Wie wird aus zugeführter Wärme nutzbare Arbeit – und warum bleibt immer eine Grenze? Untersuche die Energiebilanz einer zyklisch arbeitenden Wärmekraftmaschine.
Drei kurze Aufgaben helfen dir, deinen Startpunkt zu finden. Wenn du unsicher bist, wähle „Weiß ich noch nicht“.
Löse die Aufgaben ohne Nachschlagen. Bei Zahlen sind Dezimalkomma und Dezimalpunkt möglich. Verwende keine Tausenderpunkte.
Lernschritt 1
Eine Wärmekraftmaschine nimmt Wärme von einer heißen Quelle auf, gibt einen Teil der Energie als Arbeit ab und führt den übrigen Teil an eine kältere Umgebung ab. Ein Arbeitsstoff durchläuft dabei einen Kreisprozess und kehrt am Ende in seinen Anfangszustand zurück.
Wir betrachten zwei ideale Wärmereservoire mit konstanten Temperaturen Th und Tk. Sie sind so groß, dass die ausgetauschte Wärme ihre Temperaturen praktisch nicht verändert. Th ist größer als Tk.
Qzu und Qab bezeichnen auf dieser Seite positive Beträge der zu- beziehungsweise abgeführten Wärme. Wnutz ist die positiv gezählte Nettoarbeit nach Abzug der im Zyklus benötigten Arbeit. Alle Angaben beziehen sich auf einen vollständigen Zyklus.
Lernschritt 2
ΔUZyklus = 0
Qzu = Wnutz + Qab
η = WnutzQzu = 1 − QabQzu
Die innere Energie des Arbeitsstoffs hat nach einem Zyklus wieder ihren Anfangswert. Das bedeutet nicht, dass währenddessen keine Energie übertragen wurde. Die zugeführte Wärme ist auf Arbeit und Wärmeabgabe verteilt.
Zur bisherigen Konvention ΔU = Q + Wam passt das so: Q = Qzu − Qab und Wam = −Wnutz. Es ist dieselbe Bilanz mit genauer benannten Zu- und Abflüssen.
Lernschritt 3
η ≤ ηC = 1 − TkTh
Keine zyklische Wärmekraftmaschine zwischen diesen zwei konstanten Reservoirtemperaturen kann effizienter sein als eine reversible Maschine. Gleichheit beschreibt den idealen reversiblen Grenzfall, nicht einen gewöhnlichen realen Motor.
Beide Temperaturen müssen in Kelvin eingesetzt werden. Die Grenze hängt vom Temperaturverhältnis ab. Gleiche Temperaturdifferenzen bedeuten bei unterschiedlichen absoluten Temperaturen nicht denselben maximalen Wirkungsgrad.
Eine höhere heiße Temperatur oder eine niedrigere kalte Temperatur kann die Grenze erhöhen. Für positive Tk und endliche Th bleibt ηC kleiner als eins. Wärmeabgabe ist somit nicht nur eine Folge schlecht gebauter Bauteile.
Beispiel · Schritt für Schritt
Die heiße Quelle hat 327 °C, die kalte 27 °C. Bestimme die maximale Effizienz.
T/K = ϑ/°C + 273,15
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| Th = 600,15 K Tk = 300,15 K |
1Absolute Temperaturen bilden
Temperaturverhältnisse dürfen nicht mit Celsiuswerten berechnet werden. |
| ηC = 1 − 300,15 K600,15 K ≈ 0,4999 |
2Einsetzen
Die Einheit Kelvin kürzt sich. Der Wirkungsgrad ist dimensionslos. |
| ηC ≈ 50,0 % |
3Als Obergrenze formulieren
Ein realer irreversibler Prozess bleibt darunter. |
Lernschritt 4
Qzu bleibt fest auf 1000 J. Der dritte Regler legt fest, welcher Anteil der Carnot-Grenze erreicht wird. Er ist eine Modellvorgabe, keine Vorhersage eines konkreten Motors. 100 % bedeutet reversibler Grenzfall.
Grün: Arbeit · Blau: Wärmeabgabe · zusammen immer 1000 J
Die Pfeile zeigen die Richtung, nicht die Menge des Energieflusses. Die farbigen Balken unten teilen die feste Wärmezufuhr maßstäblich in Arbeit und Wärmeabgabe auf.
Die Grafik lässt sich seitlich verschieben. So bleiben Achsen und Beschriftungen lesbar.
