Verstehe höhere Wurzeln und Brüche im Exponenten. Prüfe die Vorzeichen, rechne mit Kehrwerten und unterscheide einen Wurzelwert von allen Lösungen einer Potenzgleichung.
Hilfreiches Vorwissen: Potenzen, Brüche, Quadratwurzeln und einfache Gleichungen.
Berechne eine Kubikwurzel und eine rationale Potenz. Gib danach alle Lösungen einer Potenzgleichung an.
Zahlen und Brüche: etwa −4 oder 1/8. Alle Lösungen mit Semikolon trennen, etwa −2; 2, oder keine. Symmetrische Lösungen auch als ±2. Bedingungen: etwa x >= 2. Entscheidungen: ja oder nein.
Verstehen
Potenzieren rückwärts
Beispiel – Schritt für Schritt
3√27
Bei ungeradem Wurzelgrad gibt es genau eine reelle Wurzel.
Beispiel – Schritt für Schritt
16
Der Nenner 4 im Exponenten fordert die vierte Wurzel. Ihre positive Basis 16 ist zulässig.
Der Zähler 3 fordert die dritte Potenz des Wurzelwerts.
Wurzelziehen und anschließendes Potenzieren ergeben den exakten Wert.
Die Zahl n heißt Wurzelexponent oder Wurzelgrad und ist hier eine ganze Zahl mit n ≥ 2. Gesucht ist eine Zahl, deren n-te Potenz den Radikanden a ergibt.
Bei geradem n und a ≥ 0 bezeichnet n√a die nichtnegative Lösung. Für a < 0 gibt es dann keine reelle Wurzel. Bei ungeradem n gibt es für jedes reelle a genau eine reelle n-te Wurzel.
Beispiel – Schritt für Schritt
4√81
3√−8
5√0
Gerader Wurzelgrad: 81 ist nichtnegativ und der Wurzelwert wird nichtnegativ gewählt.
Potenziere zur Probe.
Bei ungeradem Wurzelgrad ist ein negativer Radikand erlaubt.
Die ungerade Potenz erhält das Vorzeichen.
Auch die fünfte Wurzel von 0 ist definiert.
Die Probe bestätigt den Wurzelwert 0.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Ein ungerader Wurzelgrad erlaubt einen negativen Radikanden.
Die Probe bestätigt den Wert.
Eine gerade Potenz kann nie negativ sein. Deshalb ist eine vierte Wurzel aus −16 im Reellen nicht definiert. Eine ungerade Potenz erhält das Vorzeichen: (−2)³ = −8.
Beispiel – Schritt für Schritt
4√16
Zum Vergleich: x⁴ = 16
Das Wurzelzeichen bezeichnet nur den nichtnegativen Wert.
Eine Gleichung fragt nach allen passenden reellen Werten.
Bei gerader Potenz können beide Vorzeichen passen.
Beide Werte erfüllen die Gleichung; ihre Lösungsmenge ist {−2; 2}.
Für x³ = −8 ist x = −2 die einzige reelle Lösung. Bei geradem n gilt n√xⁿ = |x|; bei ungeradem n ist das Ergebnis x.
Beispiel – Schritt für Schritt
x³ = −8
Zum Vergleich: 4√(−3)⁴ und 3√(−3)³
Die Funktion x³ ist auf den reellen Zahlen eindeutig umkehrbar. Deshalb ist −2 die einzige reelle Lösung.
Bei geradem Wurzelgrad kommt der nichtnegative Betrag heraus, nicht −3.
Der Betrag macht die Vorzeichenbedingung sichtbar.
Bei ungeradem Wurzelgrad erhältst du dagegen die Ausgangszahl zurück.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Das gerade Wurzelzeichen meint nur den nichtnegativen Wert.
Sowohl (−3)⁴ als auch 3⁴ ergeben 81.
Für a > 0, ganzzahliges m und natürliche n ≥ 2 gilt a = (n√a)ᵐ = n√aᵐ. Du kannst erst die Wurzel ziehen und dann potenzieren.
Beispiel: 27 berechnen. Lies Zähler und Nenner getrennt:
Beispiel – Schritt für Schritt
27
Die Basis ist positiv. Der Nenner 3 gibt den Wurzelgrad an; 3³ = 27 bestätigt die Wurzel.
