1 · v₀ = 10 m·s⁻¹, α = 30°: Wie groß ist die senkrechte Startkomponente?
Lösung ansehen
5,00 m·s⁻¹.
Physik verstehen und üben · Mechanik
Physik · Sekundarstufe I und II
Schiefer Wurf: verstehen und üben
Wie beeinflussen Abwurfwinkel und Startgeschwindigkeit eine Flugbahn? Zerlege die Bewegung, untersuche die Wurfparabel und vergleiche verschiedene Winkel.
Waagerecht gleichförmig, senkrecht beschleunigt
Die beiden Bewegungsanteile laufen gleichzeitig ab. Am höchsten Punkt ist nur die senkrechte Geschwindigkeit null.
Eine Startgeschwindigkeit, zwei Komponenten
Ein Ball wird unter dem Winkel α nach schräg oben geworfen. Der Winkel wird von der Horizontalen aus gemessen. Wir wählen den Startpunkt als Ursprung: x nach rechts, y nach oben.
v0x = v₀ · cos α; v0y = v₀ · sin α
Ohne Luftwiderstand wirkt nach dem Abwurf nur die Gewichtskraft. Horizontal bleibt die Geschwindigkeit konstant. Senkrecht wird der Ball zunächst langsamer, erreicht den Scheitelpunkt und fällt anschließend beschleunigt nach unten.
Unser Modell verwendet konstantes g = 9,81 m·s−2, vernachlässigt Erdkrümmung und Luftwiderstand und endet beim ersten Auftreffen. In der interaktiven Grafik liegen Abwurf und Landung auf derselben Höhe.
Die Bewegung mit der Zeit beschreiben
x(t) = v₀ · cos α · t
y(t) = v₀ · sin α · t − 12 · g · t²
vx(t) = v₀ · cos α
vy(t) = v₀ · sin α − g · t
Nach oben ist positiv. Deshalb ist vy beim Aufstieg positiv, am Scheitel null und beim Abstieg negativ. Die Beschleunigung bleibt währenddessen nach unten gerichtet; sie verschwindet am Scheitelpunkt nicht.
Für cos α ≠ 0 lässt sich die Zeit eliminieren. Die Bahnkurve ist dann:
y(x) = x · tan α − g2v₀² · cos² α · x²
Diese quadratische Funktion beschreibt die Form der Flugbahn. Die Zeitgleichungen sagen zusätzlich, wann der Körper wo ist.
Winkel, Geschwindigkeit und Zeitpunkt verändern
Die Achsen bleiben fest. Ein größer gezeichneter Wurf ist dadurch tatsächlich höher oder weiter. Der Zeitregler zeigt einen Anteil der jeweiligen gesamten Flugzeit. Bei 50 % befindet sich der Ball im Scheitelpunkt.
v₀ = 15 m·s⁻¹, α = 45°: Reichweite etwa 22,94 m; maximale Höhe etwa 5,73 m.
Unterrichtsimpuls mit Erklärung
Vergleiche 30° und 60° bei gleicher Startgeschwindigkeit. Die Reichweite ist gleich, aber der 60°-Wurf dauert länger und steigt höher. Prüfe anschließend 45°: Dieser Winkel liefert im dargestellten Modell die größte Reichweite. Bei verschiedenen Abwurf- und Landungshöhen gilt diese Aussage nicht allgemein.
Flugzeit, maximale Höhe und Reichweite
Beim Scheitelpunkt gilt vy = 0. Bei gleicher Start- und Endhöhe dauert der Abstieg genauso lange wie der Aufstieg. Für einen nach oben gerichteten Wurf mit 0° < α < 90° folgt:
tS = v₀ · sin αg; tF = 2v₀ · sin αg
H = v₀² · sin² α2g
R = v₀² · sin(2α)g
sin(2α) wird bei α = 45° maximal. Ergänzungswinkel wie 30° und 60° besitzen denselben Wert von sin(2α) und damit dieselbe Reichweite. Verdoppelt man bei gleichem Winkel v₀, verdoppelt sich die Flugzeit; Höhe und Reichweite vervierfachen sich.
