Kugelgleichungen: verstehen und üben

Lernschritt 1

Was die Kugelgleichung beschreibt

Eine Kugeloberfläche besteht aus allen Punkten, die vom Mittelpunkt M denselben Abstand r haben. Für einen positiven Radius entsteht eine räumliche Oberfläche. Im Folgenden meinen wir mit der Kugelgleichung diese Oberfläche.

Der gefüllte Kugelkörper enthält zusätzlich die inneren Punkte. Seine Beschreibung verwendet eine Ungleichung: Der Abstand zu M ist kleiner oder gleich r. Diese Unterscheidung ist besonders bei Schnittaufgaben wichtig.

Lernschritt 2

Die Mittelpunktform verstehen

Hat M die Koordinaten m₁, m₂, m₃, gilt:

(x₁ − m₁)² + (x₂ − m₂)² + (x₃ − m₃)² = r²

Das ist die quadrierte Abstandsformel zwischen einem Oberflächenpunkt X und M. In Vektorschreibweise lautet sie |x − m|² = r².

Beispiel: M(1 | −2 | 3), r = 5. Setze die Koordinaten ein und quadriere den Radius:

(x₁ − 1)² + (x₂ + 2)² + (x₃ − 3)² = 25

Das Pluszeichen in der zweiten Klammer entsteht durch x₂ − (−2). Der Mittelpunkt hat dort die Koordinate −2, nicht +2.

Lernschritt 3

Mittelpunkt und Radius richtig ablesen

Bei (x₁ + 4)² + (x₂ − 1)² + x₃² = 9 ist M(−4 | 1 | 0) und r = 3. Eine fehlende Verschiebung bedeutet Mittelpunktkoordinate 0.

Rechts steht das Radiusquadrat. Bei rechter Seite 12 ist der Radius √12 = 2√3, nicht 12. Ziehe die nicht negative Wurzel.

Lernschritt 4

Liegt ein Punkt innen, außen oder auf der Oberfläche?

Für unsere Kugel mit M(1 | −2 | 3) und r = 5 berechnest du die Summe der quadrierten Koordinatendifferenzen.

P(4 | 2 | 3): Die Differenzen sind (3; 4; 0). Die Summe 9 + 16 = 25 stimmt mit r² überein. P liegt auf der Kugeloberfläche.

Q(1 | −2 | 4): Die Summe ist 1. Q liegt im Inneren.

R(7 | −2 | 3): Die Summe ist 36. R liegt außerhalb.

Vergleiche entweder Abstand mit Radius oder Abstandsquadrat mit Radiusquadrat. Für die Lageentscheidung ist das Wurzelziehen nicht nötig.

Lernschritt 5

Mittelpunkt und Oberflächenpunkt gegeben

Gegeben sind M(1 | −2 | 3) und P(4 | 2 | 3) auf der Oberfläche. Berechne den Radius als Abstand:

r = √((4 − 1)² + (2 + 2)² + (3 − 3)²) = 5

Danach setzt du M und r in die Mittelpunktform ein. Ein einzelner Oberflächenpunkt ohne weitere Angaben legt dagegen keine eindeutige Kugel fest.

Ein anderer häufiger Fall sind zwei Endpunkte eines Durchmessers. Für A(−1 | 2 | 0) und B(5 | 2 | 0) ist der Mittelpunkt M(2 | 2 | 0). Der Durchmesser beträgt 6, also r = 3.

(x₁ − 2)² + (x₂ − 2)² + x₃² = 9

Das Halbieren des Punktabstands gilt hier, weil ausdrücklich ein Durchmesser gegeben ist. Zwei beliebige Oberflächenpunkte reichen dafür nicht.

Lernschritt 6

Quadratische Ergänzung Schritt für Schritt

Gegeben sei die ausmultiplizierte Gleichung:

x₁² + x₂² + x₃² − 2x₁ + 4x₂ − 6x₃ − 11 = 0

Gruppiere nach Koordinaten und ergänze jedes Quadrat:

x₁² − 2x₁ = (x₁ − 1)² − 1

x₂² + 4x₂ = (x₂ + 2)² − 4

x₃² − 6x₃ = (x₃ − 3)² − 9

Setze alle drei Ergebnisse in die Ausgangsgleichung ein. Die Konstanten ergeben −1 − 4 − 9 − 11 = −25. Damit:

(x₁ − 1)² + (x₂ + 2)² + (x₃ − 3)² = 25

Jetzt sind Mittelpunkt und Radius erkennbar. Kontrolliere durch erneutes Ausmultiplizieren, ob du die Ausgangsgleichung zurückerhältst.

Lernschritt 7

Eine allgemeine Abkürzung

Für die normalisierte Form x₁² + x₂² + x₃² + ax₁ + bx₂ + cx₃ + d = 0 gilt:

M(−a2 | −b2 | −c2)

r² = a² + b² + c²4 − d

Diese Abkürzung folgt direkt aus der quadratischen Ergänzung. Vor den drei quadratischen Termen muss jeweils 1 stehen. Ein gemeinsamer anderer Faktor lässt sich durch Division der gesamten Gleichung entfernen.

Unterschiedliche Koeffizienten vor den Quadraten oder gemischte Terme wie x₁x₂ passen nicht unmittelbar zu dieser Kugelform. Wende die Abkürzung darauf nicht ungeprüft an.

Lernschritt 8

Wenn rechts 0 oder eine negative Zahl entsteht

Nach quadratischer Ergänzung ist die linke Seite eine Summe von Quadraten. Sie kann nicht negativ sein.

• Rechte Seite positiv: Kugeloberfläche mit positivem Radius.
• Rechte Seite 0: Nur der Mittelpunkt erfüllt die Gleichung; ein entarteter Fall mit Radius 0.
• Rechte Seite negativ: Keine reellen Punkte erfüllen die Gleichung.

Beispiel: x₁² + x₂² + x₃² + 1 = 0 hat keine reelle Lösung. Es gibt keinen reellen Radius √(−1).

Lernschritt 9

Dein Rechenplan

1. Prüfe, ob die Gleichung bereits in Mittelpunktform steht.
2. Falls nötig, normiere die quadratischen Koeffizienten und ergänze quadratisch.
3. Lies den Mittelpunkt mit den richtigen Vorzeichen ab.
4. Prüfe das Radiusquadrat und ziehe gegebenenfalls die Wurzel.
5. Bei Punkten vergleiche den quadrierten Abstand mit r².
6. Kontrolliere Umformungen durch Ausmultiplizieren.

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