1 · Bestimme den Mittelwert von 1, 3 und 5.
Lösung und Rechenweg ansehen
(1 + 3 + 5) geteilt durch 3 = 3.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 9–13
Empirische Varianz und Standardabweichung: verstehen und üben
Beschreibe, wie stark Messwerte streuen. Berechne Mittelwert, quadrierte Abweichungen und Standardabweichung und entscheide, wann durch n oder durch n − 1 geteilt wird.
Gleicher Mittelwert, andere Streuung
2, 2, 2, 2 → keine Streuung
0, 0, 4, 4 → deutliche Streuung
Lernschritt 1
Zuerst die Fragestellung klären
Eine Datenliste enthält beobachtete Werte, zum Beispiel vier gemessene Längen. Die Varianz beschreibt die Streuung um deren Mittelwert. Dazu werden Abweichungen quadriert, damit sich positive und negative Werte nicht aufheben.
Unterscheide zwei Ziele: Möchtest du nur die vorliegenden Daten beschreiben oder aus einer Stichprobe die Varianz einer größeren Grundgesamtheit schätzen? Diese Entscheidung beeinflusst den Nenner.
Hier bezeichnet v die beschreibende Varianz mit Nenner n und s² die korrigierte Stichprobenvarianz mit Nenner n − 1. Andere Bücher verwenden andere Symbole. Verlasse dich deshalb auf die Definition in der Aufgabe.
Lernschritt 2
Ein Beispiel vollständig vorbereiten
Die Messwerte lauten 2 cm, 4 cm, 4 cm und 6 cm. Ihre Anzahl ist n = 4. Der Mittelwert beträgt (2 + 4 + 4 + 6) geteilt durch 4, also 4 cm.
Ziehe den Mittelwert von jedem Messwert ab und quadriere das Ergebnis.
| Wert in cm | Abweichung in cm | Quadrat in cm² |
|---|---|---|
| 2 | −2 | 4 |
| 4 | 0 | 0 |
| 4 | 0 | 0 |
| 6 | 2 | 4 |
Die Summe der Abweichungen ist 0. Ihre Quadrate ergeben dagegen 8 cm². Genau diese Quadratsumme brauchst du im nächsten Schritt.
Lernschritt 3
Die vorliegende Datenliste beschreiben
v =
Für unsere vier Werte gilt v = 8 cm² geteilt durch 4 = 2 cm². Die zugehörige Standardabweichung ist √2 cm ≈ 1,414 cm.
Die Standardabweichung hat dieselbe Einheit wie die Daten. Die Varianz hat die quadrierte Einheit. Eine Varianz von 2 cm² ist daher nicht dasselbe wie eine Standardabweichung von 2 cm.
Die Standardabweichung ist ein Streuungsmaß; sie ist nicht allgemein der mittlere absolute Abstand und garantiert auch nicht, dass alle Werte in einem bestimmten Abstand vom Mittelwert liegen.
Lernschritt 4
Warum manchmal n − 1 im Nenner steht
s² =
Soll eine unabhängige, identisch verteilte Zufallsstichprobe die Varianz der Grundgesamtheit schätzen, wird häufig die korrigierte Stichprobenvarianz verwendet. Sie ist unter diesen Voraussetzungen und bei endlicher Varianz erwartungstreu. Dafür brauchst du n ≥ 2.
Der Mittelwert wurde bereits aus derselben Stichprobe geschätzt. Die Abweichungen sind dadurch nicht unabhängig frei wählbar: Ihre Summe muss 0 sein. Die Korrektur berücksichtigt den dabei verlorenen Freiheitsgrad.
Im Beispiel ist s² = cm² ≈ 2,667 cm² und s ≈ 1,633 cm. Die Wurzel s ist nicht automatisch ebenfalls ein erwartungstreuer Schätzer der Standardabweichung. Für Schulaufgaben reicht meist: Definition und Ziel beachten, die Nenner nicht mischen.
