Wie beeinflussen Abwurfwinkel und Startgeschwindigkeit eine Flugbahn? Zerlege die Bewegung, untersuche die Wurfparabel und vergleiche verschiedene Winkel.
Drei kurze Aufgaben helfen dir, deinen Startpunkt zu finden. Wenn du unsicher bist, wähle „Weiß ich noch nicht“.
Löse die Aufgaben ohne Nachschlagen. Bei Zahlen sind Dezimalkomma und Dezimalpunkt möglich. Verwende keine Tausenderpunkte.
Lernschritt 1
Ein Ball wird unter dem Winkel α nach schräg oben geworfen. Der Winkel wird von der Horizontalen aus gemessen. Wir wählen den Startpunkt als Ursprung: x nach rechts, y nach oben.
v0x = v₀ · cos α; v0y = v₀ · sin α
Ohne Luftwiderstand wirkt nach dem Abwurf nur die Gewichtskraft. Horizontal bleibt die Geschwindigkeit konstant. Senkrecht wird der Ball zunächst langsamer, erreicht den Scheitelpunkt und fällt anschließend beschleunigt nach unten.
Unser Modell verwendet konstantes g = 9,81 m·s−2, vernachlässigt Erdkrümmung und Luftwiderstand und endet beim ersten Auftreffen. In der interaktiven Grafik liegen Abwurf und Landung auf derselben Höhe.
v₀ ist die schräge Startgeschwindigkeit. Der Winkel α wird zur Horizontalen gemessen.
Blau: Ankathete → cos α.
Grün: Gegenkathete → sin α. Beide Komponenten zusammen ergeben den schrägen Pfeil; sie sind keine zusätzlichen Geschwindigkeiten.
Die Pfeile stellen Geschwindigkeiten dar. Die Gewichtskraft zeigt unabhängig davon nach unten.
Beispiel · Schritt für Schritt
Ein Ball startet mit 10 m/s unter 30° zur Horizontalen.
Gesucht: v₀ₓ und v₀ᵧ · Taschenrechner: DEG
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| α = 30° zur Horizontalen |
1Die Winkeldefinition prüfen
Wird der Winkel in einer anderen Aufgabe zur Senkrechten gemessen, musst du die Zuordnung anpassen. |
| v₀ₓ = v₀ · cos α v₀ₓ = 10 · cos 30° ≈ 8,66 m/s |
2Die horizontale Komponente berechnen
Sie liegt am Winkel an und bleibt im Flugmodell konstant. |
| v₀ᵧ = v₀ · sin α v₀ᵧ = 10 · sin 30° = 5,00 m/s |
3Die senkrechte Komponente berechnen
Sie ist nur zu Beginn 5,00 m/s und nimmt danach durch die Erdbeschleunigung ab. |
| √(8,66² + 5,00²) m/s ≈ 10 m/s |
4Mit Pythagoras kontrollieren
So erhältst du den ursprünglichen Betrag zurück. |
Lernschritt 2
x(t) = v₀ · cos α · t
y(t) = v₀ · sin α · t − 12 · g · t²
vx(t) = v₀ · cos α
vy(t) = v₀ · sin α − g · t
Nach oben ist positiv. Deshalb ist vy beim Aufstieg positiv, am Scheitel null und beim Abstieg negativ. Die Beschleunigung bleibt währenddessen nach unten gerichtet; sie verschwindet am Scheitelpunkt nicht.
Für cos α ≠ 0 lässt sich die Zeit eliminieren. Die Bahnkurve ist dann:
y(x) = x · tan α − g2v₀² · cos² α · x²
Diese quadratische Funktion beschreibt die Form der Flugbahn. Die Zeitgleichungen sagen zusätzlich, wann der Körper wo ist.
Beispiel · Schritt für Schritt
Verwende den Wurf mit 10 m/s unter 30°.
Gegeben: v₀ₓ ≈ 8,66 m/s, v₀ᵧ = 5,00 m/s, t = 0,70 s, g = 9,81 m/s²
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| x = v₀ₓ · t ≈ 6,06 m |
1Die horizontale Position berechnen
Die Bewegung nach rechts bleibt gleichförmig. |
| y = 5,00 · 0,70 m − ½ · 9,81 · 0,70² m y ≈ 1,097 m |
2Die Höhe über dem Start bestimmen
Die Höhe ist noch positiv. Das sagt allein nicht, ob der Ball gerade steigt oder fällt. |
| vy = 5,00 − 9,81 · 0,70 ≈ −1,87 m/s |
3Das Vorzeichen der vertikalen Geschwindigkeit deuten
Negatives vy bedeutet bei unserer Achsenwahl: Der Ball fällt bereits. |
Lernschritt 3
Die Achsen bleiben fest. Ein größer gezeichneter Wurf ist dadurch tatsächlich höher oder weiter. Der Zeitregler zeigt einen Anteil der jeweiligen gesamten Flugzeit. Bei 50 % befindet sich der Ball im Scheitelpunkt.
Vergleiche 30° und 60° bei gleicher Startgeschwindigkeit. Die Reichweite ist gleich, aber der 60°-Wurf dauert länger und steigt höher. Prüfe anschließend 45°: Dieser Winkel liefert im dargestellten Modell die größte Reichweite. Bei verschiedenen Abwurf- und Landungshöhen gilt diese Aussage nicht allgemein.
Lernschritt 4
Beim Scheitelpunkt gilt vy = 0. Bei gleicher Start- und Endhöhe dauert der Abstieg genauso lange wie der Aufstieg. Für einen nach oben gerichteten Wurf mit 0° < α < 90° folgt:
tS = v₀ · sin αg; tF = 2v₀ · sin αg
H = v₀² · sin² α2g
R = v₀² · sin(2α)g
sin(2α) wird bei α = 45° maximal. Ergänzungswinkel wie 30° und 60° besitzen denselben Wert von sin(2α) und damit dieselbe Reichweite. Verdoppelt man bei gleichem Winkel v₀, verdoppelt sich die Flugzeit; Höhe und Reichweite vervierfachen sich.
