Mathe · Klasse 9–13 · etwa 35–50 Minuten
Du berechnest Streuungsmaße, unterscheidest die Nenner n und n − 1 und erklärst den Einfluss von Verschiebung und Skalierung.
Mittelwert, Brüche, Quadrieren und Quadratwurzeln.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Drei kurze Aufgaben zeigen dir, wo du einsteigen kannst. Löse sie zunächst ohne Hilfe.
Brüche mit /, Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt und Wurzeln als sqrt(2) eingeben. Mehrere gefragte Werte mit Semikolon trennen. Prozentzahlen und Einheiten nur so eingeben, wie es die Aufgabe verlangt. Ohne Rundungsauftrag exakt rechnen.
02 · Verstehen
Gleicher Mittelwert, andere Streuung
2, 2, 2, 2 → keine Streuung
0, 0, 4, 4 → deutliche Streuung
Eine Datenliste enthält beobachtete Werte, zum Beispiel vier gemessene Längen. Die Varianz beschreibt die Streuung um deren Mittelwert. Dazu werden Abweichungen quadriert, damit sich positive und negative Werte nicht aufheben.
Unterscheide zwei Ziele: Möchtest du nur die vorliegenden Daten beschreiben oder aus einer Stichprobe die Varianz einer größeren Grundgesamtheit schätzen? Diese Entscheidung beeinflusst den Nenner.
Hier bezeichnet v die beschreibende Varianz mit Nenner n und s² die korrigierte Stichprobenvarianz mit Nenner n − 1. Andere Bücher verwenden andere Symbole. Verlasse dich deshalb auf die Definition in der Aufgabe.
Beispiel · Schritt für Schritt
Messwerte: 2 cm, 4 cm, 4 cm, 6 cm
Addiere alle Messwerte und teile durch ihre Anzahl.
Der Mittelwert hat dieselbe Einheit wie die Daten.
Ziehe den Mittelwert von jedem Messwert ab und quadriere das Ergebnis.
| Wert in cm | Abweichung in cm | Quadrat in cm² |
|---|---|---|
| 2 | −2 | 4 |
| 4 | 0 | 0 |
| 4 | 0 | 0 |
| 6 | 2 | 4 |
Beispiel · Schritt für Schritt
Messwerte: 2 cm, 4 cm, 4 cm, 6 cm
Mittelwert: x̄ = 4 cm
Ziehe den Mittelwert vom ersten Wert ab. Das Quadrat der Abweichung ist (−2 cm)² = 4 cm².
Der zweite und dritte Wert liegen jeweils beim Mittelwert. Beide tragen 0 cm² zur Quadratsumme bei.
Die letzte Abweichung ist 2 cm; ihr Quadrat beträgt 4 cm².
Kontrolle: Die vorzeichenbehafteten Abweichungen vom Mittelwert summieren sich zu null.
Q bezeichnet hier die Quadratsumme. Durch das Quadrieren heben sich positive und negative Abweichungen nicht auf.
v =
Beispiel · Schritt für Schritt
2 cm, 4 cm, 4 cm, 6 cm
n = 4 · Q = 8 cm²
Ziel: die vorliegenden Daten beschreiben
Zum Beschreiben einer nichtleeren Datenliste teile die Quadratsumme durch die Anzahl n der Beobachtungen.
Die beschreibende Varianz hat die quadrierte Einheit.
Die Standardabweichung ist die nichtnegative Quadratwurzel der Varianz. Runde erst das Endergebnis auf drei Dezimalstellen.
Die Standardabweichung hat dieselbe Einheit wie die Daten. Die Varianz hat die quadrierte Einheit. Eine Varianz von 2 cm² ist daher nicht dasselbe wie eine Standardabweichung von 2 cm.
Die Standardabweichung ist ein Streuungsmaß; sie ist nicht allgemein der mittlere absolute Abstand und garantiert auch nicht, dass alle Werte in einem bestimmten Abstand vom Mittelwert liegen.
Verschiebe die beiden äußeren Messwerte gleich weit nach außen oder innen. Die beiden mittleren Werte bleiben bei 4 cm. Vermute zuerst: Was passiert mit Mittelwert, Varianz und Standardabweichung?
Messwerte: 2; 4; 4; 6 cm. Mittelwert: 4 cm.
Quadratsumme: 2² + 0² + 0² + 2² = 8 cm².
Varianz v = 8 : 4 = 2 cm². Standardabweichung √v ≈ 1,414 cm.
Bei Abstand 0 sind alle vier Werte gleich 4 cm. Alle Abweichungen und damit beide Streuungsmaße sind 0.