Stelle 600 K, 300 K und 100 % ein. Selbst dieser ideale Grenzfall gibt noch 500 J Wärme ab. Senke anschließend den erreichten Anteil auf 50 %: Es entstehen nur 250 J Nettoarbeit, während 750 J an das kalte Reservoir gehen.
Lernschritt 5
Beispiel · Schritt für Schritt
Eine Maschine nimmt pro vollständigem Zyklus 2000 J Wärme auf und liefert 600 J Nettoarbeit. Die Reservoire haben 700 K und 350 K.
Qzu = 2000 J · Wnutz = 600 J · Wärmebeträge positiv
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| η = WnutzQzu |
1Anteil richtig zuordnen
Im Zähler steht die nutzbare Nettoarbeit, im Nenner die zugeführte Wärme. |
| η = 600/2000 = 0,30 = 30 % |
2Wirkungsgrad berechnen
0,30 ist der Anteil; multipliziert mit 100 erhältst du die Prozentzahl. |
| Qab = Qzu − Wnutz = 1400 J |
3Restliche Energie zuordnen
Nach einem Zyklus ist ΔU = 0. Die nicht als Arbeit abgegebene Energie wird als Wärme abgeführt. |
| ηC = 1 − 350/700 = 50 % |
4Mit der Obergrenze vergleichen
Beide Temperaturen sind bereits in Kelvin. 30 % liegen unter 50 %. |
Beispiel · Schritt für Schritt
Zwischen denselben Reservoiren soll eine Maschine aus 2000 J Wärme 1200 J Nettoarbeit gewinnen.
Th = 700 K · Tk = 350 K
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| η = 1200/2000 = 60 % |
1Behaupteten Wirkungsgrad berechnen
Eine positive Restwärme allein reicht als Prüfung nicht aus. |
| ηC = 1 − 350/700 = 50 % |
2Temperaturgrenze bestimmen
Diese Obergrenze gilt für zyklische Maschinen zwischen den beiden Reservoiren. |
| 60 % > 50 % |
3Vergleichen und entscheiden
Die behauptete Maschine überschreitet die Carnot-Grenze. |
Lernschritt 6
Wirkungsgrad ist ein Anteil. Leistung beschreibt dagegen Energieübertragung pro Zeit. Kleine und große Maschinen können denselben Wirkungsgrad und sehr unterschiedliche Leistungen haben.
Beispiel · Schritt für Schritt
Einer Maschine werden stationär 10 kW Wärmeleistung zugeführt. Ihr Wirkungsgrad beträgt 30 %.
PWärme,zu = 10 kW · η = 0,30
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| Pnutz = η · PWärme,zu |
1Nach der Nutzleistung umstellen
Der Wirkungsgrad wird als Dezimalzahl eingesetzt. |
| Pnutz = 0,30 · 10 kW = 3 kW |
2Nutzbaren Anteil berechnen
Pro Sekunde werden 3 kJ netto als Arbeit abgegeben. |
| PWärme,ab = 10 kW − 3 kW = 7 kW |
3Abwärme ergänzen
Im stationären Betrieb wird im Modell keine Energie angesammelt. |
Abwärme kann unter passenden Bedingungen noch zum Heizen dienen. Sie wird dadurch nicht automatisch zu zusätzlicher mechanischer Arbeit. Eine Wärmepumpe nutzt umgekehrt Arbeit, um Wärme zum wärmeren Bereich zu transportieren. Ihre Leistungszahl ist eine andere Kennzahl als der thermische Wirkungsgrad.
Lernschritt 7
Celsius in die Carnot-Formel einsetzen: Temperaturverhältnisse benötigen Kelvin.
Carnot-Grenze für den tatsächlichen Wirkungsgrad halten: Sie ist eine Obergrenze.
Qab als negative Zahl in die Betragsformel einsetzen: Hier bezeichnet Qab ausdrücklich den positiven Betrag der Wärmeabgabe.
Wirkungsgrad mit Leistung verwechseln: Ein Anteil ist keine Energie pro Zeit.
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Die Aufgaben sind unterschiedlich. Die Ergebnisse geben dir eine kurze Orientierung zu deinem Lernstand.
Physikhelfer
Berechne den Wirkungsgrad aus Nutzenergie und zugeführter Energie. Kreisprozesse und der Carnot-Wirkungsgrad sind hier nicht enthalten.
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25 %.
600 J.
50 %.
Nein, das überschreitet die Carnot-Grenze.
Null.
100 % der Carnot-Grenze, nicht 100 % Umwandlung der Wärme in Arbeit.
Fachlicher Abgleich der Grundgleichungen: OpenStax · University Physics.
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