1 · Welche Alternative passt zu „Kopf ist wahrscheinlicher als 0,5“?
Lösung und Rechenweg ansehen
H₁: p > 0,5. Dazu gehört ein rechtsseitiger Test.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 11–13 · Grundlagen und Wiederholung
Hypothesentests mit der Binomialverteilung: verstehen und üben
Prüfe eine Vermutung mit einer Stichprobe. Lerne Hypothesen, Ablehnungsbereich, Signifikanzniveau und Fehlerarten an einem vollständig gerechneten Münzbeispiel kennen.
Auffällig unter einer Annahme
15 Köpfe bei 20 Würfen?
Wir prüfen vorab festgelegt, ob eine Münze häufiger Kopf zeigt als eine faire Münze. Ein ungewöhnliches Ergebnis kann gegen die Nullhypothese sprechen – es liefert keinen Beweis mit absoluter Sicherheit.
Lernschritt 1
Nullhypothese und Alternative festlegen
Ein Hypothesentest prüft, ob beobachtete Daten mit einer vorgegebenen Annahme ausreichend vereinbar sind. Die Nullhypothese H₀ ist die zu prüfende Ausgangsannahme. Die Alternative H₁ beschreibt, welche Abweichung wir untersuchen.
Unser Beispiel: Eine Münze wird 20-mal unabhängig unter gleichen Bedingungen geworfen. X zählt die Köpfe. p ist die unbekannte Kopf-Wahrscheinlichkeit. Wir vermuten eine erhöhte Kopf-Wahrscheinlichkeit und legen vor dem Versuch fest:
| Hypothese | Bedeutung |
|---|---|
| H₀: p ≤ 0,5 | Kopf ist nicht wahrscheinlicher als bei einer fairen Münze. |
| H₁: p > 0,5 | Kopf ist wahrscheinlicher. |
Wir rechnen für die Testgrenze mit dem Randwert p₀ = 0,5. Dort ist innerhalb von H₀ die Wahrscheinlichkeit vieler Köpfe am größten. Somit begrenzt der dort berechnete Fehler auch die anderen Werte p < 0,5.
Die Testrichtung ergibt sich aus der Fragestellung und wird vor dem Blick auf das Ergebnis festgelegt. Bei „Münze ist irgendwie unfair“ wäre ein zweiseitiger Test passend.
Lernschritt 2
Testgröße und Signifikanzniveau wählen
Unter dem Randwert der Nullhypothese gilt X ∼ B(20; 0,5). Die Binomialverteilung passt, weil es eine feste Versuchszahl, die zwei Wertungen Kopf und Zahl, konstantes p und unabhängige Würfe gibt.
Wir wählen vorab das Signifikanzniveau α = 5 %. Es begrenzt die Wahrscheinlichkeit, H₀ zu verwerfen, obwohl H₀ zutrifft. Je nach ganzzahligen Grenzen kann die tatsächliche Fehlerwahrscheinlichkeit kleiner als 5 % sein.
| Festlegung | Im Beispiel |
|---|---|
| Stichprobenumfang | n = 20 Würfe |
| Testgröße X | Anzahl der Köpfe |
| Rechenwert unter H₀ | p₀ = 0,5 |
| Signifikanzniveau | α = 0,05 |
| Testrichtung | Rechtsseitig: Viele Köpfe sprechen für H₁. |
Lernschritt 3
Den Ablehnungsbereich bestimmen
Wir suchen die kleinste ganze Grenze c, für die die Wahrscheinlichkeit von c oder mehr Köpfen unter p₀ = 0,5 höchstens 5 % beträgt:
P₀(X ≥ c) ≤ 0,05
P₀ bedeutet hier: berechnet unter p = 0,5. Mit dem Gegenereignis gilt P₀(X ≥ c) = 1 − P₀(X ≤ c − 1). Vergleiche benachbarte Grenzen:
| Mögliche Grenze | Wahrscheinlichkeit unter p₀ = 0,5 | Geeignet? |
|---|---|---|
| c = 14 | P₀(X ≥ 14) ≈ 5,77 % | Nein: über 5 %. |
| c = 15 | P₀(X ≥ 15) ≈ 2,07 % | Ja: kleinste passende Grenze. |
| c = 16 | P₀(X ≥ 16) ≈ 0,59 % | Auch unter 5 %, aber unnötig streng. |
Der Ablehnungsbereich lautet {15, 16, 17, 18, 19, 20}. Der Nichtablehnungsbereich umfasst 0 bis 14. Die tatsächliche maximale Fehlerwahrscheinlichkeit erster Art beträgt ungefähr 2,07 %.