Bei Abstand 1 cm ist v = 0,5 cm² und √v ≈ 0,707 cm. Bei Abstand 2 cm ist v = 2 cm² und √v ≈ 1,414 cm. Verdoppelte Abstände ergeben vierfache Quadrate: Die Varianz vervierfacht sich, die Standardabweichung verdoppelt sich.
Der Mittelwert bleibt 4 cm, weil jede Verkleinerung links durch dieselbe Vergrößerung rechts ausgeglichen wird. Er beschreibt die Lage; die Streuungsmaße beschreiben, wie weit die Werte darum verteilt sind.
s² =
Soll eine unabhängige, identisch verteilte Zufallsstichprobe die Varianz der Grundgesamtheit schätzen, wird häufig die korrigierte Stichprobenvarianz verwendet. Sie ist unter diesen Voraussetzungen und bei endlicher Varianz erwartungstreu. Dafür brauchst du n ≥ 2.
Der Mittelwert wurde bereits aus derselben Stichprobe geschätzt. Dadurch müssen sich die Abweichungen zu 0 addieren. Im Beispiel sind die ersten drei Abweichungen −2 cm, 0 cm und 0 cm. Die vierte muss dann +2 cm sein – sie ist bereits festgelegt. Von vier Abweichungen sind also nur drei frei wählbar. Das veranschaulicht den „verlorenen Freiheitsgrad“. Für den Grund, warum diese Korrektur beim Schätzen nötig ist, klappe die Vertiefung auf.
Der Stichprobenmittelwert passt besonders gut zu den beobachteten Werten: Um ihn ist die Quadratsumme am kleinsten. Teilt man diese Summe beim Schätzen durch n, fällt das Ergebnis über viele Zufallsstichproben im Mittel zu klein aus. Unter den oben genannten Voraussetzungen gleicht die Division durch n − 1 diese systematische Unterschätzung aus.
„Erwartungstreu“ bedeutet dabei: Im Mittel über viele Stichproben stimmt der Schätzer mit der Varianz der Grundgesamtheit überein. Eine einzelne Stichprobe kann trotzdem zu hoch oder zu niedrig liegen.
Beispiel · Schritt für Schritt
2 cm, 4 cm, 4 cm, 6 cm
n = 4 · Q = 8 cm²
Gesucht: korrigierte Stichprobenvarianz s²
Für die korrigierte Stichprobenvarianz werden n − 1 Freiheitsgrade verwendet; n muss mindestens 2 sein.
Verwende dieselbe Quadratsumme, aber den Nenner 3 statt 4.
Das ist die auf drei Dezimalstellen gerundete korrigierte Stichprobenvarianz.
Ziehe die Wurzel aus dem ungerundeten Wert. Die Wurzel s ist nicht automatisch ebenfalls ein erwartungstreuer Schätzer der Standardabweichung. Beachte Definition und Ziel, ohne die Nenner zu mischen.
Beispiel · Schritt für Schritt
Wert 1: zweimal
Wert 3: zweimal
Ziel: die Daten beschreiben
Die Tabelle „Wert 1 kommt zweimal vor, Wert 3 kommt zweimal vor“ enthält vier Beobachtungen.
Addiere die absoluten Häufigkeiten.
Gewichte jeden Wert mit seiner Häufigkeit.
Auch die quadrierten Abweichungen zählen entsprechend ihren Häufigkeiten.
Zum Beschreiben der Daten teile durch n = 4.
Verwende als n die Anzahl aller Beobachtungen, nicht die Anzahl verschiedener Tabellenzeilen. Bei ungleichen Häufigkeiten ist auch der Mittelwert gewichtet.
Beispiel · Schritt für Schritt
Wert 1: dreimal
Wert 5: einmal
Ziel: die Daten beschreiben
Hier sind die Häufigkeiten ungleich: dreimal 1 und einmal 5.
Der Mittelwert ist gewichtet. Einfach die verschiedenen Werte 1 und 5 zu mitteln wäre falsch.
Gewichte auch hier die quadrierten Abweichungen.
Drei kleine und eine große quadrierte Abweichung werden addiert.
Verwende die Anzahl aller vier Beobachtungen als Nenner.
Beispiel · Schritt für Schritt
Daten: 2, 4, 4, 6
Zu jedem Wert werden 10 addiert.
Addiere zu jedem Datenwert 10.
Der Mittelwert verschiebt sich um dieselbe Zahl.
Die Abstände zum ebenfalls verschobenen Mittelwert bleiben gleich.
Die Varianz und die Standardabweichung ändern sich durch Verschieben nicht.
Beispiel · Schritt für Schritt
Jeder Datenwert wird mit c multipliziert.
