1 · Welcher Lagefall entsteht bei d(M, g) < r?
Lösung und Rechenweg ansehen
Eine Sekante mit zwei Schnittpunkten auf der Kugeloberfläche.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 11–13 · Grundlagen und Wiederholung
Lagebeziehungen von Kugeln, Geraden und Ebenen: verstehen und üben
Untersuche Schnittpunkte und Berührungen von Kugeloberflächen mit Geraden und Ebenen. Berechne Schnittkreise und Tangentialebenen und ordne auch die Lage zweier Kugeln ein.
Abstand mit Radius vergleichen
d < r, d = r oder d > r?
Der Abstand des Mittelpunkts zur Geraden oder Ebene entscheidet, ob ein Schnitt, eine Berührung oder kein gemeinsamer Punkt vorliegt.
Lernschritt 1
Oberfläche und Körper auseinanderhalten
Wir untersuchen Kugeloberflächen mit positivem Radius r. Ihre Gleichung lautet |x − m|² = r². Eine Ebene kann die Oberfläche in einem Kreis schneiden; den gefüllten Kugelkörper würde sie in einer Kreisscheibe schneiden.
Eine Gerade schneidet die Oberfläche höchstens zweimal. Bei einer Sekante liegt die Strecke zwischen den beiden Schnittpunkten im Kugelkörper, aber nicht auf der Oberfläche.
Lernschritt 2
Gerade und Kugel: drei Fälle
| Abstand d des Mittelpunkts zur Geraden | Lage | Oberflächenpunkte gemeinsam |
|---|---|---|
| d < r | Sekante | Zwei |
| d = r | Tangente | Einer |
| d > r | Passante | Keine |
Wenn du nur die Lage brauchst, genügt der Vergleich des Punkt–Gerade-Abstands mit r. Sind die Schnittpunkte gefragt, setze die Geradenkoordinaten in die Kugelgleichung ein.
Für g: x = a + tv entsteht eine quadratische Gleichung in t. Zwei verschiedene reelle Lösungen bedeuten Sekante, eine doppelte Lösung bedeutet Tangente und keine reelle Lösung bedeutet Passante. Der Richtungsvektor muss ungleich null sein.
Lernschritt 3
Eine Sekante durchrechnen
Gegeben sind die Kugel K: x₁² + x₂² + x₃² = 25 mit M(0 | 0 | 0), r = 5 und die Gerade:
g: x = + t ·
Setze x₁ = t, x₂ = 3 und x₃ = 0 in K ein:
t² + 9 = 25 → t² = 16 → t = −4 oder t = 4
Die beiden Schnittpunkte lauten S₁(−4 | 3 | 0) und S₂(4 | 3 | 0). Beide erfüllen die Kugelgleichung: 16 + 9 = 25.
Die Gerade hat Abstand 3 vom Mittelpunkt, also weniger als den Radius 5. Das passt zur Lage als Sekante. Der Mittelpunkt der Schnittsehne ist der Lotfuß L(0 | 3 | 0).
Lernschritt 4
Tangente und Passante erkennen
Ersetze den Stützpunkt der Geraden durch (0; 5; 0). Dann gilt t² + 25 = 25, also t = 0 als doppelte Lösung. Die Gerade berührt die Kugel in T(0 | 5 | 0).
Mit dem Stützpunkt (0; 6; 0) entsteht t² + 36 = 25, also t² = −11. Es gibt keine reelle Lösung: Die Gerade ist eine Passante.
Die Abstände zum Mittelpunkt sind 5 beziehungsweise 6. Die Tangente steht im Berührpunkt senkrecht zum Radiusvektor. Orthogonalität allein reicht jedoch nicht: Der Berührpunkt muss außerdem auf der Kugel und auf der Geraden liegen.
Lernschritt 5
Ebene und Kugel: Kreis, Berührung oder kein Schnitt
Berechne den Abstand d des Kugelmittelpunkts zur Ebene. Es gelten ebenfalls drei Fälle:
- d < r: Die Oberfläche wird in einem Kreis geschnitten.
- d = r: Die Ebene berührt die Kugel in einem Punkt.
- d > r: Es gibt keinen gemeinsamen Punkt.
Der Mittelpunkt L des Schnittkreises ist der Lotfuß des Kugelmittelpunkts auf der Ebene. Für den Schnittkreisradius ρ gilt nach Pythagoras:
ρ = √(r² − d²)
Bei d = 0 verläuft die Ebene durch den Kugelmittelpunkt. Der Schnittkreis hat dann denselben Radius wie die Kugel und heißt Großkreis.
Lernschritt 6
Einen Schnittkreis berechnen
Schneide K: x₁² + x₂² + x₃² = 25 mit E: x₃ = 3. Der Mittelpunktabstand ist d = 3 und der Lotfuß lautet L(0 | 0 | 3).