Lernschritt 4
Das Ergebnis richtig formulieren
Erst nach Festlegung der Regel wird das beobachtete Ergebnis mit der Grenze verglichen.
| Beobachtung | Entscheidung | Passender Antwortsatz |
|---|---|---|
| 15 Köpfe | H₀ verwerfen | Das Ergebnis spricht auf dem 5-%-Niveau für p > 0,5. |
| 13 Köpfe | H₀ nicht verwerfen | Die Daten reichen mit diesem Test nicht aus, um p > 0,5 nachzuweisen. |
„Nicht verwerfen“ bedeutet nicht „bewiesen“ oder „die Münze ist sicher fair“. Auch eine Münze mit erhöhter Kopf-Wahrscheinlichkeit kann bei nur 20 Würfen weniger als 15 Köpfe liefern.
Der Test betrachtet ausschließlich die vorab gewählte Alternative. Sehr wenige Köpfe führen in diesem rechtsseitigen Test nicht zur Verwerfung. Für eine Abweichung in beide Richtungen wäre ein anderer Test nötig.
Lernschritt 5
Den p-Wert vom Signifikanzniveau unterscheiden
Der p-Wert hängt vom beobachteten Ergebnis ab. In unserem rechtsseitigen Test ist er die Wahrscheinlichkeit, unter dem Randwert p₀ = 0,5 mindestens so viele Köpfe wie beobachtet zu erhalten.
Bei x = 15: p-Wert = P₀(X ≥ 15) ≈ 0,0207
Da 0,0207 ≤ 0,05, verwerfen wir H₀. Das Signifikanzniveau 0,05 war vorab gewählt; der p-Wert 0,0207 ergibt sich aus den Daten und dem Test.
Der p-Wert ist nicht die Wahrscheinlichkeit, dass H₀ wahr ist. Er beschreibt die Auffälligkeit der Daten unter H₀. Er sagt auch nicht, dass das Ergebnis „mit 97,93 % Sicherheit“ die Alternative beweist.
Lernschritt 6
Fehler erster und zweiter Art unterscheiden
| Tatsächliche Situation | H₀ nicht verwerfen | H₀ verwerfen |
|---|---|---|
| H₀ ist wahr | Richtige Entscheidung | Fehler 1. Art |
| H₁ ist wahr | Fehler 2. Art | Richtige Entscheidung |
Fehler erster Art: Wir behaupten eine erhöhte Kopf-Wahrscheinlichkeit, obwohl p ≤ 0,5 gilt. Die Wahrscheinlichkeit dieses Fehlers ist durch α begrenzt.
Fehler zweiter Art: Es gilt tatsächlich p > 0,5, aber X liegt zwischen 0 und 14 und wir verwerfen H₀ nicht. Die Wahrscheinlichkeit β hängt vom konkreten wahren p ab.
Nehmen wir zur Berechnung beispielhaft p = 0,75 an. Dann gilt:
β = P bei p = 0,75 (X ≤ 14) ≈ 38,28 %
Die Teststärke für p = 0,75 beträgt 1 − β ≈ 61,72 %. Trotz einer deutlichen Abweichung kann diese kleine Stichprobe sie also übersehen. Ohne einen konkreten Alternativwert lässt sich β hier nicht als einzelne Zahl angeben.
