Mathe · Klasse 7–10 · etwa 30–45 Minuten
Du schreibst große und kleine Zahlen normalisiert, rechnest zurück und wendest die richtigen Regeln bei allen vier Grundrechenarten an.
Dezimalzahlen und Potenzgesetze einschließlich negativer Exponenten.
01 · Dein Startpunkt · ca. 3 Minuten
Normalisiere eine große Zahl, rechne eine kleine Zahl zurück und multipliziere zwei Zehnerpotenz-Ausdrücke.
Gib Zahlen ohne Tausenderpunkte ein; Leerzeichen zur Gliederung sind möglich. Dezimalkomma und Dezimalpunkt sind möglich. Entscheidungen: ja oder nein. Wissenschaftlich: 5,6*10^4, 5,6·10⁴ oder 5,6e4. Bei Rückumwandlungen nur die gewöhnliche Dezimalzahl eingeben.
02 · Verstehen
Große und kleine Zahlen übersichtlich schreiben
4 500 000 = 4,5 · 10⁶
0,00072 = 7,2 · 10⁻⁴
In wissenschaftlicher Schreibweise steht eine Zahl als a · 10ⁿ. Für eine positive Zahl liegt a zwischen 1 und 10, wobei 10 selbst nicht mehr erlaubt ist. Der Exponent n ist eine ganze Zahl.
Für negative Zahlen gilt dieselbe Regel für den Betrag: 1 ≤ |a| < 10. Das Minus der Zahl und ein möglicher negativer Exponent haben verschiedene Aufgaben.
Beispiel · Schritt für Schritt
−42 000
Der Exponent ist positiv, obwohl die Zahl negativ ist. Entscheidend für die Normierung ist der Betrag des Vorfaktors.
Die Zahl 0 schreibt man einfach als 0. Sie besitzt keine normalisierte Darstellung mit einem Vorfaktor zwischen 1 und 10.
10³ = 1 000, 10² = 100 und 10⁰ = 1. Ein positiver Exponent gibt die Anzahl der Faktoren 10 an.
Bei negativen Exponenten entsteht ein Kehrwert: 10⁻³ = = 0,001. Ein negativer Exponent bedeutet also nicht, dass die Zahl negativ ist.
Beispiel · Schritt für Schritt
3 · 10⁻²
Zum Vergleich: −3 · 10²
Die Zehnerpotenz ist ein positiver Kehrwert. Das Ergebnis lautet drei Hundertstel und bleibt positiv.
Das Minus vor der 3 macht die Zahl negativ. Der Ausdruck bedeutet minus dreihundert.
Setze das Komma so, dass der Betrag des Vorfaktors zwischen 1 und 10 liegt. Zähle die Stellen und prüfe anschließend durch Rückumwandlung.
| Ausgangszahl | Schreibweise | Kontrolle |
|---|---|---|
| 83 000 | 8,3 · 10⁴ | 8,3 · 10 000 |
| 0,0062 | 6,2 · 10⁻³ | 6,2 · 0,001 |
| −570 000 | −5,7 · 10⁵ | −5,7 · 100 000 |
| 9,4 | 9,4 · 10⁰ | 9,4 · 1 |
Bei normalisierter Darstellung führt ein Betrag ab 10 zu einem positiven Exponenten, ein Betrag zwischen 0 und 1 zu einem negativen. Für Beträge von 1 bis unter 10 ist der Exponent 0.
Beispiel · Schritt für Schritt
83 · 10³
83 ist mindestens 10 und daher als Vorfaktor noch nicht normalisiert.
Wird der Vorfaktor durch zehn geteilt, muss die Zehnerpotenz mit zehn multipliziert werden. Der Exponent steigt um eins, der Zahlenwert bleibt gleich.
Beispiel · Schritt für Schritt
2,36 · 10⁵
Zum Vergleich: 2,36 · 10⁻⁵
Verschiebe das Komma fünf Stellen nach rechts und ergänze die nötigen Nullen.
Beim negativen Exponenten verschiebst du das Komma fünf Stellen nach links. Der Wert bleibt positiv.
Beispiel · Schritt für Schritt
a · 10⁵ mit 1 ≤ a < 10
Zu prüfen: 236 000
Hier wird ein positiver normalisierter Vorfaktor betrachtet.
