1 · Welchen Abstand haben sich schneidende Geraden?
Lösung und Rechenweg ansehen
0, weil sie einen gemeinsamen Punkt haben.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 11–13 · etwa 45–60 Minuten
Abstand zwischen Geraden
Du unterscheidest die Geradenlagen, berechnest nächstgelegene Punkte und bestimmst exakte Geradenabstände.
Voraussetzungen ansehen
Geradenparameter, Skalarprodukt, Vektorlängen und lineare Gleichungssysteme.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Was kannst du schon?
Drei kurze Aufgaben zeigen dir, wo du einsteigen kannst. Löse sie zunächst ohne Hilfe.
Vektoren und mehrere Werte mit Semikolon trennen, z. B. 2; −1; 3. Exakte Brüche mit / und Wurzeln als sqrt(…), z. B. sqrt(7). Runde nicht vorzeitig. Parameterpaare immer in der gefragten Reihenfolge t₀; s₀ eingeben.
02 · Verstehen
Welche Lage haben die Geraden?
Erst die Lage, dann der Abstand
Schneidende und identische Geraden haben Abstand 0. Bei echt parallelen und windschiefen Geraden suchst du eine senkrechte Verbindungsstrecke.
| Lage | Abstand | Vorgehen |
|---|---|---|
| Identisch | 0 | Gleiche Punktmenge nachweisen |
| Schneidend | 0 | Gemeinsamen Punkt nachweisen |
| Echt parallel | Positiv | Punkt einer Geraden zur anderen Geraden |
| Windschief | Positiv | Verbindung senkrecht zu beiden Richtungen |
Die bloße Entfernung der Stützpunkte ist normalerweise nicht der Geradenabstand. Stützpunkte sind frei gewählte Punkte auf den Geraden und müssen nicht die nächstgelegenen Punkte sein.
Prüfe parallele Richtungen über einen gemeinsamen Vielfachheitsfaktor. Bei nicht parallelen Richtungen entscheidet das vollständige Gleichsetzen, ob die Geraden sich schneiden oder windschief sind.
Parallele Geraden: eine Punkt–Gerade-Aufgabe
Bei parallelen Geraden ist jeder Punkt der einen Geraden gleich weit von der anderen entfernt. Wähle deshalb den Stützpunkt einer Geraden und berechne seinen Abstand zur anderen.
g: x = t ·
h: x = + s ·
Die Richtungen sind gleich. Alle Punkte auf g haben die dritte Koordinate 0, alle Punkte auf h die dritte Koordinate 2. Die Geraden sind echt parallel.
Beispiel · Schritt für Schritt
Berechne den Abstand der parallelen Geraden
g: x = t · (1; 1; 0)
h: x = (0; 0; 2) + s · (1; 1; 0)
RechnungErklärung zum Schritt
B(0 | 0 | 2), O(0 | 0 | 0)
q =
2 Verbindung bilden
Bilde den Verbindungsvektor von O nach B.
q · = 0
3 Senkrechtstellung prüfen
Das Skalarprodukt ist 0 · 1 + 0 · 1 + 2 · 0 = 0. Die Verbindung steht senkrecht zur gemeinsamen Geradenrichtung.
d(g, h) = √(0² + 0² + 2²) = 2
4 Abstand berechnen
O ist der Lotfuß. Die Verbindungslänge ist der Abstand: 2 Längeneinheiten.
Es gibt hier unendlich viele kürzeste Verbindungsstrecken: Für jedes gleiche Parameterpaar t = s verbindet eine senkrechte Strecke die beiden Geraden.
Windschiefe Geraden: senkrecht zu beiden Richtungen
Schreibe die Geraden mit voneinander unabhängigen Parametern:
g: x = a + t · u
h: x = b + s · v
Nenne die gesuchten Punkte G auf g und H auf h. Ihr Verbindungsvektor q = h − g muss zu beiden Richtungen orthogonal sein:
q = b + sv − a − tu
q · u = 0 und q · v = 0
Die beiden Gleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem für t und s. Bei nicht parallelen Geraden liefert es ein eindeutiges Paar nächstgelegener Punkte. Schneiden sich die Geraden, fallen diese beiden Punkte zusammen und die Verbindung hat Länge 0.
