Lagebeziehungen von Kugeln, Geraden und Ebenen

02 · Verstehen

Oberfläche und Körper auseinanderhalten

Wir untersuchen Kugeloberflächen mit positivem Radius r. Ihre Gleichung lautet |x − m|² = r². Eine Ebene kann die Oberfläche in einem Kreis schneiden; den gefüllten Kugelkörper würde sie in einer Kreisscheibe schneiden.

Eine Gerade schneidet die Oberfläche höchstens zweimal. Bei einer Sekante liegt die Strecke zwischen den beiden Schnittpunkten im Kugelkörper, aber nicht auf der Oberfläche.

Gerade und Kugel: drei Fälle

Die Bilder zeigen jeweils den Schnitt durch den Kugelmittelpunkt und die Gerade. Die Kugeloberfläche erscheint darin als Kreis. Alle drei Bilder verwenden denselben Maßstab und passen zu den folgenden Beispielen.

Wenn du nur die Lage brauchst, genügt der Vergleich des Punkt–Gerade-Abstands mit r. Sind die Schnittpunkte gefragt, setze die Geradenkoordinaten in die Kugelgleichung ein.

Für g: x = a + tv entsteht eine quadratische Gleichung in t. Zwei verschiedene reelle Lösungen bedeuten Sekante, eine doppelte Lösung bedeutet Tangente und keine reelle Lösung bedeutet Passante. Der Richtungsvektor muss ungleich null sein.

Eine Sekante durchrechnen

Gegeben sind die Kugel K: x₁² + x₂² + x₃² = 25 mit M(0 | 0 | 0), r = 5 und die Gerade:

g: x = 030 + t · 100

Setze x₁ = t, x₂ = 3 und x₃ = 0 in K ein:

Die Gerade hat Abstand 3 vom Mittelpunkt, also weniger als den Radius 5. Das passt zur Lage als Sekante. Der Mittelpunkt der Schnittsehne ist der Lotfuß L(0 | 3 | 0).

Tangente und Passante erkennen

Ersetze den Stützpunkt der Geraden durch (0; 5; 0); der Richtungsvektor bleibt (1; 0; 0).

Die Abstände zum Mittelpunkt sind 5 beziehungsweise 6. Die Tangente steht im Berührpunkt senkrecht zum Radiusvektor. Orthogonalität allein reicht jedoch nicht: Der Berührpunkt muss außerdem auf der Kugel und auf der Geraden liegen.

Ebene und Kugel: Kreis, Berührung oder kein Schnitt

Berechne den Abstand d des Kugelmittelpunkts zur Ebene. Es gelten ebenfalls drei Fälle:

• d < r: Die Oberfläche wird in einem Kreis geschnitten.
• d = r: Die Ebene berührt die Kugel in einem Punkt.
• d > r: Es gibt keinen gemeinsamen Punkt.

Der Mittelpunkt L des Schnittkreises ist der Lotfuß des Kugelmittelpunkts auf der Ebene. Für den Schnittkreisradius ρ gilt nach Pythagoras:

ρ = √(r² − d²)

Bei d = 0 verläuft die Ebene durch den Kugelmittelpunkt. Der Schnittkreis hat dann denselben Radius wie die Kugel und heißt Großkreis.

Einen Schnittkreis berechnen

Schneide K: x₁² + x₂² + x₃² = 25 mit E: x₃ = 3. Der Mittelpunktabstand ist d = 3 und der Lotfuß lautet L(0 | 0 | 3).

Der Schnittkreis kann durch zwei gleichzeitig geltende Gleichungen beschrieben werden:

Die erste Gleichung allein würde im dreidimensionalen Raum einen Zylindermantel beschreiben. Erst die zusätzliche Ebenenbedingung legt den Kreis fest.

Bei einer schiefen Ebene bleibt die Methode gleich: Punkt–Ebene-Abstand und Lotfuß berechnen, dann den Kreisradius bestimmen.

Die Tangentialebene in einem Oberflächenpunkt

Sei T ein Punkt auf der Kugel mit Mittelpunkt M. Der Radiusvektor t − m ist ein Normalenvektor der Tangentialebene in T:

E_T: (t − m) · (x − t) = 0

Auch zwei Kugeln lassen sich über Abstände vergleichen

Für zwei Kugeloberflächen mit Radien r₁ und r₂ berechnest du den Abstand D ihrer Mittelpunkte. Für D > 0 gilt:

• D > r₁ + r₂: außen getrennt.
• D = r₁ + r₂: äußere Berührung in einem Punkt.
• |r₁ − r₂| < D < r₁ + r₂: Schnitt in einem Kreis.
• D = |r₁ − r₂|: innere Berührung in einem Punkt.
• D < |r₁ − r₂|: eine Kugel liegt innerhalb der anderen, ohne gemeinsame Oberflächenpunkte.

Bei D = 0 sind die Kugeln konzentrisch. Gleiche Radien bedeuten identische Oberflächen, unterschiedliche Radien bedeuten keinen gemeinsamen Oberflächenpunkt. Dieser Sonderfall ist keine Berührung.

Beispiel mit r₁ = 5 und r₂ = 2:

Dein Rechenplan

1. Lies Kugelmittelpunkt und Radius ab.
2. Für Gerade oder Ebene: Berechne den Abstand vom Mittelpunkt und vergleiche mit r.
3. Für Geradenschnittpunkte: Setze die Gerade in die Kugelgleichung ein und löse nach dem Parameter.
4. Für einen Schnittkreis: Bestimme Lotfuß und Kreisradius.
5. Für eine Tangentialebene: Prüfe den Berührpunkt und verwende seinen Radiusvektor als Normalenvektor.
6. Kontrolliere die Ergebnisse in den Ausgangsgleichungen.