Wann bleibt ein Körper am Hang liegen, wann rutscht er? Zerlege die Gewichtskraft und unterscheide die tatsächlich wirkende Haftreibung von ihrem Höchstwert.
Drei kurze Aufgaben helfen dir, deinen Startpunkt zu finden. Wenn du unsicher bist, wähle „Weiß ich noch nicht“.
Löse die Aufgaben ohne Nachschlagen. Bei Zahlen sind Dezimalkomma und Dezimalpunkt möglich. Verwende keine Tausenderpunkte.
Lernschritt 1
Ein Klotz liegt auf einer geneigten Ebene. Es wirken seine Gewichtskraft senkrecht nach unten, die Normalkraft senkrecht von der Oberfläche weg und gegebenenfalls Reibung parallel zur Oberfläche. Der Neigungswinkel α wird zur Horizontalen gemessen.
Wir betrachten einen Körper, der nicht kippt oder rollt. Es gibt keine Zugkraft, die Ebene bleibt fest, und g = 9,81 m·s−2. Die einfache Reibungsbeschreibung mit konstanten Koeffizienten ist ein Näherungsmodell für die Kontaktflächen.
Zerlege die Gewichtskraft in eine Komponente parallel zur Ebene und eine senkrecht in die Ebene hinein. Diese Komponenten ersetzen in der Rechnung die Gewichtskraft. Sie werden nicht zusätzlich zur ganzen Gewichtskraft addiert.
Lernschritt 2
FG = m · g
F∥ = m · g · sin α
F⊥ = m · g · cos α
FN = F⊥ = m · g · cos α
Die letzte Gleichheit gilt hier, weil keine weitere Kraft senkrecht zur Ebene wirkt und der Körper in dieser Richtung nicht beschleunigt wird. Die Normalkraft ist am Hang daher kleiner als mg.
Prüfe die Grenzfälle: Auf einer horizontalen Fläche ist α = 0°, also F∥ = 0 und FN = mg. Je steiler der Hang, desto größer wird F∥ und desto kleiner FN.
Lernschritt 3
0 ≤ FHaft ≤ μH · FN
μH ist der dimensionslose Haftreibungskoeffizient. Das Produkt μH·FN ist die maximal mögliche Haftreibung, nicht automatisch die tatsächlich wirkende Kraft. Wenn der Körper ruht, reicht hier genau FHaft = F∥ zum Ausgleich.
Ruhe möglich, wenn: m g sin α ≤ μH m g cos α
tan α ≤ μH
Die Masse kürzt sich heraus. Die Grenzneigung ist αkrit = arctan(μH). An dieser Grenze ist die Haftreibung voll ausgeschöpft; im idealen Modell ist Ruhe gerade noch möglich. Bei größerem Winkel setzt das Rutschen ein.
Beispiel · Schritt für Schritt
Ein 2-kg-Klotz wird auf einer 20° geneigten Ebene aus Ruhe losgelassen. μH = 0,50 und g = 9,81 m/s².
Gesucht: maximale und tatsächliche Haftreibung; Ruhezustand möglich?
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| F∥ = m · g · sin 20° ≈ 6,71 N |
1Die hangabwärts wirkende Komponente bestimmen
Diese Kraft müsste die Haftreibung ausgleichen. |
| FN = m · g · cos 20° ≈ 18,44 N |
2Die Normalkraft bestimmen
Sie ist am Hang kleiner als die volle Gewichtskraft. |
| FHaft,max = 0,50 · 18,44 N ≈ 9,22 N |
3Den Höchstwert der Haftreibung berechnen
Das ist die verfügbare Grenze, noch nicht die tatsächlich wirkende Reibung. |
| 6,71 N < 9,22 N FHaft = 6,71 N |
4Benötigte Kraft mit der Grenze vergleichen
Es ist genug Haftreibung verfügbar. Sie passt sich auf genau 6,71 N hangaufwärts an. |
Beispiel · Schritt für Schritt
Der Haftreibungskoeffizient beträgt μH = 0,50. Der Klotz startet aus Ruhe; weitere Kräfte wirken nicht.
