1 · b wird halbiert. Was geschieht mit w?
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Bei gleichem λ und L verdoppelt sich w näherungsweise.
Physik verstehen und üben · Wellenoptik
Physik · Oberstufe · Schritt für Schritt
Beugung am Einzelspalt: verstehen und üben
Warum wird das Lichtmuster breiter, wenn der Spalt schmaler wird? Entdecke die Beugung, bestimme dunkle Stellen und berechne die Breite des zentralen Maximums.
Enger Spalt, breites Muster
b steuert die Breite des zentralen Maximums: Halbierst du b, wird das Maximum ungefähr doppelt so breit.
Grundlagen: Wellenlänge, Interferenz und einfache Bruchrechnung. Die Zuordnung zur Klassenstufe hängt von Schulform und Bundesland ab.
Was bedeutet Beugung?
Bei einer Öffnung breitet sich eine Welle auch seitlich in Bereiche aus, die nach einer reinen Strahlenzeichnung im Schatten liegen würden. Das heißt Beugung. Sie ist eine Welleneigenschaft, die es bei Licht, Wasserwellen und Schall gibt.
Hinter einem schmalen, gleichmäßig beleuchteten Spalt sieht man auf einem weit entfernten Schirm ein breites helles Zentrum, dunkle Stellen und schwächere Nebenmaxima. Ein Spalt erzeugt also nicht einfach nur einen scharf begrenzten hellen Streifen.
Die Lichtbeiträge aus verschiedenen Stellen derselben Öffnung überlagern sich. Je nach Beobachtungsrichtung treffen sie mit unterschiedlichen Phasen ein. Das Muster entsteht durch Interferenz innerhalb des einzelnen Spalts.
Spaltbreite und Schirmposition auseinanderhalten
Die Spaltbreite heißt hier b, die Wellenlänge λ. L ist der Abstand zwischen Blende und Schirm. Der Winkel θ wird gegen die ursprüngliche Ausbreitungsrichtung gemessen; auf dem Schirm gehört dazu y = L · tan θ.
Verändere den Spalt – und sage das Muster voraus
Beginne mit b = 0,10 mm. Was passiert bei b = 0,05 mm? Formuliere deine Vermutung, bevor du den Regler bewegst. Verändere danach nur die Wellenlänge.
Zentrales Maximum: etwa 24,0 mm breit.
Fernfeldmodell für gleichmäßig beleuchtete Spalte und monochromatisches Licht. Jede Einstellung ist auf ihr eigenes Zentralmaximum normiert; absolute Helligkeiten werden nicht verglichen. Die Anzeige nennt Näherungswerte für kleine Winkel.
Beobachtung: Ein schmalerer Spalt verbreitert das Muster. Eine größere Wellenlänge ebenfalls. Ein größerer Schirmabstand vergrößert das Muster auf dem Schirm, verändert aber nicht die Beugungswinkel.
Unterrichtsimpuls und erwartete Erklärung
Halbiere b bei unverändertem λ und L. Die Breite steigt von etwa 24 mm auf 48 mm. Verdopple danach gedanklich L: Auch dadurch verdoppelt sich die Breite, obwohl sich der Winkel nicht ändert. Frage: Welche Veränderung passiert an der Blende, welche nur beim Auffangen auf dem Schirm?
Wo liegen die dunklen Stellen?
Betrachte das erste Minimum. Zerlege die Öffnung gedanklich in eine obere und eine untere Hälfte. Zu jedem Beitrag der oberen Hälfte gibt es einen Partner im Abstand b2. Haben diese Partner einen Gangunterschied von λ2, löschen sie sich paarweise aus. Zwischen den beiden äußersten Rändern beträgt der Gangunterschied dann λ.
b · sin θm = m · λ mit m = ±1, ±2, …
m = 0 ist kein Minimum. Im Zentrum treffen alle Beiträge gleichphasig ein. Für ein Minimum muss |mλ| ≤ b gelten; bei Gleichheit läge der Winkel bei 90°, also nicht an einer endlichen Schirmposition.