Der Zähler 2 gibt die anschließende Potenz an.
Der Bruch gehört zum Exponenten. Teile nicht die Basis durch den Nenner.
Auch erst quadrieren und dann die dritte Wurzel ziehen ist hier möglich. Zuerst die Wurzel zu ziehen hält die Zwischenwerte aber kleiner. Teile nicht die Basis durch den Nenner: Der Bruch gehört vollständig zum Exponenten.
Für a = 0 ist diese Schreibweise bei positivem Exponenten ebenfalls definiert und ergibt 0. Null mit negativem Exponenten ist nicht erlaubt. 0⁰ verwenden wir hier nicht.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Der Nenner 5 nennt den Wurzelgrad.
Der Zähler 2 nennt die anschließende Potenz.
Ein negatives Vorzeichen im Exponenten bildet den Kehrwert. Für positive Basis gilt a− = .
Beispiel – Schritt für Schritt
16−
Die positive Basis erlaubt die vierte Wurzel.
Berechne zunächst die Potenz zum positiven Exponenten.
Das Minus im Exponenten fordert den Kehrwert. Der Nenner 8 ist nicht null und das Ergebnis positiv.
Beispiel – Schritt für Schritt
16−
Zum Vergleich: −16
Ein Minus im Exponenten bildet den Kehrwert.
Ein Minus vor der Potenz negiert dagegen deren Ergebnis. Es gehört nicht zum Exponenten.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Berechne zunächst die positive Bruchpotenz.
Das Minus im Exponenten bildet den Kehrwert. Das Ergebnis bleibt positiv.
Beispiel – Schritt für Schritt
x · x
Voraussetzung: x > 0
Die folgenden allgemeinen Potenzumformungen werden für positive Basen verwendet.
Bei gleicher Basis werden die Exponenten addiert.
Addiere die gleichnamigen Brüche.
Der resultierende Exponent ist 2.
Beispiel – Schritt für Schritt
(x)³
Voraussetzung: x > 0
Zusatzvergleich: 3√8 + 27 und 3√8 + 3√27
Für x > 0 werden beim Potenzieren einer Potenz die Exponenten multipliziert.
Berechne den neuen Exponenten.
Diese Potenzregel gilt unter der genannten Voraussetzung.
Die Summe der einzelnen Kubikwurzeln ist 5.
Die Summe der Radikanden ist dagegen 35. Ihre Kubikwurzel kann daher nicht 5 sein.
Wurzeln dürfen nicht über Summen verteilt werden.
Bei negativer Basis musst du die Definition prüfen. In der reellen Erweiterung für rationale Exponenten wird der Exponentenbruch zuerst vollständig gekürzt; sein Nenner muss dann ungerade sein. Eine negative Basis darfst du daher nicht mit beliebigen ungekürzten Wurzel-Potenz-Ausdrücken umformen. Für einen sicheren Einstieg schreibst du ungerade Wurzeln negativer Zahlen ausdrücklich als Wurzel. Die hier verwendeten allgemeinen Potenzgesetze sind für positive Basen formuliert.
Beispiel – Schritt für Schritt
3√−8
Zu prüfen: 6√(−8)²
Die ungerade Wurzel einer negativen Zahl ist eindeutig definiert.
Die beiden Exponentenbrüche stellen dieselbe rationale Zahl dar.
Die Umformung über eine gerade Wurzel liefert aber den positiven Wert. Sie darf deshalb für die negative Basis nicht als Ersatz für die Kubikwurzel verwendet werden.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Der gekürzte Nenner ist ungerade.
Die Umformung über eine gerade Wurzel ist bei negativer Basis nicht zulässig.
Beispiel – Schritt für Schritt
(x − 1)³ = 27
Gesucht sind alle reellen x.
Ziehe die eindeutige dritte Wurzel auf beiden Seiten.
Addiere 1 auf beiden Seiten.
Die Probe stimmt. Die Lösungsmenge ist {4}.
Beispiel – Schritt für Schritt
x⁴ = 81
Zum Vergleich: x⁴ = −81
Eine gerade Potenz kann einen positiven Wert mit zwei entgegengesetzten Basen ergeben.