Ein windschiefes Beispiel vollständig rechnen
Gegeben sind:
g: x = t ·
h: x = + s ·
Beispiel · Schritt für Schritt
Prüfe zuerst, ob die Geraden windschief sind
g: x = t · (1; 1; 0)
h: x = (1; 0; 2) + s · (0; 1; 1)
RechnungErklärung zum Schritt
t = 1
1 Erste Koordinate vergleichen
Die Richtungen sind keine Vielfachen. Prüfe zusätzlich durch Gleichsetzen: Die erste Koordinate verlangt t = 1.
s = t = 1
2 Zweite Koordinate vergleichen
Die zweite Koordinate verlangt denselben Wert für s.
0 ≠ 2 + 1 = 3
3 Widerspruch erkennen
Die dritte Koordinate ist damit nicht erfüllt. Die Geraden sind nicht parallel und schneiden sich nicht: Sie sind windschief.
Ein allgemeiner Punkt auf g ist G(t | t | 0), auf h ist es H(1 | s | 2 + s). Der Verbindungsvektor lautet:
q =
Beispiel · Schritt für Schritt
Bestimme die Parameter der kürzesten Verbindung
g: x = t · (1; 1; 0)
h: x = (1; 0; 2) + s · (0; 1; 1)
q = (1 − t; s − t; 2 + s)
RechnungErklärung zum Schritt
1 + s − 2t = 0
1 Erste Senkrechtbedingung
Fordere q · u = 0. Mit u = (1; 1; 0) ergibt sich (1 − t) + (s − t) = 0.
2 + 2s − t = 0
2 Zweite Senkrechtbedingung
Fordere zusätzlich q · v = 0. Mit v = (0; 1; 1) ergibt sich (s − t) + (2 + s) = 0.
s = 2t − 1
3 Nach s auflösen
Stelle die erste Gleichung nach s um.
2 + 2(2t − 1) − t = 0
4 Einsetzen
Setze s in die zweite Gleichung ein.
3t = 0 ⇒ t = 0
5 t berechnen
Löse die Klammer auf und fasse zusammen.
s = 2 · 0 − 1 = −1
6 s berechnen
Setze t = 0 in s = 2t − 1 ein.
Die nächstgelegenen Punkte und den Abstand bestimmen
Beispiel · Schritt für Schritt
Berechne Lotpunkte und Geradenabstand
g: x = t · (1; 1; 0)
h: x = (1; 0; 2) + s · (0; 1; 1)
t = 0; s = −1
RechnungErklärung zum Schritt
G(0 | 0 | 0)
1 Punkt auf g berechnen
Setze t = 0 in g ein.
H(1 | −1 | 1)
2 Punkt auf h berechnen
Setze s = −1 in h ein; die dritte Koordinate ist 2 − 1 = 1.
q =
3 Verbindung bilden
Bilde den Verbindungsvektor H minus G.
d(g, h) = √(1² + (−1)² + 1²)
4 Länge ansetzen
Berechne die Länge der Verbindung, die zu beiden Richtungen senkrecht ist.
d(g, h) = √3 ≈ 1,73
5 Abstand angeben
Der exakte Geradenabstand beträgt √3 Längeneinheiten. Runde erst am Ende.
Warum reichen diese beiden Senkrechtbedingungen?
Die Verbindung GH ist senkrecht zu beiden Geradenrichtungen. Wählst du andere Punkte G′ auf g und H′ auf h, kommt zur Verbindung GH ein Vektor hinzu, der aus den beiden Geradenrichtungen zusammengesetzt ist. Dieser Zusatz ist deshalb senkrecht zu GH.
Nach Pythagoras gilt: |G′H′|² = |GH|² + |Zusatz|². Der zweite Summand ist nie negativ. Keine andere Verbindung kann also kürzer sein. Bei windschiefen Geraden ist das kürzeste Punktpaar eindeutig.
Beispiel · Schritt für Schritt
Kontrolliere beide Senkrechtbedingungen
q = (1; −1; 1)
u = (1; 1; 0); v = (0; 1; 1)
RechnungErklärung zum Schritt
q · u = 1 − 1 + 0 = 0
1 Erste Richtung prüfen
Kontrolliere die Senkrechtstellung zur Richtung (1; 1; 0) von g.
q · v = 0 − 1 + 1 = 0
2 Zweite Richtung prüfen
Kontrolliere die Senkrechtstellung zur Richtung (0; 1; 1) von h. Außerdem entstehen G und H tatsächlich mit t = 0 und s = −1 auf ihren Geraden.