Beispiel: c = 2 und v = 2
Multiplizierst du jeden Datenwert mit c, werden auch alle Abweichungen mit c multipliziert. Ihre Quadrate erhalten den Faktor c².
Die Standardabweichung erhält den Betrag des Faktors, da sie nichtnegativ ist. Das gilt auch bei negativen Skalierungsfaktoren.
Im Beispiel vervierfacht eine Verdopplung der Daten die Varianz.
Die ursprüngliche Standardabweichung √2 verdoppelt sich.
Die Varianz kann nie negativ sein. Sie ist genau dann 0, wenn alle Werte gleich sind. Sehr große Abweichungen fallen durch das Quadrieren stark ins Gewicht.
Notiere n, die Einheit und die verwendete Definition. Berechne den Mittelwert, dann alle Abweichungen und ihre Quadrate. Addiere die Quadrate und teile durch den passenden Nenner.
Ziehe für die Standardabweichung erst am Ende die Wurzel. Runde Zwischenwerte möglichst nicht. Kontrolliere: Quadratsumme ≥ 0, Einheit der Varianz quadriert, Einheit der Standardabweichung wie bei den Daten.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen ist ein anderes Ausgangsformat: Dort werden mit Wahrscheinlichkeiten gewichtete Abweichungen vom Erwartungswert verwendet. Eine gemessene Stichprobe und das theoretische Modell sind zu unterscheiden.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Rechne und begründe zuerst auf Papier. v bezeichnet die beschreibende Varianz mit Nenner n, s² die korrigierte Stichprobenvarianz mit Nenner n − 1. Zwischenwerte nicht runden.
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Dein Wissen anwenden
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
Lösung · Schritt für Schritt
Daten: 1, 3, 5
Es liegen drei Beobachtungen vor.
Addiere die Werte und teile durch ihre Anzahl.
Das ist der Mittelwert.
Lösung · Schritt für Schritt
Daten: 1, 3, 5
Gesucht: beschreibende Varianz v
Verwende den Mittelwert der Daten 1, 3 und 5.
Quadriere die Abweichungen vom Mittelwert.
Addiere die Quadrate.
Zum Beschreiben teile durch n = 3. Der Bruch ist exakt; die Dezimalzahl ist auf drei Stellen gerundet.
Lösung · Schritt für Schritt
Daten: 1, 3, 5
Gesucht: korrigierte Stichprobenvarianz s²
Die Quadratsumme derselben Werte bleibt unverändert.
Für die korrigierte Stichprobenvarianz verwende den Nenner n − 1.
Teile die Quadratsumme durch 2.
Lösung · Schritt für Schritt
s² = 4 cm²
Gesucht: Standardabweichung s
Die Standardabweichung ist die nichtnegative Quadratwurzel der Varianz.
Die quadrierte Einheit wird wieder zur ursprünglichen Einheit.
Lösung · Schritt für Schritt
Alle Datenwerte steigen um 7.
yᵢ = xᵢ + 7
Wenn alle Datenwerte um 7 steigen, steigt ihr Mittelwert ebenfalls um 7.
Vergleiche die neuen Abweichungen vom neuen Mittelwert.
Die 7 hebt sich auf. Abweichungen, Quadratsumme und damit die Varianz bleiben gleich.
Nur wenn jede Zeile genau eine Beobachtung enthält. Sonst ist n die Summe aller absoluten Häufigkeiten.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Die kompakte Lernhilfe und ein passender Buchband ergänzen sich beim Wiederholen und Vertiefen. Beachte die jeweilige Klassenstufe.
5. Klasse · 6. Klasse · 7. Klasse · 8. Klasse · 9. Klasse · 10. Klasse
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Dranbleiben
Wiederhole die Erklärung zu deinem Fehler. Rechne danach eine ähnliche Aufgabe ohne geöffneten Tipp oder Rechenweg.
Gezielt weiterüben →Wiederhole in zwei bis drei Tagen fünf Aufgaben ohne Hilfe. Danach kannst du das nächste Thema angehen.
Erwartungswert und Zufallsvariablen kennenlernen →Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Beides hat eine andere Aufgabe. Zum Beschreiben der Datenliste wird hier durch n geteilt, für den korrigierten Varianzschätzer durch n − 1. Die Aufgabenstellung entscheidet.
Nein. Sie ist die nichtnegative Quadratwurzel einer nichtnegativen Varianz.
Nein. Auswahl der Beobachtungen, Messqualität und passende Fragestellung bleiben wichtig. Ein Streuungsmaß allein beweist keine Repräsentativität.
Notiere alle vier Messwerte. Der doppelte Wert 4 cm zählt zweimal; n = 4.