1 · 120 von 200 Personen stimmen zu. Wie groß ist h?
Lösung und Rechenweg ansehen
h = = 0,60 = 60 %.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 11–13 · Grundlagen und Wiederholung
Konfidenzintervalle: verstehen und üben
Schätze einen unbekannten Anteil aus einer Stichprobe und beschreibe die Unsicherheit. Verstehe das Konfidenzniveau, rechne ein Beispiel durch und erkenne die Grenzen der verwendeten Näherung.
Eine Schätzung braucht einen Bereich
60 % ± 4,8 Prozentpunkte
240 von 400 Personen stimmen zu. Der beobachtete Anteil ist 60 %. Ein Konfidenzintervall ergänzt einen nach einer festgelegten Methode berechneten Unsicherheitsbereich.
Lernschritt 1
Stichprobenanteil und unbekannten Anteil trennen
Du möchtest wissen, welcher Anteil p einer großen Grundgesamtheit einem Vorschlag zustimmt. Alle Personen zu befragen wäre aufwendig. Deshalb ziehst du eine Zufallsstichprobe von n Personen und zählst x Zustimmungen.
Der beobachtete relative Anteil h, auch p mit Dach genannt, ist eine Punktschätzung:
h =
Bei x = 240 und n = 400 ergibt sich h = 0,60. Der wahre Anteil p bleibt unbekannt. Eine neue Stichprobe würde im Allgemeinen einen etwas anderen Anteil liefern. Das Konfidenzintervall berücksichtigt diese zufällige Schwankung.
Auf dieser Seite geht es um Konfidenzintervalle für einen Anteil. Intervalle für Mittelwerte benötigen andere Formeln und Voraussetzungen.
Lernschritt 2
Was bedeutet ein 95-%-Konfidenzniveau?
Denke dir sehr viele Wiederholungen: Jedes Mal wird nach demselben Plan eine neue Stichprobe gezogen und daraus mit derselben Methode ein Intervall berechnet. Ein Verfahren mit 95 % Überdeckungswahrscheinlichkeit liefert langfristig in 95 % dieser Wiederholungen ein Intervall, das den festen unbekannten Anteil p enthält.
Bei Näherungsverfahren gilt diese Überdeckung nur näherungsweise unter geeigneten Bedingungen. Es ist keine Garantie, dass von genau 100 Intervallen exakt 95 treffen.
Nach der Berechnung ist das konkrete Intervall fest. Es enthält p entweder oder nicht. Die frequentistische Aussage lautet deshalb nicht: „p ist mit 95 % Wahrscheinlichkeit in genau diesem bereits berechneten Intervall.“ Die 95 % beziehen sich auf die Zuverlässigkeit des Verfahrens bei wiederholten Stichproben.
Lernschritt 3
Welches Modell verwenden wir?
Wir verwenden als leicht nachrechenbaren Einstieg die Normalapproximation mit geschätztem Standardfehler, auch Wald-Intervall genannt. Sie passt nur näherungsweise und ist keine universelle Standardlösung für jede Stichprobe.
- Die Daten stammen aus einer geeigneten Zufallsstichprobe.
- Die Beobachtungen werden als unabhängig mit demselben Anteil p modelliert.
- Die Stichprobe ist groß, und h liegt nicht nahe 0 oder 1.
Bei Ziehen ohne Zurücklegen aus einer endlichen Population sind die Beobachtungen nicht exakt unabhängig. Ist die Stichprobe ein erheblicher Teil der Population, wird eine angepasste Berechnung benötigt.
Als grobe Kontrolle werden häufig mindestens zehn beobachtete Zustimmungen und zehn Nichtzustimmungen verwendet. Das ist eine Faustregel und garantiert keine genaue Überdeckung. Bei 240 Zustimmungen und 160 Nichtzustimmungen liegt unser Beispiel weit von den Randfällen entfernt.
Lernschritt 4
Die Näherungsformel lesen
Für ein näherungsweises zweiseitiges 95-%-Intervall verwenden wir den Faktor z ≈ 1,96 aus der Standardnormalverteilung. Zuerst berechnen wir den geschätzten Standardfehler SE:
SE = √()
Danach folgt die Fehlerspanne m und daraus die untere und obere Grenze:
m = 1,96 · SE
Intervall: [h − m; h + m]
Die eckigen Klammern schließen beide Grenzen ein. h ist ein Anteil zwischen 0 und 1, kein Prozentwert zwischen 0 und 100. Für 60 % setzt du daher 0,60 ein.
Lernschritt 5
Beispiel: 240 Zustimmungen unter 400 Personen
Schritt 1 – Anteil: h = = 0,60.
Schritt 2 – Standardfehler:
SE = √() ≈ 0,02449
Schritt 3 – Fehlerspanne: m ≈ 1,96 · 0,02449 ≈ 0,04801.
Schritt 4 – Grenzen:
[0,60 − 0,04801; 0,60 + 0,04801]
≈ [0,552; 0,648]
Der beobachtete Anteil beträgt 60 %. Das mit dieser Methode berechnete näherungsweise 95-%-Konfidenzintervall reicht von 55,2 % bis 64,8 %. Die Fehlerspanne beträgt ungefähr 4,8 Prozentpunkte, nicht 4,8 % des beobachteten Anteils.
Lernschritt 6
Was macht das Intervall enger oder breiter?
Mehr Beobachtungen: Bei gleichem beobachteten Anteil und gleichem Konfidenzniveau sinkt die Fehlerspanne mit der Wurzel des Stichprobenumfangs. Eine viermal so große Stichprobe halbiert daher die Fehlerspanne dieser Näherung.
