Du löst einfache Anfangswertprobleme, bestimmst Raten und Zeiten und prüfst exponentielles sowie beschränktes Wachstum.
Voraussetzungen ansehen
Exponentialfunktion, Logarithmen und Kettenregel.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Was kannst du schon?
3 kurze Aufgaben
Drei kurze Aufgaben zeigen dir, wo du einsteigen kannst. Löse sie zunächst ohne Hilfe.
Zahlen mit Komma oder Punkt; Brüche mit /. Exakte Werte etwa ln(2), sqrt(2) oder e^2. Mehrere Werte mit Semikolon trennen und die gefragte Reihenfolge beachten. Entscheidungen: ja oder nein.
02 · Verstehen
Was eine Differentialgleichung aussagt
Die Änderungsrate hängt vom Bestand ab
y′(t) = k · y(t)
Je größer der Bestand, desto größer der Betrag seiner Änderung pro Zeiteinheit. Mit konstantem k beschreibt dies exponentielles Wachstum oder Zerfall.
Eine Differentialgleichung verknüpft eine gesuchte Funktion mit einer oder mehreren ihrer Ableitungen. In einem Bestandsmodell bezeichnet y(t) den Bestand zur Zeit t und y′(t) seine momentane Änderungsrate.
Die Gleichung y′ = ky beschreibt zunächst eine Änderungsregel, noch keinen einzelnen Verlauf. Erst eine Anfangsbedingung wie y(0) = 100 legt fest, mit welchem Bestand das Modell startet.
Anders als bei einer gewöhnlichen Gleichung suchst du hier eine Funktion. Eine Lösung muss die Differentialgleichung für alle betrachteten Zeiten erfüllen.
Exponentielles Wachstum und Zerfall
Für eine konstante Zahl k lautet das Modell:
y′(t) = k · y(t)
Die allgemeine Lösung ist:
y(t) = C · ekt
Die Anfangsbedingung y(0) = y₀ ergibt C = y₀, weil e⁰ = 1. Somit:
y(t) = y₀ · ekt
Für einen positiven Anfangsbestand gilt: k > 0 führt zu Wachstum, k < 0 zu Zerfall und k = 0 zu einem konstanten Bestand. Bei y₀ = 0 ist y(t) = 0 die Lösung für jedes k.
Die Lösung durch Ableiten prüfen
Nimm y(t) = 100e hoch 0,2t. Mit der Kettenregel ergibt sich:
Beispiel · Schritt für Schritt
Differentialgleichung und Anfangswert kontrollieren
Gegeben: y(t) = 100e0,2t Zu prüfen: y′ = 0,2y und y(0) = 100
RechnungErklärung zum Schritt
y′(t) = 100 · 0,2e0,2t
1 Mit der Kettenregel ableiten
Leite y(t) = 100e hoch 0,2t mit der Kettenregel ab.
y′(t) = 20e0,2t
2 Die Faktoren zusammenfassen
Multipliziere die konstanten Faktoren.
y′(t) = 0,2 · y(t)
3 Mit der Differentialgleichung vergleichen
Vergleiche mit 0,2 · 100e hoch 0,2t. Die Differentialgleichung ist erfüllt.
y(0) = 100e⁰ = 100
4 Den Anfangswert prüfen
Prüfe zusätzlich die Anfangsbedingung.
Die Funktion erfüllt also y′ = 0,2y. Außerdem ist y(0) = 100. Damit sind sowohl Differentialgleichung als auch Anfangsbedingung geprüft.
Wenn t in Stunden gemessen wird, hat k hier die Einheit pro Stunde. Der Exponent kt muss einheitenlos sein. Der Anfangswert 100 ist ein Bestand, die anfängliche Änderungsrate 20 dagegen ein Bestand pro Stunde.
