Mathe · Klasse 11–13 · etwa 45–60 Minuten
Du stellst vollständige Kugelgleichungen auf, bestimmst Mittelpunkt und Radius und prüfst Punkte sowie Sonderfälle.
Abstandsformel, quadratische Ergänzung, Brüche und Wurzeln.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Drei kurze Aufgaben zeigen dir, wo du einsteigen kannst. Löse sie zunächst ohne Hilfe.
Koordinaten und mehrere Werte mit Semikolon trennen, z. B. 2; −1; 3. Brüche mit /, Wurzeln als sqrt(…), z. B. sqrt(7), Quadrate als ^2 eingeben. Kugelgleichungen vollständig mit = schreiben; x, y, z sowie x1, x2, x3 sind möglich.
02 · Verstehen
Alle Oberflächenpunkte gleich weit vom Mittelpunkt
(x₁ − 1)² + (x₂ + 2)² + (x₃ − 3)² = 25
Diese Kugeloberfläche hat Mittelpunkt M(1 | −2 | 3) und Radius 5.
Eine Kugeloberfläche besteht aus allen Punkten, die vom Mittelpunkt M denselben Abstand r haben. Für einen positiven Radius entsteht eine räumliche Oberfläche. Im Folgenden meinen wir mit der Kugelgleichung diese Oberfläche.
Der gefüllte Kugelkörper enthält zusätzlich die inneren Punkte. Seine Beschreibung verwendet eine Ungleichung: Der Abstand zu M ist kleiner oder gleich r. Diese Unterscheidung ist besonders bei Schnittaufgaben wichtig.
Hat M die Koordinaten m₁, m₂, m₃, gilt:
(x₁ − m₁)² + (x₂ − m₂)² + (x₃ − m₃)² = r²
Das ist die quadrierte Abstandsformel zwischen einem Oberflächenpunkt X und M. In Vektorschreibweise lautet sie |x − m|² = r².
Beispiel: M(1 | −2 | 3), r = 5. Setze die Koordinaten ein und quadriere den Radius:
(x₁ − 1)² + (x₂ + 2)² + (x₃ − 3)² = 25
Das Pluszeichen in der zweiten Klammer entsteht durch x₂ − (−2). Der Mittelpunkt hat dort die Koordinate −2, nicht +2.
Beispiel · Schritt für Schritt
(x₁ + 4)² + (x₂ − 1)² + x₃² = 9
Beispiel: (x₁ + 4)² + (x₂ − 1)² + x₃² = 9.
Die Koordinaten stehen in der Form xᵢ − mᵢ. Ziehe für den Radius die nichtnegative Wurzel aus 9.
Rechts steht das Radiusquadrat. Bei rechter Seite 12 ist der Radius √12 = 2√3, nicht 12. Ziehe die nicht negative Wurzel.
Die Vorzeichen in den Klammern sind gegenüber den Mittelpunktkoordinaten umgekehrt. Rechts liest du zunächst r² ab und berechnest daraus r.
Für unsere Kugel mit M(1 | −2 | 3) und r = 5 berechnest du die Summe der quadrierten Koordinatendifferenzen.
Beispiel · Schritt für Schritt
M(1 | −2 | 3); r = 5
P(4 | 2 | 3)
Ziehe die Mittelpunktkoordinaten von P(4 | 2 | 3) ab.
Die Quadratsumme stimmt mit 5² überein. P liegt auf der Kugeloberfläche.
Beispiel · Schritt für Schritt
M(1 | −2 | 3); r = 5
Q(1 | −2 | 4)
Für Q(1 | −2 | 4) unterscheidet sich nur die dritte Koordinate vom Mittelpunkt.
Q liegt im Inneren des Kugelkörpers und nicht auf seiner Oberfläche.
Beispiel · Schritt für Schritt
M(1 | −2 | 3); r = 5
R(7 | −2 | 3)
Für R(7 | −2 | 3) beträgt die erste Koordinatendifferenz 6.
R liegt außerhalb der Kugel.
Vergleiche entweder Abstand mit Radius oder Abstandsquadrat mit Radiusquadrat. Für die Lageentscheidung ist das Wurzelziehen nicht nötig.
Beispiel · Schritt für Schritt
M(1 | −2 | 3)
Oberflächenpunkt: P(4 | 2 | 3)
Gegeben sind M(1 | −2 | 3) und P(4 | 2 | 3) auf der Oberfläche. Berechne den Radius als Abstand:
Der Abstand zwischen Mittelpunkt und gegebenem Oberflächenpunkt ist der Radius.
Wähle die positive Wurzel. M und P sind verschieden.
Setze den Mittelpunkt und das Radiusquadrat in die Mittelpunktform ein.
Danach setzt du M und r in die Mittelpunktform ein. Ein einzelner Oberflächenpunkt ohne weitere Angaben legt dagegen keine eindeutige Kugel fest.
Beispiel · Schritt für Schritt
Endpunkte des Durchmessers:
A(−1 | 2 | 0)
B(5 | 2 | 0)
Ein anderer häufiger Fall: A(−1 | 2 | 0) und B(5 | 2 | 0) sind Endpunkte eines Durchmessers.
