1 · Schreibe 56 000 normalisiert.
Lösung und Rechenweg ansehen
5,6 · 10⁴.
Erklärung wiederholen →Mathe · Klasse 7–10
Wissenschaftliche Schreibweise: verstehen und üben
Schreibe sehr große und sehr kleine Zahlen mit Zehnerpotenzen. Wandle sicher um, rechne mit der Darstellung und prüfe Vorzeichen, Größenordnung und Einheiten.
Große und kleine Zahlen übersichtlich schreiben
4 500 000 = 4,5 · 10⁶
0,00072 = 7,2 · 10⁻⁴
Lernschritt 1
Die normalisierte Form erkennen
In wissenschaftlicher Schreibweise steht eine Zahl als a · 10ⁿ. Für eine positive Zahl liegt a zwischen 1 und 10, wobei 10 selbst nicht mehr erlaubt ist. Der Exponent n ist eine ganze Zahl.
Für negative Zahlen gilt dieselbe Regel für den Betrag: 1 ≤ |a| < 10. So wird −42 000 zu −4,2 · 10⁴. Das Minus der Zahl und ein möglicher negativer Exponent haben verschiedene Aufgaben.
Die Zahl 0 schreibt man einfach als 0. Sie besitzt keine normalisierte Darstellung mit einem Vorfaktor zwischen 1 und 10.
Lernschritt 2
Was positive und negative Exponenten bedeuten
10³ = 1 000, 10² = 100 und 10⁰ = 1. Ein positiver Exponent gibt die Anzahl der Faktoren 10 an.
Bei negativen Exponenten entsteht ein Kehrwert: 10⁻³ = = 0,001. Ein negativer Exponent bedeutet also nicht, dass die Zahl negativ ist.
3 · 10⁻² ist 0,03; −3 · 10² ist −300. Sprich die beiden Ausdrücke bewusst verschieden: drei Hundertstel und minus dreihundert.
Lernschritt 3
Eine Zahl in wissenschaftliche Schreibweise bringen
Setze das Komma so, dass der Betrag des Vorfaktors zwischen 1 und 10 liegt. Zähle die Stellen und prüfe anschließend durch Rückumwandlung.
| Ausgangszahl | Schreibweise | Kontrolle |
|---|---|---|
| 83 000 | 8,3 · 10⁴ | 8,3 · 10 000 |
| 0,0062 | 6,2 · 10⁻³ | 6,2 · 0,001 |
| −570 000 | −5,7 · 10⁵ | −5,7 · 100 000 |
| 9,4 | 9,4 · 10⁰ | 9,4 · 1 |
Ein großer Betrag führt meist zu einem positiven Exponenten; ein Betrag zwischen 0 und 1 zu einem negativen. Die Darstellung 83 · 10³ hat denselben Wert wie 8,3 · 10⁴, ist aber noch nicht normalisiert.
Lernschritt 4
Zur normalen Dezimalschreibweise zurückkehren
Bei 2,36 · 10⁵ verschiebst du das Komma fünf Stellen nach rechts und ergänzt nötige Nullen: 236 000. Bei 2,36 · 10⁻⁵ geht es fünf Stellen nach links: 0,0000236.
Eine praktische Kontrolle ist die Größenordnung. Bei a zwischen 1 und 10 liegt a · 10⁵ zwischen 100 000 und 1 000 000.
Manche Rechner zeigen 2.36E5 oder 2,36E5. Das E steht in dieser Anzeige für „mal zehn hoch“, nicht für die Eulersche Zahl e.
Lernschritt 5
Multiplizieren und dividieren
Multipliziere die Vorfaktoren; bei den Zehnerpotenzen addierst du die Exponenten: (3 · 10⁴)(2 · 10⁻²) = 6 · 10² = 600.
Beim Dividieren teilst du die Vorfaktoren und subtrahierst die Exponenten. Beispiel: = 4 · 10⁴. Der Nenner darf nicht 0 sein.
Manchmal musst du das Ergebnis normalisieren: (4 · 10³)(5 · 10²) = 20 · 10⁵ = 2 · 10⁶. Wird der Vorfaktor durch 10 geteilt, muss der Exponent um 1 steigen.
Lernschritt 6
Addieren und subtrahieren
Bringe beide Zahlen zuerst auf dieselbe Zehnerpotenz. Dann addierst oder subtrahierst du nur die Vorfaktoren.
