1 · Welche Einheiten passen zu R = 8,314 Joule pro Mol und Kelvin?
Lösung und Rechenweg ansehen
p in Pascal, V in Kubikmetern, n in Mol und T in Kelvin.
Erklärung wiederholen →Physik · Wärmelehre · Mittelstufe
Ideales Gasgesetz: verstehen und üben
Verknüpfe Druck, Volumen, Temperatur und Stoffmenge mit pV = nRT. Lerne die Einheiten und Modellannahmen kennen und berechne Zustände Schritt für Schritt.
Vier Größen – eine Zustandsgleichung
p · V = n · R · T
p: Absolutdruck · V: Gasvolumen
n: Stoffmenge · T: Temperatur in Kelvin
R ist die universelle Gaskonstante.
Lernschritt 1
Was ist ein ideales Gas?
Ein ideales Gas ist ein vereinfachtes physikalisches Modell. Seine Teilchen werden als sehr klein gegenüber ihren mittleren Abständen behandelt. Abgesehen von elastischen Zusammenstößen berücksichtigt man keine Wechselwirkungskräfte zwischen ihnen.
Das Modell beschreibt viele verdünnte Gase näherungsweise gut. Hohe Dichten und Zustände nahe der Verflüssigung erfordern genauere Beschreibungen. Ein ideales Gas ist daher kein eigener Stoff, sondern eine Modellannahme.
Die Zustandsgleichung verknüpft Größen eines Gleichgewichtszustands. Sie sagt allein nicht, wie schnell ein Vorgang abläuft oder wie viel Wärme während eines beliebigen Vorgangs übertragen wird.
Lernschritt 2
Die Größen in pV = nRT verstehen
p · V = n · R · T
p: Absolutdruck
Druck in Pascal. 1 bar = 100.000 Pa. Überdruck muss zuerst umgerechnet werden.
V: Volumen
Raum des Gases in Kubikmetern. 1 L = 0,001 m³.
n: Stoffmenge
Angabe in Mol. Sie beschreibt die Teilchenanzahl über eine festgelegte Zähleinheit.
T: absolute Temperatur
Temperatur in Kelvin. Celsiuswerte müssen vor dem Einsetzen umgerechnet werden.
R ≈ 8,314
Mit dieser Wahl von R verwendest du Pascal, Kubikmeter, Mol und Kelvin. Dann hat pV die Einheit Pascal mal Kubikmeter, die einem Joule entspricht.
Ein Mol enthält genau 6,02214076 · 1023 der jeweils benannten Teilchen. Bei einem molekularen Gas sind damit beispielsweise Moleküle gemeint. Gleiche Stoffmengen verschiedener Gase bedeuten gleiche Teilchenzahlen, nicht gleiche Massen.
Lernschritt 3
Warum Celsius in dieser Formel nicht funktioniert
Die Temperatur muss vom absoluten Nullpunkt aus gemessen werden. 0 °C bedeutet nicht, dass die ungeordnete Gasbewegung und der Gasdruck verschwinden.
T in K = Celsius-Zahlenwert + 273,15
20 °C entsprechen 293,15 K und 40 °C entsprechen 313,15 K. Eine Erwärmung von 20 °C auf 40 °C verdoppelt die absolute Temperatur daher nicht. Das Verhältnis beträgt nur ungefähr 1,068.
Die doppelte absolute Temperatur von 300 K ist 600 K. In Celsius sind das 26,85 °C und 326,85 °C. Für Temperaturverhältnisse darfst du die Celsiuswerte nicht verwenden.
Temperaturdifferenzen haben in Kelvin und Celsius denselben Zahlenwert. Temperaturverhältnisse dagegen müssen hier mit Kelvin berechnet werden.
Lernschritt 4
Ein Gasvolumen vollständig berechnen
Aufgabe: n = 0,10 mol ideales Gas befinden sich bei T = 300 K und p = 100.000 Pa. Gesucht ist das Volumen.
1. Nach V umstellen:
V =
2. Werte mit passenden Einheiten einsetzen:
V = m³
3. Ergebnis berechnen:
V = 0,0024942 m³ ≈ 2,49 L
4. Kontrollieren: Das Zehnfache der Stoffmenge würde unter denselben Bedingungen das zehnfache Volumen benötigen. Das Ergebnis ist ein Modellwert, kein universelles „Volumen eines Gases“ unabhängig von Druck und Temperatur.
Lernschritt 5
Stoffmenge aus Masse oder Zustand bestimmen
Wenn die Gasmasse m und die molare Masse M bekannt sind, gilt:
n =
Zum Beispiel entsprechen 2,8 g eines Gases mit der angegebenen molaren Masse M = 28 Gramm pro Mol einer Stoffmenge von 0,10 mol. Masse und molare Masse müssen hinsichtlich ihrer Masseneinheit zusammenpassen.
Aus Druck, Volumen und Temperatur kannst du die Stoffmenge ebenfalls bestimmen:
n =
Für p = 100.000 Pa, V = 0,010 m³ und T = 300 K ergibt sich n ≈ 0,401 mol. Dabei ist V = 0,010 m³ gleich 10 L. Der Stoffwert M kommt in dieser Zustandsrechnung nicht vor; er wird erst für eine Umrechnung zur Masse benötigt.
