Ergebnis unabhängig von der gewählten Normalenrichtung. Verwende arccos im Gradmodus. Bei orthogonalen Normalenvektoren schneiden sich die Ebenen rechtwinklig. Parallele oder identische Ebenen haben den Richtungswinkel 0°.
Lernschritt 8
Wenn beide Ebenen in Parameterform vorliegen
Du kannst jede Ebene zuerst in Koordinatenform umwandeln: Bestimme einen von null verschiedenen Normalenvektor, der zu beiden Spannvektoren orthogonal ist, und setze den Stützpunkt ein.
Alternativ setzt du beide Parameterformen gleich. Verwende vier unabhängige Parameter, zwei pro Ebene. Aus den drei Koordinaten entsteht ein lineares Gleichungssystem.
Keine Lösung bedeutet echt parallel. Bei schneidenden Ebenen bleibt eine freie Variable und du erhältst die Schnittgerade. Bei identischen Ebenen beschreiben die gemeinsamen Punkte eine ganze Ebene mit zwei freien Variablen. Voraussetzung sind gültige Ebenenparameterformen mit jeweils zwei unabhängigen Spannvektoren.
Lernschritt 9
Dein Entscheidungsweg
- Lies die Normalenvektoren ab oder berechne sie.
- Prüfe, ob sie Vielfache voneinander sind.
- Falls ja: Vergleiche die vollständigen Koordinatengleichungen mit demselben Faktor.
- Falls nein: Löse beide Ebenengleichungen gemeinsam.
- Wähle eine freie Variable als Parameter und schreibe die Schnittgerade auf.
- Kontrolliere die ganze Gerade in beiden Ebenen.
- Berechne einen Winkel nur, wenn die Aufgabe ihn verlangt.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Sind x₁ + x₂ + x₃ = 1 und 2x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 2 identisch?
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Ja. Die zweite vollständige Gleichung ist das Doppelte der ersten.
Erklärung wiederholen →3 · Welche Lage entsteht, wenn rechts in der zweiten Gleichung stattdessen 4 steht?
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Echt parallel. Nach Division durch 2 lautet die zweite Koordinatensumme 2 statt 1.
Erklärung wiederholen →4 · Bestimme die Schnittgerade von x₁ + x₂ + x₃ = 1 und x₁ − x₂ + x₃ = 1.
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Subtraktion liefert x₂ = 0. Mit x₃ = t folgt x₁ = 1 − t, also x = + t · .
Erklärung wiederholen →5 · Warum reicht ein einzelner gemeinsamer Punkt nicht zur Kontrolle der Schnittgeraden?
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Eine falsche Gerade könnte ebenfalls durch diesen Punkt gehen. Auch ihre Richtung muss passen; setze am besten die gesamte Parameterform in beide Ebenen ein.
Erklärung wiederholen →6 · Welchen Winkel bilden Ebenen mit Normalen (1; 0; 0) und (0; 1; 0)?
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90°. Die Normalenvektoren sind orthogonal.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Können zwei Ebenen genau einen gemeinsamen Punkt haben?
Nein. Zwei sich schneidende Ebenen im dreidimensionalen Raum haben eine ganze Gerade gemeinsam.
Reichen parallele Normalenvektoren für „identisch“?
Nein. Du musst auch die rechte Seite der Koordinatengleichung mit demselben Faktor vergleichen.
Brauche ich den Sinus für den Ebenenwinkel?
Mit zwei Normalenvektoren verwendest du den Kosinus. Die Sinusformel gehört zum Winkel zwischen Gerade und Ebene, wenn du Richtungs- und Normalenvektor verwendest.