Die Stützpunkte O(0 | 0 | 0) und B(1 | 0 | 2) wären √5 voneinander entfernt. Auch in diesem Beispiel sind die ursprünglichen Stützpunkte also nicht das gesuchte Punktpaar.
Alternative: den Abstand über eine gemeinsame Normalenrichtung berechnen
Für nicht parallele Geraden kannst du einen von null verschiedenen Vektor n suchen, der zu beiden Richtungen orthogonal ist. Das geht mit n · u = 0 und n · v = 0 oder, falls bekannt, mit dem Kreuzprodukt u × v.
d(g, h) =
Im Beispiel ist n = (1; −1; 1) geeignet. Mit b − a = (1; 0; 2) ergibt das:
Beispiel · Schritt für Schritt
Berechne den Abstand über die Normalenrichtung
g: x = t · (1; 1; 0)
h: x = (1; 0; 2) + s · (0; 1; 1)
n = (1; −1; 1)
RechnungErklärung zum Schritt
n =
1 Normale wählen
Dieser von null verschiedene Vektor steht senkrecht auf beiden Richtungen.
(b − a) · n = 1 + 0 + 2 = 3
2 Skalarprodukt berechnen
Verwende den Stützpunkt-Verbindungsvektor (1; 0; 2) und berechne das Skalarprodukt.
|n| = √3
3 Normalenlänge bestimmen
Berechne die Länge der gemeinsamen Normalenrichtung.
d(g, h) = = √3
4 Abstand berechnen
Teile den Betrag des Skalarprodukts durch die Normalenlänge. Das bestätigt den zuvor berechneten Abstand.
Geometrisch stehen hinter der Formel zwei parallele Ebenen mit Normalenrichtung n, die jeweils eine der Geraden enthalten. Ihr Abstand ist bei windschiefen Geraden zugleich der Geradenabstand.
Bei parallelen Geraden ist u × v der Nullvektor. Die Formel mit diesem Kreuzprodukt im Nenner darfst du dann nicht verwenden. Rechne den Parallelfall als Punkt–Gerade-Aufgabe.
Abstand 0 richtig einordnen
Bei sich schneidenden Geraden gibt es einen gemeinsamen Punkt. Deshalb ist ihr Abstand 0, auch wenn ihre Stützpunkte weit auseinanderliegen. Identische Geraden haben ebenfalls Abstand 0.
Beispiel · Schritt für Schritt
Weise den Abstand 0 durch einen Schnittpunkt nach
g: x = t · (1; 0; 0)
k: x = (1; 1; 0) + s · (0; 1; 0)
RechnungErklärung zum Schritt
g: x = t ·
1 Erste Gerade betrachten
Beispiel für einen Abstand von 0.
k: x = + s ·
2 Zweite Gerade betrachten
Untersuche die zweite Gerade mit eigenem Parameter.
t = 1, s = −1
3 Parameter bestimmen
Aus der ersten Koordinate folgt t = 1, aus der zweiten 0 = 1 + s.
S(1 | 0 | 0)
4 Schnittpunkt prüfen
Mit diesen Parametern erhältst du auf beiden Geraden denselben Punkt; auch die dritte Koordinate stimmt.
d(g, k) = 0
5 Abstand folgern
Die Geraden schneiden sich, daher beträgt ihr Abstand 0.
Ein positiver Abstand allein beweist dagegen nicht, dass Geraden windschief sind. Auch echt parallele Geraden haben einen positiven Abstand. Die Richtungen unterscheiden die beiden Fälle.
Häufige Fehler vermeiden
- Nur eine Senkrechtbedingung aufstellen: Bei windschiefen Geraden muss die Verbindung zu beiden Richtungen orthogonal sein.
- Für beide Geraden denselben Parameter erzwingen: t und s sind unabhängig voneinander.
- Den Verbindungsvektor oder einen Parameter als Abstand angeben: Gesucht ist die nicht negative Länge der kürzesten Verbindung.
