1 · Berechne 3√−64.
Lösung und Rechenweg ansehen
−4, denn (−4)³ = −64.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 8–11
Höhere Wurzeln und rationale Exponenten: verstehen und üben
Verstehe Kubikwurzeln, n-te Wurzeln und Potenzen mit einem Bruch als Exponenten. Prüfe Definitionsbedingungen und unterscheide einen Wurzelwert von den Lösungen einer Potenzgleichung.
Potenzieren rückwärts
3√27 = 3, denn 3³ = 27
16 = 8
Lernschritt 1
Was eine n-te Wurzel bedeutet
Die Zahl n heißt Wurzelexponent oder Wurzelgrad und ist hier eine ganze Zahl mit n ≥ 2. Gesucht ist eine Zahl, deren n-te Potenz den Radikanden a ergibt.
Bei geradem n und a ≥ 0 bezeichnet n√a die nichtnegative Lösung. Für a < 0 gibt es dann keine reelle Wurzel. Bei ungeradem n gibt es für jedes reelle a genau eine reelle n-te Wurzel.
Beispiele: 4√81 = 3, 3√−8 = −2 und 5√0 = 0. Prüfe jeweils durch Potenzieren.
Lernschritt 2
Gerade und ungerade Wurzelgrade unterscheiden
Eine gerade Potenz kann nie negativ sein. Deshalb ist eine vierte Wurzel aus −16 im Reellen nicht definiert. Eine ungerade Potenz erhält das Vorzeichen: (−2)³ = −8.
Achtung beim Übergang zur Gleichung: 4√16 ist 2. Die Gleichung x⁴ = 16 hat aber die zwei reellen Lösungen x = 2 und x = −2.
Für x³ = −8 ist x = −2 die einzige reelle Lösung. Bei geradem n gilt n√xⁿ = |x|; bei ungeradem n ist das Ergebnis x.
Lernschritt 3
Ein Bruch im Exponenten
Für a > 0, ganzzahliges m und natürliche n ≥ 2 gilt a = (n√a)ᵐ = n√aᵐ. Du kannst erst die Wurzel ziehen und dann potenzieren.
Beispiel: 27 = (3√27)² = 3² = 9. Der Nenner gibt den Wurzelgrad an, der Zähler die Potenz.
Für a = 0 ist diese Schreibweise bei positivem Exponenten ebenfalls definiert und ergibt 0. Null mit negativem Exponenten ist nicht erlaubt. 0⁰ verwenden wir hier nicht.
Lernschritt 4
Negative rationale Exponenten
Ein negatives Vorzeichen im Exponenten bildet den Kehrwert. Für positive Basis gilt a− = .
Beispiel: 16− = = . Die vierte Wurzel ist 2, die dritte Potenz davon 8.
Verwechsle 16− nicht mit −16. Im zweiten Ausdruck steht das Minus vor der Potenz; das Ergebnis ist −8.
Lernschritt 5
Mit rationalen Exponenten rechnen
Für positive Basen gelten die vertrauten Potenzgesetze. Zum Beispiel: x · x = x² für x > 0. Beim Multiplizieren gleicher Basen werden die Exponenten addiert.
Auch (x)³ = x² gilt für x > 0. Für Summen gibt es keine entsprechende Regel: 3√8 + 27 ist nicht 3√8 + 3√27.
Mit negativer Basis können rationale Potenzen von der verwendeten Definition und gekürzten Darstellung abhängen. Für einen sicheren Einstieg schreibst du ungerade Wurzeln negativer Zahlen ausdrücklich als Wurzel und überträgst die Potenzgesetze nicht ungeprüft. So ist 3√−8 eindeutig −2; beliebige verschachtelte Potenzumformungen können dagegen scheitern.
Lernschritt 6
Potenzgleichungen vollständig lösen
Bei x⁴ = 81 gilt x = ±3. Die Probe liefert 3⁴ = (−3)⁴ = 81. Bei x⁴ = −81 gibt es keine reelle Lösung.
Bei x³ = 125 ist x = 5. Bei (x − 1)³ = 27 ziehst du die dritte Wurzel: x − 1 = 3, also x = 4.
Ein Würfel hat das Volumen 125 cm³. Aus V = a³ folgt a = 3√125 cm = 5 cm. Die Seitenlänge ist positiv. Potenziere zur Probe und prüfe die Einheiten.
Lernschritt 7
Vor jeder Umformung drei Fragen
Ist der Wurzelgrad gerade oder ungerade? Ist die Basis positiv, null oder negativ? Wird nur ein Wurzelwert oder die Lösungsmenge einer Gleichung gesucht?
Erst danach wählst du die Regel. Rechne bekannte Potenzwerte möglichst exakt und runde andere Werte erst am Ende.
Bei Variablen gehört der Definitionsbereich zur Antwort. Zum Beispiel ist 4√x − 2 reell genau für x ≥ 2 definiert.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Berechne 4√81.
Lösung und Rechenweg ansehen
3. Das Wurzelzeichen bezeichnet hier den nichtnegativen Wert.
Erklärung wiederholen →3 · Löse x⁴ = 81 über den reellen Zahlen.
Lösung und Rechenweg ansehen
x = 3 oder x = −3. Beide liefern die vierte Potenz 81.
Erklärung wiederholen →4 · Berechne 32.
Lösung und Rechenweg ansehen
Die fünfte Wurzel von 32 ist 2; 2² = 4.
Erklärung wiederholen →5 · Berechne 9−.
Lösung und Rechenweg ansehen
Der Kehrwert der Quadratwurzel von 9 ist .
Erklärung wiederholen →6 · Für welche reellen x ist 4√x − 2 definiert?
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x − 2 ≥ 0, also x ≥ 2.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Warum ist die Kubikwurzel einer negativen Zahl erlaubt?
Eine ungerade Potenz kann negativ sein. Beispielsweise ist (−2)³ = −8, also ist die dritte Wurzel aus −8 gleich −2.
Ist die vierte Wurzel aus 16 gleich ±2?
Nein, der Wurzelwert ist 2. Die Gleichung x⁴ = 16 hat hingegen zwei reelle Lösungen.
Welche Basis verwenden die Regeln für rationale Exponenten hier?
Die allgemeinen Potenzumformungen sind hier für positive Basen formuliert. Null und negative Basen müssen gesondert geprüft werden.