Bei n = 1 600 und ebenfalls h = 0,60 wären es ungefähr ±2,4 Prozentpunkte statt ±4,8. Das Intervall wäre näherungsweise [57,6 %; 62,4 %].
Höheres Konfidenzniveau: Ein zuverlässigeres Verfahren braucht bei gleichen Daten einen breiteren Bereich. Für ein zweiseitiges Normalapproximation-Intervall gelten etwa folgende Faktoren:
| Konfidenzniveau | z-Faktor |
|---|---|
| 90 % | 1,645 |
| 95 % | 1,960 |
| 99 % | 2,576 |
Lage des Anteils: Das Produkt h · (1 − h) ist bei h = 0,5 am größten. Bei gleichem n und Niveau hat die Formel dort die größte Fehlerspanne. Nahe 0 oder 1 wird die Formel zwar rechnerisch enger, dort aber auch besonders unzuverlässig.
Lernschritt 7
Wie viele Personen werden ungefähr benötigt?
Für eine grobe Planung eines 95-%-Intervalls mit höchstens m Fehlerspanne kann konservativ h · (1 − h) durch seinen größten Wert 0,25 ersetzt werden:
n ≥
Für m = 0,03, also drei Prozentpunkte, folgt:
n ≥ ≈ 1 067,11
Aufrunden ergibt mindestens 1 068 Beobachtungen in dieser Näherungsplanung. Das berücksichtigt nur die zufällige Stichprobenunsicherheit im angenommenen Modell. Auswahlverzerrungen, fehlende Antworten oder ein komplexer Stichprobenplan werden damit nicht behoben.
Lernschritt 8
Typische Fehlinterpretationen vermeiden
Ein Konfidenzintervall für p sagt nicht, dass 95 % der befragten Personen „im Intervall“ liegen. Eine einzelne Person stimmt zu oder nicht. Geschätzt wird ein Anteil in der Grundgesamtheit.
Auch eine sehr große freiwillige Onlineumfrage kann verzerrt sein. Ein schmales rechnerisches Intervall korrigiert keine unpassende Auswahl der Befragten. Die Qualität des Stichprobenplans ist deshalb ebenso wichtig wie die Formel.
Bei kleinen Stichproben oder Anteilen nahe 0 oder 1 kann das Wald-Intervall unplausible Grenzen liefern oder seine nominelle Überdeckung deutlich verfehlen. Beispielsweise ergäbe h = 0 rechnerisch eine Fehlerspanne von 0 – daraus darf keine Sicherheit abgeleitet werden, dass p = 0 ist. Je nach Aufgabe sind andere Verfahren wie das Wilson-Intervall oder ein exaktes Binomialintervall geeigneter. Verwende das verlangte Verfahren.
Fachlicher Hintergrund zu den Intervallverfahren: NIST: Konfidenzintervalle für Anteile.
Lernschritt 9
Dein Ablauf bei neuen Aufgaben
- Definiere den unbekannten Anteil p.
- Notiere n, x und den beobachteten Anteil h.
- Prüfe Stichprobenplan und Voraussetzungen des gewählten Verfahrens.
- Wähle das Konfidenzniveau und den passenden Faktor.
- Berechne Standardfehler, Fehlerspanne und Grenzen.
- Gib das Intervall in passenden Einheiten an und benenne die Methode.
- Deute das Niveau über wiederholte Stichproben, ohne eine Garantie zu behaupten.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Was beschreiben die 95 % beim Konfidenzniveau?
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Die langfristige Überdeckung des Verfahrens bei wiederholten Stichproben unter den Modellannahmen, bei Näherungsverfahren nur näherungsweise.
Erklärung wiederholen →3 · Wie lautet das gerechnete Intervall bei 240 von 400 Zustimmungen?
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Mit der hier verwendeten Normalapproximation ungefähr [55,2 %; 64,8 %].
Erklärung wiederholen →4 · Was passiert bei vierfachem n und sonst gleichen Werten?
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Die Fehlerspanne halbiert sich in der verwendeten Näherung, weil sie proportional zu ist.
Erklärung wiederholen →5 · Wird ein 99-%-Intervall bei denselben Daten enger oder breiter als ein 95-%-Intervall?
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Breiter. Der z-Faktor steigt von ungefähr 1,96 auf 2,576.
Erklärung wiederholen →6 · Warum ist h = 0 ein Problem für die einfache Formel?
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Sie ergibt Standardfehler und Fehlerspanne 0. Das unterschätzt die Unsicherheit: Keine beobachtete Zustimmung beweist nicht p = 0. Verwende ein geeignetes anderes Verfahren.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Passende Materialien zum Weiterlernen
Die kleinen Bilder zeigen eine Vorschau. Über Bild oder Link gelangst du zur Produktseite mit den Angaben zum Material und zum PDF-Bezug.
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Anteile und Konfidenzintervalle üben
Passendes kostenloses Arbeitsblatt mit Lösungen für Klasse 12–13. Beachte bei jeder Aufgabe das dort vorgegebene Intervallverfahren.
Material ansehen →Häufige Fragen
Ist die Fehlerspanne dasselbe wie die gesamte Intervallbreite?
Nein. Bei einem symmetrischen Intervall ist die Fehlerspanne die halbe Breite. Bei 60 % ± 4,8 Prozentpunkten ist das Intervall 9,6 Prozentpunkte breit.
Ist jedes 95-%-Intervall gleich?
Nein. Das Verfahren, die Daten und der Stichprobenplan bestimmen die Grenzen. Näherungsverfahren und exakte Verfahren können unterschiedliche Intervalle liefern.
Kann ich die Formel für Anteile auch für Durchschnittsnoten verwenden?
Nein. Ein Mittelwert ist kein Anteil. Dafür benötigst du ein passendes Mittelwertverfahren mit eigenen Voraussetzungen.