Im Fernfeld und für kleine Winkel gilt sin θ ≈ tan θ. Damit erhältst du:
ym ≈ m · λ · Lb
Breite des Zentralmaximums: w ≈ 2 · λ · Lb
Die Breite w reicht vom ersten Minimum links bis zum ersten Minimum rechts. Der Abstand y₁ vom Zentrum zum ersten Minimum ist nur die halbe Breite. Die Nebenmaxima sind schwächer; ihre Positionen liegen nicht exakt in der Mitte zwischen benachbarten Minima.
Ein Beispiel vollständig durchrechnen
Gegeben: λ = 600 nm, b = 0,10 mm, L = 2,0 m. Gesucht: Abstand des ersten Minimums und volle Breite des Zentralmaximums.
1. Einheiten umrechnen: λ = 6,00 · 10−7 m und b = 1,00 · 10−4 m.
y₁ ≈ 6,00 · 10−7 m · 2,0 m1,00 · 10−4 m = 0,012 m = 12 mm
w ≈ 2 · 12 mm = 24 mm
2. Ergebnis prüfen: λ ist viel kleiner als b, der erste Winkel ist etwa 0,344°. Die Kleinwinkelnäherung passt hier sehr gut.
3. Umkehrung: Wird bei denselben λ und L eine volle Breite w = 40 mm gemessen, folgt:
b ≈ 2 · λ · Lw = 2 · 6,00 · 10−7 m · 2,0 m0,040 m = 6,0 · 10−5 m = 0,060 mm
Diese Fehler kannst du vermeiden
Millimeter und Nanometer vermischen: Vor dem Einsetzen alles in Meter umrechnen. 1 mm = 10−3 m, 1 nm = 10−9 m.
Breite und halbe Breite verwechseln: Zeichne die beiden Messpunkte ein, bevor du eine Formel auswählst.
Helligkeit aus der normierten Grafik ablesen: Der Zentralwert ist immer 1. Ein schmalerer Spalt lässt bei gleicher Beleuchtung weniger Gesamtlicht durch; die Grafik macht keine absolute Leistungsbilanz.
Die Näherung überall verwenden: Unsere Formeln setzen das Fernfeld voraus. Die einfachen Schirmabstände zusätzlich kleine Winkel. Für Nahfeldbilder brauchst du ein anderes Modell.
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Erst vorhersagen oder selbst rechnen, dann die Lösung öffnen.
2 · Ist die Mitte das Minimum nullter Ordnung?
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Nein. In der Mitte liegt das zentrale Maximum; m = 0 ist aus der Minimumsbedingung ausgeschlossen.
3 · λ = 500 nm, b = 0,20 mm, L = 2 m: Wie groß ist y₁?
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y₁ ≈ 0,005 m = 5 mm. Die volle zentrale Breite beträgt 10 mm.
4 · Die ersten Minima liegen bei −8 und +8 mm. Wie breit ist das Zentrum?
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16 mm. Gemessen wird von einem ersten Minimum zum anderen.
5 · L wird verdoppelt. Ändert sich θ₁?
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Nein. Der Winkel hängt von λ und b ab. Die Abstände auf dem Schirm verdoppeln sich.
6 · λ = 600 nm und L = 2 m. Die zentrale Breite beträgt 48 mm. Bestimme b.
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b ≈ 0,050 mm. Nutze die volle Breite in 2λLw.
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Warum sind im Diagramm keine fliegenden Lichtpunkte animiert?
Beobachtet wird eine stationäre Intensitätsverteilung. Die Regler verändern gezielt die Versuchsbedingungen. Fliegende Punkte würden hier eher eine falsche Teilchenbahn suggerieren, als das Wellenmodell zu erklären.
Kann ich die Darstellung im Unterricht zeigen?
Ja. Nutze die Großansicht und lasse vor jeder Änderung eine Vorhersage begründen. Die aufklappbaren Lösungen eignen sich für eine gemeinsame Auswertung. Die Simulation ersetzt keinen realen Messversuch.
Fachlicher Abgleich zur Einzelspalt-Minimumsbedingung: OpenStax, University Physics 3, Abschnitt 4.1. Texte, Beispiele und Diagramme dieser Seite sind eigenständig erstellt.