3,2 · 10⁵ + 4,7 · 10⁴ = 3,2 · 10⁵ + 0,47 · 10⁵ = 3,67 · 10⁵. Die Darstellung des zweiten Summanden muss für diesen Zwischenschritt nicht normalisiert sein.
Die Exponenten werden bei einer Addition nicht addiert. 10³ + 10³ = 2 · 10³, während 10³ · 10³ = 10⁶ ist.
Lernschritt 7
Einheiten, Rundung und sinnvolle Genauigkeit
Ein Speicherbeispiel verwendet die dezimale Definition: 1 MB = 10⁶ Byte. Dann sind 3,5 MB gleich 3,5 · 10⁶ Byte. Andere ausdrücklich genannte Definitionen dürfen nicht stillschweigend damit gleichgesetzt werden.
Runde den Vorfaktor entsprechend der Aufgabe: 6,274 · 10⁴ wird auf drei signifikante Stellen zu 6,27 · 10⁴. Dabei sind die Ziffern des Vorfaktors gemeint, nicht drei Nachkommastellen.
Rechne möglichst mit ungerundeten Zwischenwerten und schreibe die Einheit dazu. Für Näherungen verwendest du ≈ statt =.
Dein Wissen anwenden
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Löse die Aufgaben zuerst auf Papier. Öffne danach die Lösung. Bei einem Fehler führt dich der Link zur passenden Erklärung zurück.
2 · Schreibe 0,000081 normalisiert.
Lösung und Rechenweg ansehen
8,1 · 10⁻⁵.
Erklärung wiederholen →3 · Welche Dezimalzahl ist 7,3 · 10⁻³?
Lösung und Rechenweg ansehen
0,0073. Das Ergebnis ist positiv.
Erklärung wiederholen →4 · Berechne (2 · 10⁵)(3 · 10⁻²).
Lösung und Rechenweg ansehen
6 · 10³ = 6 000. Die Exponenten ergeben 5 + (−2) = 3.
Erklärung wiederholen →5 · Berechne 4 · 10⁴ + 2 · 10³.
Lösung und Rechenweg ansehen
4 · 10⁴ + 0,2 · 10⁴ = 4,2 · 10⁴.
Erklärung wiederholen →6 · Normalisiere 24 · 10⁻³.
Lösung und Rechenweg ansehen
2,4 · 10⁻². Beide Ausdrücke sind 0,024.
Erklärung wiederholen →Der Selbstcheck hilft dir zu erkennen, welchen Schritt du noch üben solltest. Rechne nach einer Korrektur eine ähnliche Aufgabe ohne Hilfe.
Kostenlos weiterlernen
Passende Materialien zum Weiterlernen
Die kleinen Bilder zeigen eine Vorschau. Über Bild oder Link gelangst du zur Produktseite mit den Angaben zum Material und zum PDF-Bezug.
Kostenlos · Lernposter · PDF
Potenzen und Wurzeln im Überblick
Wiederhole die Potenzregeln als Grundlage. Die ausführlichen Beispiele zur wissenschaftlichen Schreibweise stehen oben.
Material ansehen →Gedruckt weiterlernen
Passende Regeln auf Papier nachschlagen
Die Spickzettel für Klasse 8–10 enthalten Potenzen und Potenzgesetze als Grundlage für die Rechnungen auf dieser Seite.
Kaufbares Material · Gedruckte Lernkarten
Mathe Spickzettel A6: Lernkarten für die 8.-10. Klasse
Zum Nachschlagen und Wiederholen neben deinen eigenen Rechnungen. Alle enthaltenen Themen und den aktuellen Preis findest du auf der Produktseite.
Spickzettel ansehen →Häufige Fragen
Ist ein negativer Exponent eine negative Zahl?
Nein. 10⁻² ist der positive Wert 0,01. Ein negatives Vorzeichen vor dem Vorfaktor würde die Zahl negativ machen.
Muss der Vorfaktor immer kleiner als 10 sein?
In normalisierter wissenschaftlicher Schreibweise ja, bezogen auf seinen Betrag. In Zwischenschritten darfst du andere gleichwertige Darstellungen verwenden.
Was bedeutet E auf dem Taschenrechner?
In einer Anzeige wie 6E−4 bedeutet es mal 10 hoch −4, also 0,0006.