Lernschritt 7
Linksseitige und zweiseitige Tests einordnen
| Alternative | Auffällige Ergebnisse | Ablehnungsbereich |
|---|---|---|
| p > p₀ | Ungewöhnlich viele Treffer | Rechter Rand |
| p < p₀ | Ungewöhnlich wenige Treffer | Linker Rand |
| p ≠ p₀ | Ungewöhnlich wenige oder viele Treffer | Beide Ränder |
Bei einem linksseitigen Test suchst du eine passende untere Grenze mit P₀(X ≤ c) ≤ α. Bei einem zweiseitigen Test wird das Fehlerbudget auf beide Ränder verteilt; in einer häufigen Schulkonvention jeweils höchstens α geteilt durch 2. Wegen der diskreten Werte wird das Niveau oft nicht ausgeschöpft. Halte dich an die festgelegte Testregel.
Lernschritt 8
Dein Rechenplan für Testaufgaben
- Beschreibe, was der Parameter p und die Testgröße X bedeuten.
- Formuliere H₀ und H₁ und wähle die Testrichtung.
- Prüfe das Binomialmodell und notiere n, p₀ und α.
- Berechne die passende Grenze. Kontrolliere den benachbarten Wert.
- Schreibe Ablehnungs- und Nichtablehnungsbereich vollständig auf.
- Vergleiche die Beobachtung mit der festgelegten Regel.
- Formuliere die Entscheidung ohne H₀ oder H₁ als bewiesen darzustellen.
Ein kleiner p-Wert beschreibt statistische Auffälligkeit, nicht automatisch eine praktisch große Wirkung. Außerdem darfst du nicht nach jedem weiteren Wurf beliebig neu testen, bis das gewünschte Ergebnis entsteht: Dafür wäre eine eigene, vorab geplante Teststrategie erforderlich.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Warum ist im Beispiel die Grenze 14 ungeeignet?
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Unter p₀ = 0,5 beträgt P₀(X ≥ 14) etwa 5,77 % und überschreitet damit α = 5 %.
Erklärung wiederholen →3 · 16 Köpfe bei 20 Würfen: Welche Entscheidung gilt?
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16 liegt im Ablehnungsbereich 15 bis 20. Wir verwerfen H₀ zugunsten der Alternative p > 0,5.
Erklärung wiederholen →4 · Beweisen 13 Köpfe, dass die Münze fair ist?
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Nein. H₀ wird nur nicht verworfen. Der Test liefert keinen ausreichenden Nachweis für eine erhöhte Kopf-Wahrscheinlichkeit.
Erklärung wiederholen →5 · Was ist der Fehler erster Art?
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H₀ wird verworfen, obwohl sie wahr ist. Im Beispiel wird eine erhöhte Kopf-Wahrscheinlichkeit angenommen, obwohl p ≤ 0,5 gilt.
Erklärung wiederholen →6 · Bedeutet p-Wert 0,0207, dass H₀ mit 2,07 % Wahrscheinlichkeit wahr ist?
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Nein. Er beschreibt hier die Wahrscheinlichkeit von mindestens so vielen Köpfen wie beobachtet, berechnet unter p₀ = 0,5.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Hypothesentests selbst rechnen
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Material ansehen →Häufige Fragen
Warum ist die tatsächliche Fehlerwahrscheinlichkeit kleiner als α?
Bei diskreten Trefferzahlen springt die Randwahrscheinlichkeit von einer Grenze zur nächsten. Die größte zulässige Wahrscheinlichkeit muss deshalb nicht genau α erreichen.
Ist der Nichtablehnungsbereich dasselbe wie ein Beweis für H₀?
Nein. Er wird manchmal Annahmebereich genannt, bedeutet aber nur, dass die Daten mit der festgelegten Regel nicht zur Verwerfung führen.
Kann ich β allein aus α berechnen?
Nein. β hängt unter anderem vom tatsächlichen Alternativwert, dem Stichprobenumfang und dem Ablehnungsbereich ab.