Differentialgleichungen bei Wachstum und Zerfall: verstehen und üben

Lernschritt 1

Was eine Differentialgleichung aussagt

Eine Differentialgleichung verknüpft eine gesuchte Funktion mit einer oder mehreren ihrer Ableitungen. In einem Bestandsmodell bezeichnet y(t) den Bestand zur Zeit t und y′(t) seine momentane Änderungsrate.

Die Gleichung y′ = ky beschreibt zunächst eine Änderungsregel, noch keinen einzelnen Verlauf. Erst eine Anfangsbedingung wie y(0) = 100 legt fest, mit welchem Bestand das Modell startet.

Anders als bei einer gewöhnlichen Gleichung suchst du hier eine Funktion. Eine Lösung muss die Differentialgleichung für alle betrachteten Zeiten erfüllen.

Lernschritt 2

Exponentielles Wachstum und Zerfall

Für eine konstante Zahl k lautet das Modell:

y′(t) = k · y(t)

Die allgemeine Lösung ist:

y(t) = C · e^kt

Die Anfangsbedingung y(0) = y₀ ergibt C = y₀, weil e⁰ = 1. Somit:

y(t) = y₀ · e^kt

Für einen positiven Anfangsbestand gilt: k > 0 führt zu Wachstum, k < 0 zu Zerfall und k = 0 zu einem konstanten Bestand. Bei y₀ = 0 ist y(t) = 0 die Lösung für jedes k.

Lernschritt 3

Die Lösung durch Ableiten prüfen

Nimm y(t) = 100e hoch 0,2t. Mit der Kettenregel ergibt sich:

y′(t) = 20e^0,2t = 0,2 · y(t)

Die Funktion erfüllt also y′ = 0,2y. Außerdem ist y(0) = 100. Damit sind sowohl Differentialgleichung als auch Anfangsbedingung geprüft.

Wenn t in Stunden gemessen wird, hat k hier die Einheit pro Stunde. Der Exponent kt muss einheitenlos sein. Der Anfangswert 100 ist ein Bestand, die anfängliche Änderungsrate 20 dagegen ein Bestand pro Stunde.

Lernschritt 4

Wie man auf die Exponentiallösung kommt

Für eine Lösung, die nicht 0 ist, kannst du y′ = ky durch y teilen:

y′(t)y(t) = k

Die linke Seite ist die Ableitung von ln|y(t)|. Integrieren liefert ln|y(t)| = kt + C₁. Nach dem Exponentieren und Zusammenfassen der Konstanten erhältst du y(t) = Ce hoch kt.

Lernschritt 5

k aus zwei Bestandswerten bestimmen

Ein positiver Bestand wächst in 3 Stunden von 100 auf 200. Es gilt:

200 = 100e^3k → 2 = e^3k

k = ln(2)3 ≈ 0,2310 pro Stunde

Damit lautet die Funktion y(t) = 100e hoch ((ln 2) · t geteilt durch 3). Nach 6 Stunden ist der Bestand 400. Allgemein für positive Bestände gilt:

k = ln(y(t₁)y₀)t₁

Diese Formel setzt t₁ ungleich 0 und das Modell y(0) = y₀ voraus. Bei einem anderen Startzeitpunkt verwendest du die entsprechende Zeitdifferenz.

Lernschritt 6

Halbwertszeit und Verdopplungszeit

Bei Zerfall mit k < 0 soll nach der Halbwertszeit T nur noch die Hälfte des positiven Anfangsbestands vorhanden sein. Aus e hoch kT = ein Halb folgt:

T_halb = ln(2)−k

Beispiel: y′ = −0,1y und y(0) = 80 ergeben y(t) = 80e hoch −0,1t. Die Halbwertszeit beträgt ungefähr 6,93 Zeiteinheiten; danach ist der Bestand 40.

Für Wachstum mit k > 0 gilt entsprechend:

T_doppelt = ln(2)k

Bei einem unveränderten k sind diese Zeiten unabhängig von der Größe des positiven Anfangsbestands.

Lernschritt 7

Kontinuierliche Rate und Prozentzuwachs unterscheiden

k = 0,2 pro Stunde bedeutet nicht exakt 20 Prozent Zuwachs nach einer Stunde. Der tatsächliche Stundenfaktor ist e hoch 0,2 ≈ 1,2214, also ungefähr 22,14 Prozent Zuwachs.

Wenn der Bestand dagegen pro Stunde genau um 20 Prozent zunimmt, ist der Stundenfaktor 1,2. Das passende kontinuierliche k ist ln(1,2) ≈ 0,1823 pro Stunde.

Die diskrete Schreibweise y(t) = y₀q hoch t und die kontinuierliche Schreibweise y(t) = y₀e hoch kt hängen bei derselben Zeiteinheit durch q = e hoch k zusammen.

Lernschritt 8

Beschränktes Wachstum: Änderung proportional zum Rest

Wächst eine Größe auf eine feste Grenze S zu, passt häufig ein anderes Modell:

y′(t) = k · (S − y(t)), k > 0

Die Änderung ist proportional zur noch fehlenden Menge. Mit y(0) = y₀ lautet die Lösung:

y(t) = S − (S − y₀)e^−kt

Beispiel: S = 100, k = 0,3, y₀ = 20. Dann gilt y(t) = 100 − 80e hoch −0,3t. Der Anfangswert ist 20, die Anfangsrate 24 und der Grenzwert für große Zeiten 100.

Die Ableitung ist 24e hoch −0,3t. Die rechte Seite der Differentialgleichung ergibt ebenfalls 0,3 · 80e hoch −0,3t. Beide stimmen überein.

Liegt y₀ unter S, steigt der Bestand. Liegt y₀ über S, fällt er auf S zu. Bei y₀ = S bleibt er konstant. Im Modell wird die Grenze aus einem anderen Startwert erst im Grenzwert erreicht.

Lernschritt 9

Das passende Modell aus dem Text erkennen

Ein Modell ist eine begründete Vereinfachung. Konstantes exponentielles Wachstum kann reale Ressourcenbegrenzungen nicht dauerhaft beschreiben. Prüfe deshalb, für welchen Zeitraum und unter welchen Bedingungen die Annahme sinnvoll ist.

Das beschränkte Modell ist nicht dasselbe wie logistisches Wachstum. Dort hängt die Rate zusätzlich vom aktuellen Bestand ab.

Lernschritt 10

Dein Rechenplan

1. Definiere Bestand, Zeitvariable und Einheiten.
2. Übersetze die Änderungsbeschreibung in eine Differentialgleichung.
3. Wähle die passende allgemeine Lösungsform.
4. Setze die Anfangsbedingung ein.
5. Bestimme unbekannte Parameter aus weiteren Angaben.
6. Prüfe die Lösung durch Ableiten und Einsetzen.
7. Interpretiere Grenzwerte und Modellgrenzen im Zusammenhang.

Dein Wissen anwenden

Sechs Aufgaben zum Selbstcheck

Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.

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Häufige Fragen