Wie man auf die Exponentiallösung kommt
Für ein Bestandsmodell mit y(t) > 0 lässt sich die Lösung in vier Schritten herleiten:
1. Durch den Bestand teilen: Hier wird y(t) > 0 vorausgesetzt.
ln(y(t)) = kt + C₁
2 Beide Seiten integrieren
2. Integrieren nach t: Nach der Kettenregel ist y′(t)/y(t) die Ableitung von ln(y(t)).
y(t) = ekt + C₁
3 Die Exponentialfunktion anwenden
3. Wende die Exponentialfunktion auf beide Seiten an.
y(t) = eC₁ · ekt
4 Die Exponentialterme aufteilen
Verwende e hoch (a+b) = e hoch a · e hoch b.
y(t) = C · ekt
5 Die Konstante zusammenfassen
Setze C = e hoch C₁. In dieser Herleitung ist C positiv.
y(0) = C · e⁰ = y₀
6 Den Anfangswert einsetzen
4. Setze die Anfangsbedingung ein. Weil e⁰ = 1, folgt C = y₀.
y(t) = y₀ · ekt
7 Die Lösungsfunktion angeben
Damit ist die Lösung für den positiven Anfangsbestand bestimmt.
Beim Teilen durch y wurde die Nulllösung ausgeschlossen. Sie erfüllt y′ = ky ebenfalls und gehört zu C = 0. Für negative Lösungen verwendet man ln|y(t)|; dann kann C negativ sein. Insgesamt lautet die allgemeine Lösung Cekt mit C ∈ ℝ.
k aus zwei Bestandswerten bestimmen
Ein positiver Bestand wächst in 3 Stunden von 100 auf 200. Es gilt:
Beispiel · Schritt für Schritt
Die Rate aus zwei Bestandswerten bestimmen
Exponentielles Modell · y(0) = 100 · y(3) = 200 Zeit t in Stunden Gesucht: kontinuierliche Rate k
RechnungErklärung zum Schritt
200 = 100e3k
1 Die Bestandswerte einsetzen
Setze den Anfangsbestand 100 und den Bestand 200 nach drei Stunden ein. t wird in Stunden eingesetzt.
2 = e3k
2 Durch den Anfangsbestand teilen
Teile durch 100.
ln(2) = 3k
3 Beide Seiten logarithmieren
Logarithmiere beide positiven Seiten.
k = ln(2)3
4 Nach k auflösen
Teile durch 3. Die Rate hat die Einheit pro Stunde.
k ≈ 0,2310 h−1
5 Die Rate mit ihrer Einheit angeben
Runde erst am Ende. Verwende für weitere Rechnungen den exakten Wert.
Damit lautet die Funktion y(t) = 100e hoch ((ln 2) · t geteilt durch 3). Nach 6 Stunden ist der Bestand 400. Allgemein für positive Bestände gilt:
k = ln(y(t₁)y₀)t₁
Diese Formel setzt t₁ ungleich 0 und das Modell y(0) = y₀ voraus. Bei einem anderen Startzeitpunkt verwendest du die entsprechende Zeitdifferenz.
Halbwertszeit und Verdopplungszeit
Bei Zerfall mit k < 0 soll nach der Halbwertszeit T nur noch die Hälfte des positiven Anfangsbestands vorhanden sein. Aus e hoch kT = ein Halb folgt:
Beispiel: y′ = −0,1y mit y(0) = 80. k = −0,1 gilt pro verwendeter Zeiteinheit.
e−0,1T = 0,5
2 Den halben Anfangsbestand ansetzen
Nach der Halbwertszeit soll die Hälfte des Anfangsbestands übrig sein.
−0,1T = ln(0,5)
3 Beide Seiten logarithmieren
Logarithmiere beide Seiten.
T = ln(2)0,1
4 Nach der Zeit auflösen
Löse nach T auf; ln(0,5) = −ln(2).
T ≈ 6,93
5 Die Halbwertszeit angeben
Die Halbwertszeit beträgt ungefähr 6,93 Zeiteinheiten. Nach der exakten Halbwertszeit ist der Bestand 40.
Für Wachstum mit k > 0 gilt entsprechend:
Tdoppelt = ln(2)k
Bei einem unveränderten k sind diese Zeiten unabhängig von der Größe des positiven Anfangsbestands.
Selbst ausprobieren: Was verändert die Zeit?
Verändere die beiden Zeiten unabhängig voneinander. Vergleiche jeweils die farbige Kurve mit der gestrichelten Kurve für 3 Stunden. Beide Modelle starten bei 100; dargestellt werden immer dieselben 6 Stunden.