Multipliziere die Grenzen mit der positiven Zahl 100 000. Das Ergebnis 236 000 liegt in diesem Bereich.
Manche Rechner zeigen 2.36E5 oder 2,36E5. Das E steht in dieser Anzeige für „mal zehn hoch“, nicht für die Eulersche Zahl e.
Multipliziere die Vorfaktoren; bei den Zehnerpotenzen addierst du die Exponenten:
Beispiel · Schritt für Schritt
(3 · 10⁴) · (2 · 10⁻²)
Die Vorfaktoren werden multipliziert, die Exponenten addiert.
Der negative Exponent wird mit seinem Vorzeichen eingesetzt.
Der Vorfaktor 6 erfüllt bereits die Normierungsbedingung.
Beim Dividieren teilst du die Vorfaktoren und subtrahierst die Exponenten. Der Nenner darf nicht 0 sein.
Beispiel · Schritt für Schritt
(8 · 10⁶) : (2 · 10²)
Der Nenner 2 · 10² ist ungleich null. Teile die Vorfaktoren und bilde die Differenz der Exponenten.
Beide Rechenschritte werden getrennt ausgeführt.
Der Betrag des Vorfaktors liegt zwischen 1 einschließlich und 10 ausschließlich.
Beispiel · Schritt für Schritt
(4 · 10³) · (5 · 10²)
Das Zwischenergebnis hat den richtigen Wert, aber der Vorfaktor 20 ist zu groß.
Teile den Vorfaktor durch zehn und erhöhe den Exponenten um eins. So bleibt der Wert erhalten.
Bringe beide Zahlen zuerst auf dieselbe Zehnerpotenz. Dann addierst oder subtrahierst du nur die Vorfaktoren.
Beispiel · Schritt für Schritt
3,2 · 10⁵ + 4,7 · 10⁴
Vergrößere die Zehnerpotenz um den Faktor zehn und teile dafür den Vorfaktor durch zehn. Dieser Zwischenschritt muss nicht normalisiert sein.
Nur bei gleicher Zehnerpotenz kannst du die Vorfaktoren direkt addieren.
Die Zehnerpotenz bleibt unverändert; das Ergebnis ist normalisiert.
Die Exponenten werden bei einer Addition nicht addiert. 10³ + 10³ = 2 · 10³, während 10³ · 10³ = 10⁶ ist.
Ein Speicherbeispiel verwendet die dezimale Definition:
Beispiel · Schritt für Schritt
3,5 MB in Byte
Dezimale Definition: 1 MB = 10⁶ Byte
Hier entspricht ein Megabyte einer Million Byte.
Multipliziere mit der Bytezahl pro Megabyte. Andere ausdrücklich genannte Definitionen dürfen nicht stillschweigend damit gleichgesetzt werden.
Beispiel · Schritt für Schritt
6,274 · 10⁴
Gesucht: drei signifikante Ziffern
Gezählt werden die Ziffern ab der ersten von null verschiedenen Ziffer, nicht drei Nachkommastellen.
Die folgende Ziffer ist 4. Deshalb bleibt die 7 unverändert.
Der Exponent bleibt hier gleich. Verwende ein Näherungszeichen, weil sich der Wert durch das Runden ändert.
Rechne möglichst mit ungerundeten Zwischenwerten und schreibe die Einheit dazu. Für Näherungen verwendest du ≈ statt =.
03 · Selber rechnen · ca. 10–15 Minuten
Wähle eine Stufe. Du bekommst zu jeder Antwort eine Rückmeldung und kannst eine Aufgabe nach einem Hinweis noch einmal versuchen. Ein negativer Exponent macht die Zahl nicht negativ. Bei Addition und Subtraktion zuerst dieselbe Zehnerpotenz herstellen; die Exponenten werden dabei nicht addiert.
Freiwillig, ohne Anmeldung. Auf gemeinsam genutzten Geräten besser ausgeschaltet lassen. Deine Eingaben werden nicht gespeichert.
04 · Ohne Hilfe prüfen · ca. 5–8 Minuten
Rechne ohne Formelübersicht und Tipps. Danach siehst du, was geklappt hat und welcher Lernschritt als Nächstes sinnvoll ist. Das ist eine kurze Orientierung, keine Klassenarbeitsnote.