- Aus dem Bild auf einen Schnittpunkt schließen: Eine räumliche Projektion kann einen Schnitt vortäuschen.
- Eine Geradenformel ungeprüft auf Strecken übertragen: Bei begrenzten Strecken können Endpunkte den kleinsten Abstand bestimmen.
Dein Rechenplan
- Prüfe die Lage der Geraden.
- Bei einem gemeinsamen Punkt ist der Abstand 0.
- Bei echt parallelen Geraden wählst du einen Punkt und berechnest seinen Abstand zur anderen Geraden.
- Bei windschiefen Geraden setzt du zwei allgemeine Punkte mit eigenen Parametern an.
- Fordere eine Verbindung senkrecht zu beiden Richtungen und löse das System.
- Berechne die beiden Punkte und ihre Entfernung.
- Kontrolliere Punktzugehörigkeit und beide Skalarprodukte.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Übe in deinem Tempo
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Rechne und begründe zuerst auf Papier. Gib vollständige Vektoren oder die gefragten exakten Werte ein. Kontrolliere Vorzeichen, Einheiten und die geometrischen Bedingungen.
Fortschritt auf diesem Gerät merken
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Wie sicher bist du jetzt?
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Lieber auf Papier? Weitere Aufgaben mit Rechenwegen
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Wie berechnest du den Abstand echt paralleler Geraden?
Lösung und Rechenweg ansehen
Wähle einen Punkt auf einer Geraden und berechne seinen Abstand zur anderen Geraden.
Erklärung wiederholen →3 · Reicht bei windschiefen Geraden eine einzige Senkrechtbedingung?
Lösung und Rechenweg ansehen
Nein. Die kürzeste Verbindung steht senkrecht zu beiden Richtungsvektoren.
Erklärung wiederholen →4 · Löse 1 + s − 2t = 0 und 2 + 2s − t = 0.
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Löse das Gleichungssystem
1 + s − 2t = 0
2 + 2s − t = 0
RechnungErklärung zum Schritt
s = 2t − 1
1 Nach s auflösen
Stelle 1 + s − 2t = 0 nach s um.
2 + 2(2t − 1) − t = 0
2 Einsetzen
Setze in die zweite Gleichung ein.
3t = 0 ⇒ t = 0
3 t berechnen
Fasse zusammen und teile durch 3.
s = −1
4 s berechnen
Setze t = 0 zurück in die erste umgestellte Gleichung. Das Parameterpaar ist t = 0, s = −1.
5 · Welchen Abstand liefern G(0 | 0 | 0) und H(1 | −1 | 1)?
Lösung und Rechenweg ansehen
Lösung · Schritt für Schritt
Berechne die Länge der kürzesten Verbindung
G(0 | 0 | 0)
H(1 | −1 | 1)
RechnungErklärung zum Schritt
q =
1 Verbindung bilden
Bilde H minus G.
|q| = √(1² + (−1)² + 1²)
2 Betragsformel einsetzen
Verwende die Vektorlängenformel.
|q| = √3
3 Länge angeben
Wenn G und H auf den Geraden liegen und die Verbindung zu beiden Richtungen orthogonal ist, ist diese Länge der Geradenabstand.
6 · Darf das Kreuzprodukt der Richtungen im Nenner bei parallelen Geraden verwendet werden?
Lösung und Rechenweg ansehen
Nein. Es ist dann der Nullvektor und seine Länge 0.
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Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Für Lehrkräfte: Vorschlag für eine Übungsstunde
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Häufige Fragen
Sind die nächstgelegenen Punkte immer eindeutig?
Bei windschiefen Geraden ja. Bei echt parallelen Geraden gibt es unendlich viele Paare mit derselben kürzesten Entfernung.
Muss ich das Kreuzprodukt kennen?
Nein. Die Methode mit zwei Senkrechtbedingungen verwendet nur Skalarprodukte und ein lineares Gleichungssystem.
Gilt die Rechnung unverändert für zwei Strecken?
Nein. Die berechneten Punkte können außerhalb der Strecken liegen. Dann müssen die erlaubten Parameterbereiche und mögliche Endpunktabstände zusätzlich berücksichtigt werden.
Wähle B auf h und den Ursprung O auf g als möglichen Lotfuß.