Wachstum: Wie schnell verdoppelt sich der Bestand?
Startbestand: 100. Nach einer Verdopplungszeit sind es 200, nach zwei Verdopplungszeiten 400.
Farbige Kurve: gewählte Verdopplungszeit. Grau gestrichelt: Vergleich mit 3 Stunden; bei gleicher Einstellung liegen die Kurven übereinander. Der Punkt markiert die erste Verdopplung. Die Achsen bleiben beim Verschieben fest.
Verdopplungszeit: 3 Stunden. k ≈ 0,23 pro Stunde. Nach 6 Stunden: 400.
Zerfall: Wie schnell halbiert sich der Bestand?
Startbestand: 100. Nach einer Halbwertszeit bleiben 50, nach zwei Halbwertszeiten 25.
Farbige Kurve: gewählte Halbwertszeit. Grau gestrichelt: Vergleich mit 3 Stunden; bei gleicher Einstellung liegen die Kurven übereinander. Der Punkt markiert die erste Halbierung. Die Achsen bleiben beim Verschieben fest.
Halbwertszeit: 3 Stunden. k ≈ -0,23 pro Stunde. Nach 6 Stunden: 25.
Die Bestandsachsen sind unterschiedlich skaliert: Wachstum von 0 bis 800, Zerfall von 0 bis 100. Vergleiche daher die Kurven innerhalb einer Grafik.
Wachstum: y(t) = 100 · 2t/T
Zerfall: y(t) = 100 · 2−t/T
Dabei ist T die jeweilige Verdopplungszeit oder Halbwertszeit; t und T werden in derselben Zeiteinheit angegeben.
Forscherauftrag: Erst vermuten, dann ausprobieren
Stelle beide Zeiten auf 6 Stunden. Welcher Bestand ist jeweils nach 6 Stunden erreicht?
Halbiere beide Zeiten auf 3 Stunden. Verdoppelt beziehungsweise halbiert sich dadurch einfach der Endbestand?
Vergleicht eure Erklärung: Warum bedeutet eine kürzere Zeit bei beiden Modellen eine schnellere Veränderung?
Beobachtungen und Erklärung ansehen
Bei T = 6 Stunden gibt es eine Verdopplung beziehungsweise Halbierung: 200 und 50. Bei T = 3 Stunden gibt es zwei: 400 und 25. In diesem Vergleich verdoppelt beziehungsweise halbiert sich der Endbestand tatsächlich.
Das ist jedoch kein allgemeiner Faktor beim Halbieren von T: Von T = 3 auf T = 1,5 gäbe es in 6 Stunden vier statt zwei Vorgänge – also 1600 statt 400 beziehungsweise 6,25 statt 25. Entscheidend ist die Anzahl t/T.
Je kleiner T, desto größer ist |k| = ln(2)/T. Wachstum verläuft schneller nach oben, Zerfall schneller nach unten. Der zerfallende Bestand bleibt im Modell positiv und nähert sich 0 an.
Kontinuierliche Rate und Prozentzuwachs unterscheiden
Beispiel · Schritt für Schritt
Die kontinuierliche Rate in Prozentzuwachs übersetzen
Kontinuierliche Rate k = 0,2 pro Stunde Gesucht: Wachstumsfaktor und prozentualer Zuwachs in einer Stunde
RechnungErklärung zum Schritt
q = e0,2 ≈ 1,2214
1 Den Stundenfaktor berechnen
Für k = 0,2 pro Stunde ist dies der Faktor über eine Stunde.
(q − 1) · 100 ≈ 22,14
2 Den prozentualen Zuwachs bestimmen
Die Prozentzahl des Zuwachses beträgt ungefähr 22,14. k = 0,2 bedeutet daher nicht exakt 20 % Zuwachs nach einer Stunde.
