1 · Ein Gasvolumen halbiert sich isotherm bei gleicher Gasmenge. Wie ändert sich p?
Lösung und Rechenweg ansehen
Der absolute Druck verdoppelt sich.
Erklärung wiederholen →Physik · Wärmelehre · Mittelstufe
Gesetz von Boyle-Mariotte: verstehen und üben
Wie ändert sich der Druck, wenn du ein Gas zusammendrückst? Verstehe den Zusammenhang bei konstanter Temperatur mit einem Kolbenmodell, einem p-V-Diagramm und ausführlichen Rechenwegen.
Halbes Volumen – doppelter Druck
p₁ · V₁ = p₂ · V₂
Das gilt für dieselbe Gasmenge bei gleicher Temperatur im idealen Gasmodell.
Der Druck muss als absoluter Druck eingesetzt werden.
Lernschritt 1
Was muss konstant bleiben?
Das Gesetz von Boyle-Mariotte beschreibt eine isotherme Zustandsänderung: Die Temperatur eines Gases bleibt gleich. Außerdem darf sich die Gasmenge nicht ändern. Unter diesen Bedingungen sind Druck und Volumen umgekehrt proportional.
Ein eingeschlossenes Gas kann beispielsweise durch einen beweglichen Kolben einen kleineren Raum erhalten. Wird es ausreichend langsam zusammengedrückt und kann dabei Energie mit der Umgebung austauschen, lässt sich näherungsweise eine konstante Temperatur erreichen.
p · V = konstant bei konstantem T und n
p bezeichnet den absoluten Gasdruck, V das Gasvolumen, T die absolute Temperatur und n die Stoffmenge. Das Gesetz ist ein Spezialfall des idealen Gasgesetzes.
Lernschritt 2
Das Gas im Kolbenmodell
Betrachte zunächst das Volumen von 1,00 L bei einem absoluten Druck von 1,0 bar. Vor dem Umschalten: Welchen Druck erwartest du bei halbiertem Volumen, wenn Temperatur und Teilchenzahl gleich bleiben?
Die Zeichnung zeigt zwei Gleichgewichtszustände. Sie simuliert keinen schnellen Kompressionsvorgang.
Im kleineren Raum treffen die Teilchen bei gleicher Temperatur häufiger auf die Begrenzungsflächen. Der mittlere Impulsübertrag pro Fläche und Zeit steigt: Der Druck wird größer. Die Teilchen selbst werden im Modell nicht kleiner und nicht automatisch schneller; die Temperatur ist ausdrücklich gleich.
Lernschritt 3
Zwei Zustände miteinander vergleichen
p₁ · V₁ = p₂ · V₂
Index 1 steht für den Anfangszustand, Index 2 für den Endzustand. Wähle für beide Drücke dieselbe Druckeinheit und für beide Volumina dieselbe Volumeneinheit.
p₂ = und V₂ =
In dieser Verhältnisrechnung kannst du zum Beispiel bar und Liter verwenden, wenn sie auf beiden Seiten zusammenpassen. Das Produkt p · V bleibt dann in bar · L gleich. Für die absolute Zustandsgleichung mit der Gaskonstante brauchst du dagegen passende SI-Einheiten.
Halbierst du V, verdoppelt sich p. Verdreifachst du V, sinkt p auf ein Drittel. Die Bedingung gleicher Temperatur und Gasmenge gehört immer zur Aussage.
Lernschritt 4
Den Enddruck Schritt für Schritt berechnen
Aufgabe: Ein eingeschlossenes Gas hat p₁ = 1,2 bar absolut und V₁ = 0,80 L. Es wird bei gleicher Temperatur auf V₂ = 0,50 L komprimiert.
1. Modell prüfen: Gasmenge und Temperatur bleiben gleich. Boyle-Mariotte ist anwendbar.
2. Nach dem Enddruck umstellen und einsetzen:
p₂ = bar = 1,92 bar
3. Produkt prüfen: 1,2 · 0,80 = 0,96 und 1,92 · 0,50 = 0,96. Die Produkte stimmen überein.
4. Deuten: Das Volumen ist kleiner geworden, der Druck größer. Ein Ergebnis unter 1,2 bar würde zu dieser isothermen Kompression nicht passen.
Lernschritt 5
Warum ist die p-V-Kurve gekrümmt?
Das Diagramm zeigt eine andere Beispielgasmenge als das Kolbenbild. Für diese Kurve gilt p · V = 2 bar · L. Weil p proportional zu 1 geteilt durch V ist, ergibt sich eine Hyperbel.