Die vierte Wurzel von 81 ist 3; für die Gleichung sind beide Vorzeichen zu prüfen.
Beide Proben stimmen.
Damit ist die reelle Lösungsmenge vollständig.
Eine gerade Potenz ist für reelle x stets nichtnegativ. Die Gleichung mit negativer rechter Seite hat keine reelle Lösung.
Beispiel – Schritt für Schritt
x³ = 125
Die ungerade Potenz hat genau eine reelle Umkehrung.
Die Probe bestätigt x = 5.
Beispiel – Schritt für Schritt
Würfelvolumen: V = 125 cm³
Gesucht: Seitenlänge a
Ein Würfel mit Seitenlänge a hat das Volumen a³. Die Seitenlänge ist positiv.
Ziehe die dritte Wurzel; die Kubikeinheit wird zur Längeneinheit.
Potenziere die Länge samt Einheit zur Probe.
Übungsaufgabe
Erst selbst lösen. Danach mit dem Rechenweg vergleichen.
Beide Vorzeichen können bei der vierten Potenz 16 ergeben.
Addiere jeweils 1 und prüfe beide Lösungen in der Ausgangsgleichung.
Ist der Wurzelgrad gerade oder ungerade? Ist die Basis positiv, null oder negativ? Wird nur ein Wurzelwert oder die Lösungsmenge einer Gleichung gesucht?
Erst danach wählst du die Regel. Rechne bekannte Potenzwerte möglichst exakt und runde andere Werte erst am Ende.
Beispiel – Schritt für Schritt
4√x − 2
Bei der vierten Wurzel muss der Radikand nichtnegativ sein.
Addiere 2 auf beiden Seiten.
Die Definitionsmenge enthält alle reellen Zahlen ab 2. Am Rand x = 2 ist die Wurzel 0 und erlaubt.
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Mathehelfer
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Eigene Aufgabe lösen →Ein Rücklink führt dich wieder hierher. Dein Übungsstand bleibt in diesem Tab erhalten.
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
Lösung – Schritt für Schritt
3√−64
Bei ungeradem Wurzelgrad ist ein negativer Radikand erlaubt. Prüfe den Kandidaten −4.
Die Kubikwurzel ist die eindeutige reelle Zahl mit dieser dritten Potenz.
Lösung – Schritt für Schritt
4√81
Suche eine nichtnegative Zahl, deren vierte Potenz 81 ist.
Das Wurzelzeichen mit geradem Wurzelgrad bezeichnet den nichtnegativen Wert, nicht ±3.
Lösung – Schritt für Schritt
(x − 1)⁴ = 16
Gesucht sind alle reellen Lösungen der Gleichung, nicht nur der Wurzelwert.
Beide Vorzeichen ergeben bei vierter Potenz 16.
Addiere in beiden Fällen 1.
Beide Proben stimmen.
Die Lösungsmenge enthält beide Werte. Die einzelne vierte Wurzel von 16 ist dagegen nur 2.
Lösung – Schritt für Schritt
32
Die Basis ist positiv. Der Nenner 5 gibt den Wurzelgrad an; 2⁵ = 32.
Der Zähler 2 verlangt Quadrieren.
Das ist der exakte Wert.
Lösung – Schritt für Schritt
27−
Der Nenner 3 verlangt die dritte Wurzel. Die Basis 27 ist positiv.
Der Zähler 2 verlangt Quadrieren.
Der negative Exponent verlangt den Kehrwert. Das Ergebnis ist positiv, nicht −9.
Lösung – Schritt für Schritt
4√x − 2
Der gerade Wurzelgrad 4 erfordert einen nichtnegativen Radikanden.
Addiere 2 auf beiden Seiten.
Alle reellen x ab 2 sind erlaubt, einschließlich x = 2.
Dein nächster Schritt
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Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Eine ungerade Potenz kann negativ sein. Beispielsweise ist (−2)³ = −8, also ist die dritte Wurzel aus −8 gleich −2.
Nein, der Wurzelwert ist 2. Die Gleichung x⁴ = 16 hat hingegen zwei reelle Lösungen.
Die allgemeinen Potenzumformungen sind hier für positive Basen formuliert. Null und negative Basen müssen gesondert geprüft werden.
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Prüfe, welche Zahl in der dritten Potenz 27 ergibt.