Beispiel · Schritt für Schritt
Aus dem Prozentzuwachs die kontinuierliche Rate bestimmen
Bestandszuwachs: genau 20 % pro Stunde Gesucht: kontinuierliche Rate k im Modell y′ = ky
RechnungErklärung zum Schritt
q = 1 + 0,20 = 1,2
1 Den Stundenfaktor aufstellen
Wenn der Bestand pro Stunde genau um 20 % zunimmt, ist der Stundenfaktor 1,2.
k = ln(1,2)
2 Den Faktor logarithmieren
Bei t in Stunden erhältst du die kontinuierliche Rate durch Logarithmieren des Stundenfaktors.
k ≈ 0,1823 h−1
3 Die kontinuierliche Rate angeben
Die kontinuierliche Rate beträgt ungefähr 0,1823 pro Stunde.
Die diskrete Schreibweise y(t) = y₀q hoch t und die kontinuierliche Schreibweise y(t) = y₀e hoch kt hängen bei derselben Zeiteinheit durch q = e hoch k zusammen.
Beschränktes Wachstum: Änderung proportional zum Rest
Wächst eine Größe auf eine feste Grenze S zu, passt häufig ein anderes Modell:
y′(t) = k · (S − y(t)), k > 0
Beispiel · Schritt für Schritt
Den Abstand zur Grenze als exponentiellen Rest beschreiben
Modell y′ = k(S − y) · k > 0 · konstante Grenze S Anfangswert y(0) = y₀ Gesucht: zeitlicher Verlauf des Rests z = S − y
RechnungErklärung zum Schritt
z(t) = S − y(t)
1 Den Rest definieren
Die Änderung ist proportional zur noch fehlenden Menge. Um den negativen Exponenten zu verstehen, betrachte diesen Rest.
z′(t) = −y′(t)
2 Die Restfunktion ableiten
Weil S konstant ist, fällt seine Ableitung weg.
z′(t) = −kz(t)
3 Die Differentialgleichung für den Rest aufstellen
Setze y′ = k(S − y) und z = S − y ein. Der Rest zerfällt exponentiell.
z(0) = S − y₀
4 Den Anfangsrest bestimmen
Bestimme den Anfangswert des Rests.
z(t) = (S − y₀)e−kt
5 Die Restfunktion angeben
Verwende die Exponentiallösung mit Rate −k. Die Formel gilt auch für einen negativen Rest, wenn y₀ > S.
Mit y(t) = S − z(t) folgt:
y(t) = S − (S − y₀)e−kt
Beispiel · Schritt für Schritt
Das beschränkte Wachstum berechnen
Beschränktes Modell · S = 100 · k = 0,3 · y₀ = 20 Gesucht: Funktion, Anfangsrate und Grenzwert
RechnungErklärung zum Schritt
S = 100, k = 0,3, y₀ = 20
1 Die Modellwerte zuordnen
Setze die angegebenen Werte in das beschränkte Wachstumsmodell ein.
S − y₀ = 100 − 20 = 80
2 Die anfangs fehlende Menge berechnen
Die anfangs fehlende Menge beträgt 80.
y(t) = 100 − 80e−0,3t
3 Die Lösungsfunktion aufstellen
Setze den Anfangsrest in die Lösung ein.
y(0) = 100 − 80 = 20
4 Den Anfangswert prüfen
Der Anfangswert stimmt.
y′(0) = 0,3 · 80 = 24
5 Die Anfangsrate bestimmen
Die Anfangsrate ist 24 Bestandseinheiten pro Zeiteinheit.
y(t) → 100 für t → ∞
6 Den Grenzwert untersuchen
Die Exponentialfunktion geht gegen 0; der Bestand nähert sich der Grenze 100.
Leite die Lösung mit der Kettenregel ab: −80 · (−0,3) = 24.
100 − y(t) = 80e−0,3t
2 Die fehlende Menge berechnen
Berechne die noch fehlende Menge.
0,3(100 − y(t)) = 24e−0,3t
3 Beide Seiten der Differentialgleichung vergleichen
Die rechte Seite der Differentialgleichung stimmt mit der Ableitung überein.
Liegt y₀ unter S, steigt der Bestand. Liegt y₀ über S, fällt er auf S zu. Bei y₀ = S bleibt er konstant. Im Modell wird die Grenze aus einem anderen Startwert erst im Grenzwert erreicht.