Bilde für jede Koordinate den Mittelwert. Damit ist M(2 | 2 | 0).
Da A und B ausdrücklich Durchmesserendpunkte sind, beträgt der Radius die Hälfte ihres Abstands.
Setze M(2 | 2 | 0) und r² = 9 ein.
Das Halbieren des Punktabstands gilt hier, weil ausdrücklich ein Durchmesser gegeben ist. Zwei beliebige Oberflächenpunkte reichen dafür nicht.
Gegeben sei die ausmultiplizierte Gleichung:
x₁² + x₂² + x₃² − 2x₁ + 4x₂ − 6x₃ − 11 = 0
Beispiel · Schritt für Schritt
x₁² + x₂² + x₃²
− 2x₁ + 4x₂ − 6x₃ − 11 = 0
Halbiere −2 und quadriere die Hälfte: (−1)² = 1. Gleiche den Zusatz durch −1 aus.
Die Hälfte von 4 ist 2. Ergänze 4 und ziehe 4 wieder ab.
Die Hälfte von −6 ist −3. Ergänze 9 und gleiche mit −9 aus.
Setze die drei Ergänzungen in die Ausgangsgleichung ein. Die ursprüngliche −11 bleibt ebenfalls erhalten.
Addiere 25 auf beiden Seiten und lies Mittelpunkt sowie Radius ab.
Jetzt sind Mittelpunkt und Radius erkennbar. Kontrolliere durch erneutes Ausmultiplizieren, ob du die Ausgangsgleichung zurückerhältst.
Für die normalisierte Form x₁² + x₂² + x₃² + ax₁ + bx₂ + cx₃ + d = 0 gilt:
M(− | − | −)
r² = − d
Diese Abkürzung folgt direkt aus der quadratischen Ergänzung. Vor den drei quadratischen Termen muss jeweils 1 stehen. Ein gemeinsamer anderer Faktor lässt sich durch Division der gesamten Gleichung entfernen.
Unterschiedliche Koeffizienten vor den Quadraten oder gemischte Terme wie x₁x₂ passen nicht unmittelbar zu dieser Kugelform. Wende die Abkürzung darauf nicht ungeprüft an.
Nach quadratischer Ergänzung ist die linke Seite eine Summe von Quadraten. Sie kann nicht negativ sein.
Beispiel: x₁² + x₂² + x₃² + 1 = 0 hat keine reelle Lösung. Es gibt keinen reellen Radius √(−1).
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Rechne und begründe zuerst auf Papier. Gib vollständige Punkte, Gleichungen oder die gefragten exakten Werte ein. Prüfe dein Ergebnis in den Ausgangsbedingungen.
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Dein Wissen anwenden
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
Lösung · Schritt für Schritt
(x₁ + 4)² + (x₂ − 1)² + x₃² = 9
Die Klammern haben die Form xᵢ − mᵢ. Der Term x₃² enthält die Verschiebung 0.
Rechts steht r², deshalb ziehst du die nichtnegative Wurzel.
5. Rechts steht das Radiusquadrat.
Erklärung wiederholen →Lösung · Schritt für Schritt
M(1 | −2 | 3); r = 5
P(4 | 2 | 3)
Ziehe (1; −2; 3) von (4; 2; 3) ab.
Ja: Das Abstandsquadrat entspricht r². Der Punkt liegt auf der Oberfläche.
Lösung · Schritt für Schritt
x₂² + 4x₂
Halbiere 4 und quadriere das Ergebnis 2. Ergänze deshalb +4 und −4.
Die ersten drei Terme bilden das Quadrat (x₂ + 2)².
Lösung · Schritt für Schritt
Endpunkte des Durchmessers:
A(−1 | 2 | 0)
B(5 | 2 | 0)
Bilde die Mittelwerte der Koordinaten der Durchmesserendpunkte.
Die Endpunkte unterscheiden sich nur in der ersten Koordinate um 6.
Setze den Mittelpunkt und r² = 9 ein.
Es gibt keine reellen Punkte, die die Gleichung erfüllen.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Dranbleiben
Wiederhole die Erklärung zu deinem Fehler. Rechne danach eine ähnliche Aufgabe ohne geöffneten Tipp oder Rechenweg.
Gezielt weiterüben →Wiederhole in zwei bis drei Tagen fünf Aufgaben ohne Hilfe. Danach kannst du das nächste Thema angehen.
Kugeln mit Geraden und Ebenen schneiden →Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Mit dem Gleichheitszeichen beschreibt sie die Oberfläche. Für den Kugelkörper verwendest du kleiner oder gleich r².
Weil die Form x₂ − m₂ lautet: x₂ − (−2) = x₂ + 2.
Ja. Ihr Abstand legt den Radius fest. Für eine Kugel mit positivem Radius müssen die beiden Punkte verschieden sein.
Eine fehlende Verschiebung bedeutet Mittelpunktkoordinate 0.