Lernschritt 6
Zwei Zustände derselben Gasmenge vergleichen
Bleibt n konstant, ist auch nR konstant. Teile deshalb die Zustandsgleichung durch T:
=
Beispiel: Anfangs p₁ = 1,0 bar absolut, V₁ = 2,0 L und T₁ = 300 K. Später V₂ = 1,5 L und T₂ = 330 K. Gas entweicht nicht.
p₂ = = bar ≈ 1,47 bar
Der Druck steigt aus zwei Gründen: Das Volumen wird kleiner und die Temperatur größer. Die reine Boyle-Mariotte-Gleichung würde die Temperaturänderung übersehen.
In dieser Verhältnisform dürfen auf beiden Seiten beispielsweise bar und Liter verwendet werden. Die Temperaturen müssen trotzdem in Kelvin stehen. Strömt Gas hinein oder heraus, ist n nicht konstant und diese gekürzte Gleichung nicht zulässig.
Lernschritt 7
Welche Größe bleibt gleich?
Die Zustandsgleichung liefert verschiedene Spezialfälle. Bevor du kürzt, lies die Randbedingungen der Aufgabe:
- T und n konstant: pV bleibt konstant. Das ist Boyle-Mariotte.
- V und n konstant: p ist proportional zu T. Ein gedachtes starres, geschlossenes Gefäß ändert sein Volumen nicht.
- p und n konstant: V ist proportional zu T. Ein ideal beweglicher Kolben kann sich bei konstanter äußerer Belastung verschieben.
Denkfrage: Eine Gasportion wird von 300 K auf 360 K erwärmt. Was passiert?
Antwort nach Randbedingung ansehen
Bei festem Volumen steigt der absolute Druck auf das 1,2-Fache. Bei festem Druck steigt das Volumen auf das 1,2-Fache. Ohne eine solche zusätzliche Randbedingung ist weder der neue Druck noch das neue Volumen eindeutig festgelegt.
Dies sind Vergleiche vorgegebener Modellzustände, keine Anleitung zum Erhitzen geschlossener Gefäße.
Lernschritt 8
Ein Rechenplan gegen typische Fehler
- Prüfe, ob das ideale Gasmodell für die Aufgabe vorausgesetzt ist.
- Notiere p, V, n und T für jeden Zustand.
- Unterscheide Absolutdruck von Überdruck und rechne Celsius in Kelvin um.
- Wähle pV = nRT oder bei gleicher Gasmenge die Verhältnisgleichung.
- Verwende zu R passende Einheiten beziehungsweise konsistente Einheiten in der Verhältnisform.
- Prüfe die Richtung der Änderung: Welche Größen erklären das Ergebnis?
Wenn beispielsweise ein Ballon erwärmt wird, sind Druck und Gasmenge nicht automatisch ideal konstant. Die Hülle und mögliche Undichtigkeiten können relevant sein. Formuliere zuerst die Modellannahmen, bevor du eine einfache Proportionalität verwendest.
Für den Unterricht
Gib dieselbe Temperaturänderung zweimal vor: einmal mit festem Volumen, einmal mit festem Druck. Lernende müssen zuerst eine Vorhersage formulieren. Eine zweite Aufgabe vergleicht „doppelte Celsius-Temperatur“ und „doppelte Kelvin-Temperatur“ und lässt die jeweiligen Faktoren berechnen.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Rechne 27 °C in Kelvin um.
Lösung und Rechenweg ansehen
T = 300,15 K.
Erklärung wiederholen →3 · Wie viel sind 5 L in Kubikmetern?
Lösung und Rechenweg ansehen
5 L = 0,005 m³.
Erklärung wiederholen →4 · T steigt bei gleichem n und V von 300 K auf 450 K. Wie ändert sich p?
Lösung und Rechenweg ansehen
Der absolute Druck steigt auf das 1,5-Fache.
Erklärung wiederholen →5 · Welche Stoffmenge sind 5,6 g bei M = 28 Gramm pro Mol?
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n = 5,6 geteilt durch 28 mol = 0,20 mol.
Erklärung wiederholen →6 · Darf p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂ verwendet werden, wenn die Hälfte des Gases entweicht?
Lösung und Rechenweg ansehen
Nein. Die Stoffmenge ist dann nicht konstant. Die vollständige Zustandsgleichung muss für beide Zustände verwendet werden.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Was bedeutet das n im Gasgesetz?
n ist die Stoffmenge in Mol. Es ist nicht die Masse und nicht unmittelbar die Teilchenzahl.
Ist ein ideales Gas eine bestimmte Gasart?
Nein. Es ist ein Modell, das auf verschiedene Gase unter geeigneten Bedingungen näherungsweise angewendet werden kann.
Kann ich allein aus einer Temperaturänderung den neuen Druck berechnen?
Nicht allgemein. Dafür müssen zusätzlich etwa Volumen und Stoffmenge festgelegt sein.