Ein Wurf mit 10 m·s⁻¹ unter 30°
Zuerst zerlegen wir die Startgeschwindigkeit. Stelle den Taschenrechner für die Winkelangaben auf Gradmaß (DEG).
v0x = 10 · cos 30° ≈ 8,66 m·s−1
v0y = 10 · sin 30° = 5,00 m·s−1
tF = 2 · 5,009,81 s ≈ 1,019 s
H = 5,00²2 · 9,81 m ≈ 1,274 m
R = 8,66 · 1,019 m ≈ 8,83 m
Am höchsten Punkt bleibt die horizontale Geschwindigkeit etwa 8,66 m·s−1. Beim Auftreffen auf derselben Höhe ist der Geschwindigkeitsbetrag wieder 10 m·s−1; die senkrechte Komponente hat dann das umgekehrte Vorzeichen.
Was ändert sich bei einer erhöhten Abwurfstelle?
Bei einer Starthöhe h₀ über dem Landeniveau wird y(t) = h₀ + v₀ sin α · t − ½gt². Die positive Lösung von y(t) = 0 liefert die Flugzeit:
tF = v₀ sin α + √((v₀ sin α)² + 2gh₀)g
Danach gilt weiterhin R = v₀ cos α · tF. Die einfache Reichweitenformel für gleiche Höhen darf hier nicht eingesetzt werden. Die Regler oben zeigen bewusst nur den Fall h₀ = 0.
Typische Fehler vermeiden
Am Scheitel steht der Ball still: Nur vy ist null; vx bleibt bestehen.
45° ist immer optimal: Das gilt für gleiche Höhen ohne Luftwiderstand bei festem v₀.
Winkel von der Senkrechten ablesen: Hier wird α zur Horizontalen gemessen.
Geschwindigkeiten addieren: Der Betrag ist √(vx² + vy²), nicht vx + vy.
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Erst vorhersagen oder selbst rechnen, dann die Lösung öffnen.
2 · Welche Geschwindigkeitskomponente verschwindet am Scheitel?
Lösung ansehen
Die senkrechte Komponente vy. Die horizontale Komponente bleibt konstant.
3 · Welche beiden Winkel liefern bei gleicher Start- und Endhöhe dieselbe Reichweite: 20° und …?
Lösung ansehen
70°, bei gleicher Startgeschwindigkeit und ohne Luftwiderstand.
4 · Was passiert mit der Reichweite, wenn v₀ verdoppelt wird?
Lösung ansehen
Sie vervierfacht sich, wenn Winkel und die übrigen Modellbedingungen gleich bleiben.
5 · Wie groß ist die Beschleunigung am Scheitelpunkt?
Lösung ansehen
Weiterhin 9,81 m·s⁻² nach unten.
6 · Ist die Flugzeitformel 2v₀ sin α geteilt durch g auch bei einer erhöhten Abwurfstelle gültig?
Lösung ansehen
Nicht allgemein. Dann muss die Höhenfunktion mit dem passenden Startwert gleich null gesetzt werden.
Kostenlos üben
Kostenlos · PDF
Der schräge Wurf – kostenloses Physik-Arbeitsblatt mit Lösungen (PDF)
Bewegungszerlegung, Scheitelpunkt, Flugzeit und Reichweite mit Lösungen.
Material und Details ansehen →Mechanik zusammenhängend vertiefen
Kaufbares Physikbuch
STARK Physik 12. Klasse - Abitur-Training FOS/BOS - Mechanik, Elektrodynamik
Abitur-Training für die 12. Klasse FOS/BOS mit Schwerpunkt Mechanik und Elektrodynamik. Prüfe Schulform und Themenumfang auf der Produktseite; dort findest du auch den Preis.
Material und Details ansehen →Weiterlernen
Fachlicher Abgleich der Grundgleichungen: OpenStax · University Physics.