Lernschritt 5
Häufigkeiten richtig berücksichtigen
Sind Werte zusammengefasst, musst du ihre Häufigkeiten einbeziehen. Die Tabelle „Wert 1 kommt zweimal vor, Wert 3 kommt zweimal vor“ steht für 1, 1, 3, 3. Der Mittelwert ist 2, die beschreibende Varianz 1.
Verwende als n die Anzahl aller Beobachtungen, nicht die Anzahl verschiedener Tabellenzeilen. Bei ungleichen Häufigkeiten ist auch der Mittelwert gewichtet.
Beispiel 1, 1, 1, 5: Mittelwert 2, Quadratsumme 1 + 1 + 1 + 9 = 12. Damit v = 3. Einfach den Mittelwert der verschiedenen Werte 1 und 5 zu nehmen würde bereits den ersten Schritt verfälschen.
Lernschritt 6
Verschieben und skalieren verstehen
Addierst du zu jedem Datenwert dieselbe Zahl, verschiebt sich der Mittelwert genauso. Die Abweichungen und damit die Streuung bleiben gleich. Aus 2, 4, 4, 6 wird durch +10 die Liste 12, 14, 14, 16; v bleibt 2.
Multiplizierst du jeden Datenwert mit c, wird die Varianz mit c² multipliziert und die Standardabweichung mit |c|. Bei Verdopplung werden aus v = 2 und Standardabweichung √2 die Werte 8 und 2√2.
Die Varianz kann nie negativ sein. Sie ist genau dann 0, wenn alle Werte gleich sind. Sehr große Abweichungen fallen durch das Quadrieren stark ins Gewicht.
Lernschritt 7
Dein Rechenplan mit Kontrollpunkten
Notiere n, die Einheit und die verwendete Definition. Berechne den Mittelwert, dann alle Abweichungen und ihre Quadrate. Addiere die Quadrate und teile durch den passenden Nenner.
Ziehe für die Standardabweichung erst am Ende die Wurzel. Runde Zwischenwerte möglichst nicht. Kontrolliere: Quadratsumme ≥ 0, Einheit der Varianz quadriert, Einheit der Standardabweichung wie bei den Daten.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen ist ein anderes Ausgangsformat: Dort werden mit Wahrscheinlichkeiten gewichtete Abweichungen vom Erwartungswert verwendet. Eine gemessene Stichprobe und das theoretische Modell sind zu unterscheiden.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Bestimme die beschreibende Varianz von 1, 3 und 5.
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Quadratsumme 4 + 0 + 4 = 8. Mit n = 3 ist v = ≈ 2,667.
Erklärung wiederholen →3 · Wie lautet die korrigierte Stichprobenvarianz derselben Werte?
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Nenner n − 1 = 2. Deshalb s² = 8 geteilt durch 2 = 4.
Erklärung wiederholen →4 · Welche Standardabweichung gehört zu s² = 4 cm²?
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s = 2 cm, die nichtnegative Quadratwurzel.
Erklärung wiederholen →5 · Was passiert mit der Varianz, wenn alle Werte um 7 steigen?
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Sie bleibt gleich; auch der Mittelwert steigt um 7, die Abweichungen ändern sich nicht.
Erklärung wiederholen →6 · Darf n bei einer Häufigkeitstabelle die Anzahl der Zeilen sein?
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Nur wenn jede Zeile genau eine Beobachtung enthält. Sonst ist n die Summe aller absoluten Häufigkeiten.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
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Spickzettel ansehen →Häufige Fragen
Ist n oder n − 1 richtig?
Beides hat eine andere Aufgabe. Zum Beschreiben der Datenliste wird hier durch n geteilt, für den korrigierten Varianzschätzer durch n − 1. Die Aufgabenstellung entscheidet.
Kann eine Standardabweichung negativ sein?
Nein. Sie ist die nichtnegative Quadratwurzel einer nichtnegativen Varianz.
Reicht eine kleine Standardabweichung für eine gute Studie?
Nein. Auswahl der Beobachtungen, Messqualität und passende Fragestellung bleiben wichtig. Ein Streuungsmaß allein beweist keine Repräsentativität.