1 · Qzu = 800 J, Wnutz = 200 J: Wie groß ist η?
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25 %.
Physik verstehen und üben · Wärmelehre
Physik · Sekundarstufe I und II
Wärmekraftmaschinen und Wirkungsgrad: verstehen und üben
Wie wird aus zugeführter Wärme nutzbare Arbeit – und warum bleibt immer eine Grenze? Untersuche die Energiebilanz einer zyklisch arbeitenden Wärmekraftmaschine.
η = WnutzQzu
Der thermische Wirkungsgrad gibt an, welcher Anteil der zugeführten Wärme als Nettoarbeit abgegeben wird.
Wärme aufnehmen, Arbeit abgeben, Wärme abführen
Eine Wärmekraftmaschine nimmt Wärme von einer heißen Quelle auf, gibt einen Teil der Energie als Arbeit ab und führt den übrigen Teil an eine kältere Umgebung ab. Ein Arbeitsstoff durchläuft dabei einen Kreisprozess und kehrt am Ende in seinen Anfangszustand zurück.
Wir betrachten zwei ideale Wärmereservoire mit konstanten Temperaturen Th und Tk. Sie sind so groß, dass die ausgetauschte Wärme ihre Temperaturen praktisch nicht verändert. Th ist größer als Tk.
Qzu und Qab bezeichnen auf dieser Seite positive Beträge der zu- beziehungsweise abgeführten Wärme. Wnutz ist die positiv gezählte Nettoarbeit nach Abzug der im Zyklus benötigten Arbeit. Alle Angaben beziehen sich auf einen vollständigen Zyklus.
Die Energie pro Kreisprozess bilanzieren
ΔUZyklus = 0
Qzu = Wnutz + Qab
η = WnutzQzu = 1 − QabQzu
Die innere Energie des Arbeitsstoffs hat nach einem Zyklus wieder ihren Anfangswert. Das bedeutet nicht, dass währenddessen keine Energie übertragen wurde. Die zugeführte Wärme ist auf Arbeit und Wärmeabgabe verteilt.
Zur bisherigen Konvention ΔU = Q + Wam passt das so: Q = Qzu − Qab und Wam = −Wnutz. Es ist dieselbe Bilanz mit genauer benannten Zu- und Abflüssen.
Die Carnot-Grenze
η ≤ ηC = 1 − TkTh
Keine zyklische Wärmekraftmaschine zwischen diesen zwei konstanten Reservoirtemperaturen kann effizienter sein als eine reversible Maschine. Gleichheit beschreibt den idealen reversiblen Grenzfall, nicht einen gewöhnlichen realen Motor.
Beide Temperaturen müssen in Kelvin eingesetzt werden. Die Grenze hängt vom Temperaturverhältnis ab. Gleiche Temperaturdifferenzen bedeuten bei unterschiedlichen absoluten Temperaturen nicht denselben maximalen Wirkungsgrad.
Eine höhere heiße Temperatur oder eine niedrigere kalte Temperatur kann die Grenze erhöhen. Für positive Tk und endliche Th bleibt ηC kleiner als eins. Wärmeabgabe ist somit nicht nur eine Folge schlecht gebauter Bauteile.
Temperaturen und Wirkungsgrad vergleichen
Qzu bleibt fest auf 1000 J. Der dritte Regler legt fest, welcher Anteil der Carnot-Grenze erreicht wird. Er ist eine Modellvorgabe, keine Vorhersage eines konkreten Motors. 100 % bedeutet reversibler Grenzfall.
Th = 600 K, Tk = 300 K: Carnot-Grenze 50 %; gewählter Wirkungsgrad 25 %; Arbeit 250 J.
Unterrichtsimpuls mit Erklärung
Stelle 600 K, 300 K und 100 % ein. Selbst dieser ideale Grenzfall gibt noch 500 J Wärme ab. Senke anschließend den erreichten Anteil auf 50 %: Es entstehen nur 250 J Nettoarbeit, während 750 J an das kalte Reservoir gehen.
Eine Maschine mit 30 % Wirkungsgrad
Eine Maschine arbeitet zwischen 700 K und 350 K. Pro Zyklus nimmt sie 2000 J Wärme auf und gibt 600 J Nettoarbeit ab.
η = 600 J2000 J = 0,30 = 30 %
Qab = 2000 J − 600 J = 1400 J
ηC = 1 − 350 K700 K = 0,50 = 50 %
30 % liegen unter der Carnot-Grenze von 50 %. Die Bilanz widerspricht diesen beiden Hauptsätzen daher nicht. Das allein beweist aber noch nicht, dass eine bestimmte technische Konstruktion diesen Wert erreicht.
Eine behauptete Nettoarbeit von 1200 J bei denselben 2000 J Wärmezufuhr entspräche 60 %. Zwischen denselben zwei Reservoiren wäre das oberhalb der Grenze und somit unmöglich.
Energie, Leistung und Abwärme unterscheiden
Wirkungsgrad ist ein Verhältnis und sagt allein nichts über die Leistung aus. Leistung beschreibt Energieübertragung pro Zeit. Eine kleine und eine große Maschine können denselben Wirkungsgrad, aber sehr unterschiedliche Leistungen haben.
η = PnutzPWärme,zu
Im stationären Betrieb mit 10 kW Wärmezufuhr und η = 0,30 ergeben sich 3 kW Nettoleistung und 7 kW Wärmeabgabe. Ob diese Abwärme noch zum Heizen genutzt werden kann, ist eine weitere Frage; sie wird dadurch nicht automatisch zu zusätzlicher mechanischer Arbeit.
Eine Wärmepumpe verwendet umgekehrt Arbeit, um Wärme zum wärmeren Bereich zu transportieren. Ihre Leistungszahl ist eine andere Kennzahl als der hier behandelte thermische Wirkungsgrad.
Typische Fehler vermeiden
Celsius in die Carnot-Formel einsetzen: Temperaturverhältnisse benötigen Kelvin.
Carnot-Grenze für den tatsächlichen Wirkungsgrad halten: Sie ist eine Obergrenze.
Qab als negative Zahl in die Betragsformel einsetzen: Hier bezeichnet Qab ausdrücklich den positiven Betrag der Wärmeabgabe.
Wirkungsgrad mit Leistung verwechseln: Ein Anteil ist keine Energie pro Zeit.
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Erst vorhersagen oder selbst rechnen, dann die Lösung öffnen.
2 · Wie groß ist Qab im selben Beispiel?
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600 J.
3 · Th = 600 K, Tk = 300 K: Wie groß ist ηC?
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50 %.
4 · Darf eine Maschine zwischen diesen Temperaturen 70 % thermischen Wirkungsgrad besitzen?
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Nein, das überschreitet die Carnot-Grenze.
5 · Wie groß ist ΔU des Arbeitsstoffs nach einem vollständigen Kreisprozess?
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Null.
6 · Was bedeutet 100 % im dritten Regler?
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100 % der Carnot-Grenze, nicht 100 % Umwandlung der Wärme in Arbeit.
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Wirkungsgrade und Energieumwandlungen berechnen; die Carnot-Grenze wird auf dieser Seite zusätzlich geübt.
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