Halbierst du das Volumen von 4 L auf 2 L, steigt p von 0,5 auf 1 bar. Halbierst du es weiter von 2 L auf 1 L, steigt p von 1 auf 2 bar. Gleiche relative Volumenänderungen führen zu gleichen relativen Druckänderungen, nicht zu immer derselben Druckdifferenz.
Bei gleichem Maßstab und derselben Temperatur gehört jede feste Gasmenge zu einer eigenen Kurve. Ein einzelner Punkt beschreibt einen Zustand, die Kurve viele mögliche Zustände unter derselben Bedingung.
Lernschritt 6
Absolutdruck und Überdruck unterscheiden
Der Absolutdruck wird gegenüber dem Vakuum gemessen. Ein Überdruck beschreibt dagegen, um wie viel der Druck über dem Umgebungsdruck liegt.
pabsolut = pUmgebung + pÜberdruck
Beispiel: Bei 1,0 bar Umgebungsdruck bedeuten 0,5 bar Überdruck einen Absolutdruck von 1,5 bar. Wird das Gasvolumen bei gleicher Temperatur halbiert, steigt der Absolutdruck auf 3,0 bar. Der neue Überdruck beträgt 2,0 bar.
Der Überdruck hat sich in diesem Beispiel nicht einfach verdoppelt. Setze zuerst Absolutdrücke in das Gasgesetz ein und rechne erst am Ende zurück.
Lernschritt 7
Wann passt Boyle-Mariotte nicht?
Bei schneller Kompression kann sich das Gas erwärmen. Dann ist die Temperatur nicht konstant, und p₁V₁ = p₂V₂ beschreibt den gesamten Vorgang nicht. Ebenso unzulässig ist die Gleichung, wenn Gas entweicht oder zusätzlich hineinströmt.
Reale Gase weichen besonders bei hohen Drücken oder nahe einer Verflüssigung vom idealen Modell ab. Boyle-Mariotte ist für viele Schulaufgaben und genügend verdünnte Gase eine hilfreiche Näherung.
Der Kolbenversuch hier ist ein Denkmodell mit vorgegebenen Zuständen. Aus ihm folgt keine Aussage darüber, welche Kräfte ein realer Kolben mit Reibung oder zusätzlichen Lasten benötigt; dafür ist ein eigenes Kräftegleichgewicht nötig.
Für den Unterricht
Lass vor dem Umschalten des Kolbens Druck, Teilchengröße und mittlere Teilchenbewegung vorhersagen. Danach wählen Lernende aus drei Bedingungen aus: „gleiche Temperatur“, „gleiches Volumen“ oder „gleicher Druck“. Eine Fehlerrechnung mit Überdruck zeigt, warum die Druckart zur Aufgabenanalyse gehört.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · p₁ = 1 bar, V₁ = 3 L, V₂ = 2 L. Bestimme p₂ isotherm.
Lösung und Rechenweg ansehen
p₂ = 1 · 3 geteilt durch 2 bar = 1,5 bar absolut.
Erklärung wiederholen →3 · p₁ = 2 bar, V₁ = 0,6 L, p₂ = 3 bar. Welches Endvolumen?
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V₂ = 2 · 0,6 geteilt durch 3 L = 0,4 L.
Erklärung wiederholen →4 · Umgebungsdruck 1 bar, Überdruck 2 bar: Welchen Druck setzt du ein?
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Den Absolutdruck 3 bar.
Erklärung wiederholen →5 · Warum wird beim Halbieren von V nicht einfach ein fester Wert zu p addiert?
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Druck und Volumen sind umgekehrt proportional. Entscheidend sind Faktoren, nicht konstante Druckdifferenzen.
Erklärung wiederholen →6 · Darf das Gesetz ohne Prüfung auf eine schnell zusammengedrückte Gasportion angewendet werden?
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Nein. Dabei kann sich die Temperatur ändern. Die isotherme Bedingung muss erfüllt sein.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Was bedeutet isotherm?
Die Temperatur bleibt konstant. Das Volumen und der Druck dürfen sich dabei ändern.
Muss ich Liter immer in Kubikmeter umrechnen?
In der Verhältnisgleichung genügen konsistente Volumeneinheiten auf beiden Seiten. Bei pV = nRT mit R in SI-Einheiten benötigst du Kubikmeter.
Warum brauche ich Absolutdruck?
Das Gasgesetz verknüpft den tatsächlichen Gasdruck mit Volumen und Temperatur. Überdruck enthält einen verschobenen Nullpunkt und muss zuerst umgerechnet werden.