Hypothesentests mit der Binomialverteilung

02 · Verstehen

Nullhypothese und Alternative festlegen

Ein Hypothesentest prüft, ob beobachtete Daten mit einer vorgegebenen Annahme ausreichend vereinbar sind. Die Nullhypothese H₀ ist die zu prüfende Ausgangsannahme. Die Alternative H₁ beschreibt, welche Abweichung wir untersuchen.

Unser Beispiel: Eine Münze wird 20-mal unabhängig unter gleichen Bedingungen geworfen. X zählt die Köpfe. p ist die unbekannte Kopf-Wahrscheinlichkeit. Wir vermuten eine erhöhte Kopf-Wahrscheinlichkeit und legen vor dem Versuch fest:

Wir rechnen für die Testgrenze mit dem Randwert p₀ = 0,5. Dort ist innerhalb von H₀ die Wahrscheinlichkeit vieler Köpfe am größten. Somit begrenzt der dort berechnete Fehler auch die anderen Werte p < 0,5.

Testgröße und Signifikanzniveau wählen

Unter dem Randwert der Nullhypothese gilt X ∼ B(20; 0,5). Die Binomialverteilung passt, weil es eine feste Versuchszahl, die zwei Wertungen Kopf und Zahl, konstantes p und unabhängige Würfe gibt.

Wir wählen vorab das Signifikanzniveau α = 5 %. Es begrenzt die Wahrscheinlichkeit, H₀ zu verwerfen, obwohl H₀ zutrifft. Je nach ganzzahligen Grenzen kann die tatsächliche Fehlerwahrscheinlichkeit kleiner als 5 % sein.

Den Ablehnungsbereich bestimmen

Wir suchen die kleinste ganze Grenze c, für die die Wahrscheinlichkeit von c oder mehr Köpfen unter p₀ = 0,5 höchstens 5 % beträgt:

P₀(X ≥ c) ≤ 0,05

P₀ bedeutet hier: berechnet unter p = 0,5. Mit dem Gegenereignis gilt P₀(X ≥ c) = 1 − P₀(X ≤ c − 1). Vergleiche benachbarte Grenzen:

Der Ablehnungsbereich lautet {15, 16, 17, 18, 19, 20}. Der Nichtablehnungsbereich umfasst 0 bis 14. Die tatsächliche maximale Fehlerwahrscheinlichkeit erster Art beträgt ungefähr 2,07 %.

Das Ergebnis richtig formulieren

Erst nach Festlegung der Regel wird das beobachtete Ergebnis mit der Grenze verglichen.

„Nicht verwerfen“ bedeutet nicht „bewiesen“ oder „die Münze ist sicher fair“. Auch eine Münze mit erhöhter Kopf-Wahrscheinlichkeit kann bei nur 20 Würfen weniger als 15 Köpfe liefern.

Der Test betrachtet ausschließlich die vorab gewählte Alternative. Sehr wenige Köpfe führen in diesem rechtsseitigen Test nicht zur Verwerfung. Für eine Abweichung in beide Richtungen wäre ein anderer Test nötig.

Den p-Wert vom Signifikanzniveau unterscheiden

Der p-Wert hängt vom beobachteten Ergebnis ab. In unserem rechtsseitigen Test ist er die Wahrscheinlichkeit, unter dem Randwert p₀ = 0,5 mindestens so viele Köpfe wie beobachtet zu erhalten.

Fehler erster und zweiter Art unterscheiden

Fehler erster Art: Wir behaupten eine erhöhte Kopf-Wahrscheinlichkeit, obwohl p ≤ 0,5 gilt. Die Wahrscheinlichkeit dieses Fehlers ist durch α begrenzt.

Fehler zweiter Art: Es gilt tatsächlich p > 0,5, aber X liegt zwischen 0 und 14 und wir verwerfen H₀ nicht. Die Wahrscheinlichkeit β hängt vom konkreten wahren p ab.

Nehmen wir zur Berechnung beispielhaft p = 0,75 an. Dann gilt:

Linksseitige und zweiseitige Tests einordnen

Bei einem linksseitigen Test suchst du eine passende untere Grenze mit P₀(X ≤ c) ≤ α. Bei einem zweiseitigen Test wird das Fehlerbudget auf beide Ränder verteilt; in einer häufigen Schulkonvention jeweils höchstens α geteilt durch 2. Wegen der diskreten Werte wird das Niveau oft nicht ausgeschöpft. Halte dich an die festgelegte Testregel.

Dein Rechenplan für Testaufgaben

1. Beschreibe, was der Parameter p und die Testgröße X bedeuten.
2. Formuliere H₀ und H₁ und wähle die Testrichtung.
3. Prüfe das Binomialmodell und notiere n, p₀ und α.
4. Berechne die passende Grenze. Kontrolliere den benachbarten Wert.
5. Schreibe Ablehnungs- und Nichtablehnungsbereich vollständig auf.
6. Vergleiche die Beobachtung mit der festgelegten Regel.
7. Formuliere die Entscheidung ohne H₀ oder H₁ als bewiesen darzustellen.

Ein kleiner p-Wert beschreibt statistische Auffälligkeit, nicht automatisch eine praktisch große Wirkung. Außerdem darfst du nicht nach jedem weiteren Wurf beliebig neu testen, bis das gewünschte Ergebnis entsteht: Dafür wäre eine eigene, vorab geplante Teststrategie erforderlich.