ρ = √(25 − 9) = 4
Der Schnittkreis kann durch zwei gleichzeitig geltende Gleichungen beschrieben werden:
x₁² + x₂² = 16 und x₃ = 3
Die erste Gleichung allein würde im dreidimensionalen Raum einen Zylindermantel beschreiben. Erst die zusätzliche Ebenenbedingung legt den Kreis fest.
Bei E: x₃ = 5 entsteht nur der Berührpunkt (0 | 0 | 5). Bei x₃ = 6 gibt es keinen Schnitt. Bei einer schiefen Ebene bleibt die Methode gleich: Punkt–Ebene-Abstand und Lotfuß berechnen, dann den Kreisradius bestimmen.
Lernschritt 7
Die Tangentialebene in einem Oberflächenpunkt
Sei T ein Punkt auf der Kugel mit Mittelpunkt M. Der Radiusvektor t − m ist ein Normalenvektor der Tangentialebene in T:
E_T: (t − m) · (x − t) = 0
Für unsere Kugel und T(3 | 4 | 0) ist der Radiusvektor (3; 4; 0). Deshalb:
3(x₁ − 3) + 4(x₂ − 4) = 0
E_T: 3x₁ + 4x₂ = 25
Kontrolle: T liegt auf K, denn 9 + 16 = 25. Der Abstand des Mittelpunkts zur Ebene ist 25 geteilt durch 5, also 5. Damit ist es tatsächlich eine Tangentialebene.
Lernschritt 8
Auch zwei Kugeln lassen sich über Abstände vergleichen
Für zwei Kugeloberflächen mit Radien r₁ und r₂ berechnest du den Abstand D ihrer Mittelpunkte. Für D > 0 gilt:
- D > r₁ + r₂: außen getrennt.
- D = r₁ + r₂: äußere Berührung in einem Punkt.
- |r₁ − r₂| < D < r₁ + r₂: Schnitt in einem Kreis.
- D = |r₁ − r₂|: innere Berührung in einem Punkt.
- D < |r₁ − r₂|: eine Kugel liegt innerhalb der anderen, ohne gemeinsame Oberflächenpunkte.
Bei D = 0 sind die Kugeln konzentrisch. Gleiche Radien bedeuten identische Oberflächen, unterschiedliche Radien bedeuten keinen gemeinsamen Oberflächenpunkt. Dieser Sonderfall ist keine Berührung.
Beispiel: r₁ = 5, r₂ = 2. Bei D = 7 berühren sie sich außen, bei D = 3 innen und bei D = 4 schneiden sie sich in einem Kreis.
Lernschritt 9
Dein Rechenplan
- Lies Kugelmittelpunkt und Radius ab.
- Für Gerade oder Ebene: Berechne den Abstand vom Mittelpunkt und vergleiche mit r.
- Für Geradenschnittpunkte: Setze die Gerade in die Kugelgleichung ein und löse nach dem Parameter.
- Für einen Schnittkreis: Bestimme Lotfuß und Kreisradius.
- Für eine Tangentialebene: Prüfe den Berührpunkt und verwende seinen Radiusvektor als Normalenvektor.
- Kontrolliere die Ergebnisse in den Ausgangsgleichungen.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Bestimme die Schnittpunkte von x = (0; 3; 0) + t(1; 0; 0) mit x₁² + x₂² + x₃² = 25.
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t = ±4 liefert (−4 | 3 | 0) und (4 | 3 | 0).
Erklärung wiederholen →3 · Was bedeutet eine doppelte reelle Lösung beim Einsetzen der Geraden?
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Die Gerade ist eine Tangente und hat einen Berührpunkt.
Erklärung wiederholen →4 · Welchen Radius hat der Schnittkreis bei Kugelradius 5 und Ebenenabstand 3?
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√(25 − 9) = 4.
Erklärung wiederholen →5 · Nenne die Tangentialebene der Ursprungskugel mit Radius 5 in T(3 | 4 | 0).
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3x₁ + 4x₂ = 25.
Erklärung wiederholen →6 · Zwei Kugeln haben denselben Mittelpunkt und denselben Radius. Berühren sie sich nur?
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Nein. Ihre Oberflächen sind identisch.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Ist der Schnitt von Kugel und Ebene immer ein Kreis?
Nein. Bei Tangentiallage entsteht nur ein Punkt, bei zu großem Mittelpunktabstand kein Schnitt. Ein echter Schnittkreis entsteht nur bei d < r.
Wie finde ich den Schnittkreismittelpunkt?
Als Lotfuß des Kugelmittelpunkts auf der Ebene.
Warum hat die Tangentialebene den Radius als Normalenrichtung?
Die Tangentialebene steht im Berührpunkt senkrecht zum Radiusvektor.