Lernschritt 5
Beispiel · Schritt für Schritt
Ein Ball wird mit 10 m/s unter 30° geworfen und landet auf derselben Höhe. Ohne Luftwiderstand gilt g = 9,81 m/s².
Aus der Zerlegung: v₀ₓ ≈ 8,66 m/s und v₀ᵧ = 5,00 m/s · Gesucht: tF, H und R
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| tS = v₀ᵧg ≈ 0,510 s |
1Den Scheitelpunkt über vy = 0 finden
Aus 0 = v₀ᵧ − g · tS folgt die Aufstiegszeit. Dort ist nur die vertikale Geschwindigkeit null. |
| tF = 2 · tS ≈ 1,019 s |
2Die Symmetrie bei gleicher Höhe nutzen
Auf- und Abstieg dauern gleich lang. Bei unterschiedlichen Höhen gilt diese Verdopplung nicht. |
| H = v₀ᵧ²2g = (5,00 m/s)²2 · 9,81 m/s² ≈ 1,274 m |
3Die maximale Höhe über dem Abwurfpunkt berechnen
Die senkrechte Anfangskomponente bestimmt, wie weit der Ball steigt. |
| R = v₀ₓ · tF ≈ 8,66 · 1,019 m R ≈ 8,83 m |
4Die horizontale Strecke berechnen
Verwende die gesamte Flugzeit und die horizontale Komponente, nicht den Betrag 10 m/s. |
Lernschritt 6
Liegt die Abwurfstelle h₀ über dem Landeniveau, zählt diese Höhe zur senkrechten Ortsfunktion hinzu. Die Formel R = v₀² · sin(2α)/g gilt dann nicht.
Beispiel · Schritt für Schritt
Ein Ball startet 2,0 m über dem Boden mit 10 m/s unter 30°.
Gegeben: h₀ = 2,0 m, v₀ₓ ≈ 8,66 m/s, v₀ᵧ = 5,00 m/s, g = 9,81 m/s² · Gesucht: tF und R
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| 0 = 2,0 + 5,00t − 4,905t² |
1Den Bodenkontakt in die Höhenfunktion einsetzen
In dieser Zahlenwertgleichung wird t in Sekunden eingesetzt; y wurde in Metern ausgedrückt. |
| tF = v₀ᵧ + √(v₀ᵧ² + 2gh₀)g |
2Die quadratische Gleichung lösen
Für h₀ > 0 liegt nur die Lösung mit dem Pluszeichen nach dem Abwurf. |
| tF = 5,00 + √(5,00² + 2 · 9,81 · 2,0)9,81 s tF ≈ 1,327 s |
3Die positive Flugzeit berechnen
Die andere Lösung beträgt etwa −0,307 s und gehört nicht zum betrachteten Flug nach dem Start. |
| R = v₀ₓ · tF ≈ 11,49 m |
4Mit der längeren Flugzeit die Reichweite berechnen
Der Ball ist länger unterwegs als bei einer Landung auf Abwurfhöhe. |
Danach gilt R = v₀ · cos α · tF. Der Regler oben zeigt weiterhin nur den Fall gleicher Start- und Endhöhe.
Lernschritt 7
Am Scheitel steht der Ball still: Nur vy ist null; vx bleibt bestehen.
45° ist immer optimal: Das gilt für gleiche Höhen ohne Luftwiderstand bei festem v₀.
Winkel von der Senkrechten ablesen: Hier wird α zur Horizontalen gemessen.
Geschwindigkeiten addieren: Der Betrag ist √(vx² + vy²), nicht vx + vy.
Selbst ausprobieren
Mit Tipps lernen oder ohne Hilfe testen – du entscheidest.
Wähle deine Stufe. Du löst jeweils sechs Aufgaben mit direkter Rückmeldung, Tipps und Rechenwegen.
Optional: Dein Fortschritt wird nur in diesem Browser gespeichert.
Bearbeite drei weitere Aufgaben ohne Nachschlagen. Nutze die Rückmeldung, um gezielt weiterzulernen.
Löse die Aufgaben ohne Nachschlagen. Bei Zahlen sind Dezimalkomma und Dezimalpunkt möglich. Verwende keine Tausenderpunkte.
Die Aufgaben sind unterschiedlich. Die Ergebnisse geben dir eine kurze Orientierung zu deinem Lernstand.
Physikhelfer
Berechne Reichweite, Flugzeit und maximale Höhe bei gleicher Abwurf- und Landungshöhe, ohne Luftwiderstand. Für einen gesuchten Reichweitenwinkel zeigt der Helfer den flacheren Winkel und erläutert die zweite mögliche Lösung. Wähle deine gesuchte Größe und lass dir den Rechenweg Schritt für Schritt zeigen.
Kostenlos und ohne Anmeldung. Ein Rücklink führt dich wieder zu dieser Erklärung.
Erst vorhersagen oder selbst rechnen, dann die Lösung öffnen.
5,00 m·s⁻¹.
Die senkrechte Komponente vy. Die horizontale Komponente bleibt konstant.
70°, bei gleicher Startgeschwindigkeit und ohne Luftwiderstand.
Sie vervierfacht sich, wenn Winkel und die übrigen Modellbedingungen gleich bleiben.
Weiterhin 9,81 m·s⁻² nach unten.
Nicht allgemein. Dann muss die Höhenfunktion mit dem passenden Startwert gleich null gesetzt werden.
Fachlicher Abgleich der Grundgleichungen: OpenStax · University Physics.
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