Abstand zwischen Geraden: verstehen und üben

Lernschritt 1

Welche Lage haben die Geraden?

Die bloße Entfernung der Stützpunkte ist normalerweise nicht der Geradenabstand. Stützpunkte sind frei gewählte Punkte auf den Geraden und müssen nicht die nächstgelegenen Punkte sein.

Prüfe parallele Richtungen über einen gemeinsamen Vielfachheitsfaktor. Bei nicht parallelen Richtungen entscheidet das vollständige Gleichsetzen, ob die Geraden sich schneiden oder windschief sind.

Lernschritt 2

Parallele Geraden: eine Punkt–Gerade-Aufgabe

Bei parallelen Geraden ist jeder Punkt der einen Geraden gleich weit von der anderen entfernt. Wähle deshalb den Stützpunkt einer Geraden und berechne seinen Abstand zur anderen.

g: x = t · 110

h: x = 002 + s · 110

Die Richtungen sind gleich. Alle Punkte auf g haben die dritte Koordinate 0, alle Punkte auf h die dritte Koordinate 2. Die Geraden sind echt parallel.

Wähle B(0 | 0 | 2) auf h. Sein Lotfuß auf g ist O(0 | 0 | 0), denn (0; 0; 2) · (1; 1; 0) = 0. Somit beträgt der Abstand 2 Längeneinheiten.

Es gibt hier unendlich viele kürzeste Verbindungsstrecken: Für jedes gleiche Parameterpaar t = s verbindet eine senkrechte Strecke die beiden Geraden.

Lernschritt 3

Windschiefe Geraden: senkrecht zu beiden Richtungen

Schreibe die Geraden mit voneinander unabhängigen Parametern:

g: x = a + t · u

h: x = b + s · v

Nenne die gesuchten Punkte G auf g und H auf h. Ihr Verbindungsvektor q = h − g muss zu beiden Richtungen orthogonal sein:

q = b + sv − a − tu

q · u = 0 und q · v = 0

Die beiden Gleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem für t und s. Bei nicht parallelen Geraden liefert es ein eindeutiges Paar nächstgelegener Punkte. Schneiden sich die Geraden, fallen diese beiden Punkte zusammen und die Verbindung hat Länge 0.

Lernschritt 4

Ein windschiefes Beispiel vollständig rechnen

Gegeben sind:

g: x = t · 110

h: x = 102 + s · 011

Die Richtungen sind keine Vielfachen. Beim Gleichsetzen verlangt die erste Koordinate t = 1 und die zweite s = t = 1. Die dritte würde dann 0 = 3 verlangen. Die Geraden schneiden sich nicht und sind windschief.

Ein allgemeiner Punkt auf g ist G(t | t | 0), auf h ist es H(1 | s | 2 + s). Der Verbindungsvektor lautet:

q = 1 − ts − t2 + s

Die beiden Senkrechtbedingungen ergeben:

1 + s − 2t = 0

2 + 2s − t = 0

Aus der ersten Gleichung folgt s = 2t − 1. Einsetzen in die zweite liefert 2 + 4t − 2 − t = 0, also t = 0. Damit ist s = −1.

Lernschritt 5

Die nächstgelegenen Punkte und den Abstand bestimmen

Setze die beiden Werte jeweils in die zugehörige Gerade ein:

G(0 | 0 | 0), H(1 | −1 | 1)

Ihr Verbindungsvektor ist q = (1; −1; 1). Seine Länge ist der gesuchte Abstand:

d(g, h) = √(1² + (−1)² + 1²) = √3 ≈ 1,73

Kontrolliere beide Skalarprodukte: q · (1; 1; 0) = 1 − 1 = 0 und q · (0; 1; 1) = −1 + 1 = 0. Außerdem entstehen G und H tatsächlich durch die berechneten Parameter auf ihren Geraden.

Die Stützpunkte O(0 | 0 | 0) und B(1 | 0 | 2) wären √5 voneinander entfernt. Auch in diesem Beispiel sind die ursprünglichen Stützpunkte also nicht das gesuchte Punktpaar.

Lernschritt 6

Alternative: den Abstand über eine gemeinsame Normalenrichtung berechnen

Für nicht parallele Geraden kannst du einen von null verschiedenen Vektor n suchen, der zu beiden Richtungen orthogonal ist. Das geht mit n · u = 0 und n · v = 0 oder, falls bekannt, mit dem Kreuzprodukt u × v.

d(g, h) = |(b − a) · n||n|

Im Beispiel ist n = (1; −1; 1) geeignet. Mit b − a = (1; 0; 2) ergibt das:

d(g, h) = |1 + 0 + 2|√3 = √3

Geometrisch stehen hinter der Formel zwei parallele Ebenen mit Normalenrichtung n, die jeweils eine der Geraden enthalten. Ihr Abstand ist bei windschiefen Geraden zugleich der Geradenabstand.

Lernschritt 7

Abstand 0 richtig einordnen

Bei sich schneidenden Geraden gibt es einen gemeinsamen Punkt. Deshalb ist ihr Abstand 0, auch wenn ihre Stützpunkte weit auseinanderliegen. Identische Geraden haben ebenfalls Abstand 0.

Beispiel: g: x = t(1; 0; 0) und k: x = (1; 1; 0) + s(0; 1; 0). Für t = 1 und s = −1 erhältst du auf beiden Geraden S(1 | 0 | 0). Der Abstand ist 0.

Ein positiver Abstand allein beweist dagegen nicht, dass Geraden windschief sind. Auch echt parallele Geraden haben einen positiven Abstand. Die Richtungen unterscheiden die beiden Fälle.

Lernschritt 8

Häufige Fehler vermeiden

• Nur eine Senkrechtbedingung aufstellen: Bei windschiefen Geraden muss die Verbindung zu beiden Richtungen orthogonal sein.
• Für beide Geraden denselben Parameter erzwingen: t und s sind unabhängig voneinander.
• Den Verbindungsvektor oder einen Parameter als Abstand angeben: Gesucht ist die nicht negative Länge der kürzesten Verbindung.
• Aus dem Bild auf einen Schnittpunkt schließen: Eine räumliche Projektion kann einen Schnitt vortäuschen.
• Eine Geradenformel ungeprüft auf Strecken übertragen: Bei begrenzten Strecken können Endpunkte den kleinsten Abstand bestimmen.

Lernschritt 9

Dein Rechenplan

1. Prüfe die Lage der Geraden.
2. Bei einem gemeinsamen Punkt ist der Abstand 0.
3. Bei echt parallelen Geraden wählst du einen Punkt und berechnest seinen Abstand zur anderen Geraden.
4. Bei windschiefen Geraden setzt du zwei allgemeine Punkte mit eigenen Parametern an.
5. Fordere eine Verbindung senkrecht zu beiden Richtungen und löse das System.
6. Berechne die beiden Punkte und ihre Entfernung.
7. Kontrolliere Punktzugehörigkeit und beide Skalarprodukte.

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Häufige Fragen