Integration durch Substitution: verstehen und üben

Lernschritt 1

Wann ist Substitution hilfreich?

Substitution bedeutet, einen Ausdruck durch eine neue Variable zu ersetzen. Besonders günstig ist das, wenn eine innere Funktion g(x) zusammen mit ihrer Ableitung g′(x) als Faktor vorkommt. Dahinter steckt die Kettenregel rückwärts.

∫ f(g(x)) · g′(x) dx = F(g(x)) + C

Dabei ist F eine Stammfunktion von f. Wir verwenden die Regel auf Intervallen, auf denen die beteiligten Ausdrücke definiert und die benötigten Funktionen stetig beziehungsweise differenzierbar sind.

Beispiel: Im Produkt 2x · (x² + 1)³ ist x² + 1 der innere Ausdruck und 2x seine Ableitung. Die Potenz wird einfacher, wenn du x² + 1 vorübergehend u nennst.

Lernschritt 2

Nicht nur den Ausdruck, auch das Differential ersetzen

Die Schreibweise mit du fasst den Variablenwechsel zusammen. Sie bedeutet nicht, dass dx einfach ersatzlos wegfällt. Der Faktor aus der Ableitung bestimmt, wie der Integrand beim Wechsel umgerechnet wird.

Lernschritt 3

Ein vollständiges Beispiel rechnen

I = ∫ 2x · (x² + 1)³ dx

Substitution: u = x² + 1 und du = 2x dx. Damit wird das Integral:

I = ∫ u³ du = u⁴4 + C

Rücksubstitution: Ersetze u wieder durch den ursprünglichen Ausdruck:

I = (x² + 1)⁴4 + C

Probe: Beim Ableiten ergibt die äußere Potenz den Faktor 4 und die innere Ableitung den Faktor 2x. Der Nenner 4 kürzt sich. Es bleibt genau 2x · (x² + 1)³.

Lernschritt 4

Einen fehlenden konstanten Faktor ausgleichen

Nun fehlt vor demselben inneren Ausdruck der Faktor 2:

∫ x · (x² + 1)³ dx

Mit u = x² + 1 gilt weiterhin du = 2x dx. Deshalb ist x dx gleich 12 du. Dieser Faktor muss erhalten bleiben:

12 ∫ u³ du = u⁴8 + C

Ergebnis: (x² + 1)⁴8 + C

Konstante Faktoren kannst du auf diese Weise ergänzen und ausgleichen. Einen fehlenden variablen Faktor darfst du dagegen nicht einfach wie eine Konstante behandeln.

Lernschritt 5

Lineare innere Ausdrücke erkennen

Bei u = ax + b mit a ≠ 0 ist die innere Ableitung konstant: du = a dx. Deshalb ist dx = 1a du.

Für ∫ (3x + 1)⁴ dx setze u = 3x + 1. Du erhältst:

13 ∫ u⁴ du = u⁵15 + C

Ergebnis: (3x + 1)⁵15 + C

Genauso entsteht ∫ e^2x dx = e^2x2 + C. Die bekannte Regel „durch die innere Steigung teilen“ ist hier eine einfache Substitution.

Lernschritt 6

Ein Quotient mit passender Zählerableitung

Auch bei einem Bruch kann die innere Struktur passen:

∫ 2xx² + 1 dx

Setze u = x² + 1 und du = 2x dx. Übrig bleibt:

∫ 1u du = ln|u| + C

Da x² + 1 immer positiv ist, lautet das Ergebnis ln(x² + 1) + C. Allgemein besitzt g′(x)g(x) auf einem passenden Intervall ohne Nullstellen von g die Stammfunktion ln|g(x)|.

Die Betragsstriche ermöglichen auch negative Werte von g. Sie erlauben aber nicht, über eine Nullstelle hinweg die Definitionsbedingungen zu ignorieren.

Lernschritt 7

Bestimmte Integrale: Grenzen mit umrechnen

Betrachte dasselbe erste Beispiel auf dem Intervall [0; 1]. Aus u = x² + 1 folgt: Für x = 0 ist u = 1; für x = 1 ist u = 2.

∫10 2x · (x² + 1)³ dx = ∫21 u³ du

= 2⁴4 − 1⁴4 = 154

Wenn du die Grenzen in u umgerechnet hast, wertest du auch die Stammfunktion in u aus. Eine Rücksubstitution ist dann nicht nötig.

Alternativ kannst du erst eine Stammfunktion in x bestimmen und anschließend die ursprünglichen x-Grenzen einsetzen. Beide Wege stimmen. Vermische aber keine u-Stammfunktion mit x-Grenzen.

Lernschritt 8

Fallende Substitutionen und Vorzeichen

Auch eine fallende innere Funktion ist möglich. Bei u = 1 − x gilt du = −dx. Für x von 0 bis 1 läuft u von 1 bis 0:

∫10 (1 − x)² dx = −∫01 u² du

= ∫10 u² du = 13

Das Minuszeichen und die umgekehrte Reihenfolge der Grenzen passen zusammen. Ordne die neuen Grenzen nicht stillschweigend um, ohne den Vorzeichenwechsel zu berücksichtigen.

Lernschritt 9

Wann solltest du eine andere Methode versuchen?

Bei ∫ (x² + 1)³ dx fehlt die Ableitung 2x als Faktor. Die einfache Wahl u = x² + 1 macht dieses Integral daher nicht unmittelbar leichter. Hier kannst du die dritte Potenz ausmultiplizieren und anschließend gliedweise integrieren.

Bei ∫ x · eˣ dx passt x nicht als Ableitung zu eˣ. Hier ist partielle Integration oft günstiger. Suche also nicht nur nach irgendeiner Klammer, sondern nach einer Substitution, die die ganze Rechnung vereinfacht.

1. Innere Funktion wählen.
2. Ableitung und Differential bestimmen.
3. Den gesamten Integranden ersetzen.
4. In der neuen Variablen integrieren.
5. Zurücksetzen oder mit umgerechneten Grenzen auswerten.
6. Unbestimmte Ergebnisse durch Ableiten kontrollieren.

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