Dein Wissen anwenden
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
Lösung · Schritt für Schritt
56 000
Verschiebe das Komma vier Stellen nach links; die Zehnerpotenz gleicht dies aus.
Der Vorfaktor 5,6 liegt zwischen 1 und 10.
Lösung · Schritt für Schritt
0,000081
Für den Vorfaktor 8,1 wird das Komma fünf Stellen nach rechts verschoben. Zum Ausgleich brauchst du den Faktor 10⁻⁵.
Der Vorfaktor erfüllt 1 ≤ 8,1 < 10. Der negative Exponent beschreibt die kleine Größenordnung.
Lösung · Schritt für Schritt
7,3 · 10⁻³
Ein negativer Exponent bedeutet einen Kehrwert und kein negatives Vorzeichen.
Verschiebe das Komma drei Stellen nach links. Das Ergebnis ist positiv.
Lösung · Schritt für Schritt
(2 · 10⁵) · (3 · 10⁻²)
Multipliziere die Vorfaktoren und addiere die Exponenten.
2 · 3 = 6 und 5 + (−2) = 3. Der Vorfaktor ist bereits normalisiert.
Lösung · Schritt für Schritt
4 · 10⁴ + 2 · 10³
Teile den Vorfaktor durch zehn und erhöhe den Exponenten um eins.
Die gemeinsame Zehnerpotenz bleibt unverändert.
Lösung · Schritt für Schritt
24 · 10⁻³
Der Betrag 24 ist zu groß. Schreibe ihn als 2,4 mal zehn.
Der zusätzliche Faktor zehn erhöht den Exponenten von −3 auf −2.
Beide Darstellungen haben denselben Wert.
Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
Passende Materialien zum Thema „Wissenschaftliche Schreibweise“. Wähle aus, was dir beim Üben und Wiederholen hilft.
Diese Materialien ergänzen die Erklärung und unterstützen dich beim Üben und Nachschlagen.
8. Klasse · 9. Klasse · 10. Klasse
Produkt genauer ansehen →Die kompakte Lernhilfe und ein passender Buchband ergänzen sich beim Wiederholen und Vertiefen. Beachte die jeweilige Klassenstufe.
8. Klasse · 9. Klasse · 10. Klasse
Produkt genauer ansehen →
5. Klasse · 6. Klasse · 7. Klasse · 8. Klasse · 9. Klasse · 10. Klasse
Produkt genauer ansehen →Preise inkl. MwSt. Downloads erhältst du per E-Mail, gedruckte Materialien per Post. Ggf. zzgl. Versandkosten.
Dranbleiben
Wiederhole die Erklärung zu deinem Fehler. Rechne danach eine ähnliche Aufgabe ohne geöffneten Tipp oder Rechenweg.
Gezielt weiterüben →Wiederhole in zwei bis drei Tagen fünf Aufgaben ohne Hilfe. Danach kannst du das nächste Thema angehen.
Höhere Wurzeln und rationale Exponenten →Lasst euch eine Aufgabe laut erklären. Fragt: „Warum darfst du diesen Schritt machen?“ Bei einem Fehler schaut ihr gemeinsam auf den Hinweis. Danach löst das Kind eine ähnliche Aufgabe selbst.
Zum Schluss benennt das Kind einen Schritt, den es jetzt sicherer beherrscht, und plant eine kurze Wiederholung.
Nach der Einführung des Themas: 5 Minuten Kurzcheck, 10 Minuten gezielte Wiederholung, 15 Minuten Üben auf passender Stufe, 10 Minuten Abschlusscheck und Besprechung, 5 Minuten Lernreflexion.
Die Stufen dienen zur Differenzierung. Die kurze Auswertung ist eine Orientierung; Begründungen und Rechenwege sollten zusätzlich auf Papier oder im Gespräch sichtbar werden.
Nein. 10⁻² ist der positive Wert 0,01. Ein negatives Vorzeichen vor dem Vorfaktor würde die Zahl negativ machen.
In normalisierter wissenschaftlicher Schreibweise ja, bezogen auf seinen Betrag. In Zwischenschritten darfst du andere gleichwertige Darstellungen verwenden.
In einer Anzeige wie 6E−4 bedeutet es mal 10 hoch −4, also 0,0006.
Verschiebe das Komma vier Stellen nach links. Das Minuszeichen bleibt am Vorfaktor.