Das passende Modell aus dem Text erkennen
Beschreibung
Differentialgleichung
Konstante Änderung pro Zeiteinheit
y′ = c
Änderung proportional zum aktuellen Bestand
y′ = ky
Änderung proportional zum Abstand zur Grenze S
y′ = k(S − y)
Ein Modell ist eine begründete Vereinfachung. Konstantes exponentielles Wachstum kann reale Ressourcenbegrenzungen nicht dauerhaft beschreiben. Prüfe deshalb, für welchen Zeitraum und unter welchen Bedingungen die Annahme sinnvoll ist.
Das beschränkte Modell ist nicht dasselbe wie logistisches Wachstum. Dort hängt die Rate zusätzlich vom aktuellen Bestand ab.
Dein Rechenplan
Definiere Bestand, Zeitvariable und Einheiten.
Übersetze die Änderungsbeschreibung in eine Differentialgleichung.
Wähle die passende allgemeine Lösungsform.
Setze die Anfangsbedingung ein.
Bestimme unbekannte Parameter aus weiteren Angaben.
Prüfe die Lösung durch Ableiten und Einsetzen.
Interpretiere Grenzwerte und Modellgrenzen im Zusammenhang.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Übe in deinem Tempo
18 Aufgaben · 3 Stufen
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Rechne und begründe zuerst auf Papier. Gib anschließend den gefragten Term, die Wertefolge oder das Ergebnis ein. Beachte Voraussetzungen und Sonderfälle.
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Wie sicher bist du jetzt?
5 gemischte Aufgaben
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Lieber auf Papier? Weitere Aufgaben mit Rechenwegen
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
1 · Löse y′ = 0,2y mit y(0) = 100 und prüfe beide Bedingungen.
6 · Ein Bestand startet bei 20 und nähert sich 100. Seine Änderungsrate beträgt das 0,3-Fache der fehlenden Menge pro Stunde. Stelle das Modell auf und bestimme Anfangsrate und Grenzwert.
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Das beschränkte Wachstum modellieren
Anfangsbestand 20 · Grenze 100 Änderungsrate: 0,3-Faches der fehlenden Menge pro Stunde Gesucht: Modell, Anfangsrate und Grenzwert
RechnungErklärung zum Schritt
y′ = 0,3(100 − y)
1 Die Differentialgleichung aufstellen
Modell: Die Rate ist proportional zur fehlenden Menge. Dazu gilt y(0) = 20; t wird in Stunden gemessen.
100 − 20 = 80
2 Den Anfangsrest berechnen
Berechne die anfangs fehlende Menge.
y(t) = 100 − 80e−0,3t
3 Die Lösungsfunktion angeben
Setze S = 100, y₀ = 20 und k = 0,3 pro Stunde in die Lösung ein.
y′(0) = 0,3 · 80 = 24
4 Die Anfangsrate berechnen
Die Anfangsrate beträgt 24 Bestandseinheiten pro Stunde.
e−0,3t → 0 für t → ∞
5 Den exponentiellen Rest untersuchen
Der exponentielle Rest verschwindet im Grenzwert.
y(t) → 100 für t → ∞
6 Den Grenzwert des Bestands bestimmen
Der Bestand wächst gegen 100, während seine Änderungsrate abnimmt, weil die fehlende Menge kleiner wird.
Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Für Lehrkräfte: Vorschlag für eine Übungsstunde
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Häufige Fragen
Warum brauche ich eine Anfangsbedingung?
Die Differentialgleichung erlaubt zunächst eine Familie von Lösungen. Die Anfangsbedingung wählt bei diesen Modellen die passende einzelne Lösung aus.
Ist k dieselbe Zahl wie die prozentuale Zunahme pro Zeiteinheit?
Nicht genau. Der Faktor über eine Zeiteinheit ist e hoch k. Aus einem bekannten Faktor q erhältst du k = ln(q).
Wie prüfe ich eine vermutete Lösung?
Leite sie ab, setze sie in die Differentialgleichung ein und prüfe zusätzlich die Anfangsbedingung.
Leite y(t) = 100e hoch 0,2t mit der Kettenregel ab.