Gesucht: αkrit
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| m · g · sin α = μH · m · g · cos α |
1Die Grenze als Gleichheit ansetzen
An der Grenze wird die maximal mögliche Haftreibung gerade erreicht. |
| tan α = μH = 0,50 |
2Gemeinsame Faktoren kürzen
Für 0° ≤ α < 90° darfst du durch m · g · cos α teilen. Die Masse kürzt sich heraus. |
| αkrit = arctan(0,50) ≈ 26,6° |
3Den Winkel bestimmen
Stelle den Taschenrechner auf Gradmaß (DEG), nicht Bogenmaß (RAD). |
Lernschritt 4
Die Masse ist fest auf 2 kg gesetzt, μH = 0,50 und μG = 0,30. Ändere den Winkel. Angezeigt werden die Kräfte beim Loslassen aus Ruhe und gegebenenfalls die anschließende Beschleunigung hangabwärts.
Orange: Gewichtskraft. Sie zeigt senkrecht nach unten.
Blau: Normalkraft. Sie steht senkrecht auf der Ebene.
Grün: tatsächliche Reibung. Beim ruhenden Klotz passt sie sich an; nach Überschreiten der Haftgrenze gilt Gleitreibung.
Alle Kraftpfeile haben denselben Maßstab. Die Hangform ist schematisch. Jede Einstellung prüft erneut das Loslassen aus Ruhe.
Stelle zuerst 10°, dann 20° ein: Die tatsächliche Haftreibung wächst, obwohl ihr maximal möglicher Wert etwas sinkt. Vergleiche anschließend 26° und 27°. Bei ungefähr 26,6° wird die Grenze erreicht. Oberhalb davon rutscht der Körper; im verwendeten Modell fällt die Reibung auf den kleineren Gleitreibungswert ab.
Lernschritt 5
FGleit = μG · FN
a = F∥ − FGleitm = g · (sin α − μG cos α)
Diese Beschleunigungsformel nimmt einen bereits hangabwärts gleitenden Körper an; hangabwärts ist positiv. Häufig gilt μG < μH. Der Widerstand beim Gleiten kann deshalb kleiner sein als die gerade überwundene Haftgrenze.
Ein bereits gleitender Körper kann bei einer flacheren Neigung noch weiterrutschen. Der Regler prüft dagegen bei jeder neuen Einstellung erneut das Loslassen aus Ruhe. Er simuliert kein langsames Absenken einer Ebene unter einem bewegten Körper.
Wird ein Körper hangaufwärts geschoben, zeigt die Gleitreibung hangabwärts. Reibung richtet sich gegen die relative Gleitbewegung oder deren drohenden Beginn; sie zeigt nicht grundsätzlich bergauf.
Beispiel · Schritt für Schritt
Ein Klotz gleitet bereits hangabwärts bei 10°. Es gilt μG = 0,30 und g = 9,81 m/s².
Gesucht: a; hangabwärts ist positiv
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| a = g · (sin α − μG · cos α) |
1Die Formel für den gleitenden Zustand verwenden
Der Klotz bewegt sich bereits. Deshalb ist hier zunächst Gleitreibung maßgeblich. |
| a = 9,81 · (sin 10° − 0,30 · cos 10°) a ≈ −1,19 m/s² |
2Vorzeichen ausrechnen
Die Gleitreibung ist größer als die antreibende Hangkomponente. |
| v > 0, a < 0 |
3Die Bewegung deuten
Der Klotz wird langsamer. Beim Stillstand endet dieses Gleitmodell; danach muss die Haftung neu geprüft werden. |
Lernschritt 6
Prüfe beim Loslassen zuerst die Haftreibung. Erst wenn ihre Grenze überschritten ist, verwendest du für die anschließende Bewegung den Gleitreibungskoeffizienten.
Beispiel · Schritt für Schritt
Ein 2-kg-Klotz liegt auf einer Ebene mit 30° Neigung. μH = 0,50, μG = 0,30 und g = 9,81 m/s². Er wird aus Ruhe losgelassen.
Gesucht: Bewegungszustand und gegebenenfalls Beschleunigung hangabwärts
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| F∥ = 2 · 9,81 · sin 30° N = 9,81 N FN = 2 · 9,81 · cos 30° N ≈ 16,99 N |
1Die Gewichtskraft zerlegen
Parallel treibt sie den Klotz abwärts. Senkrecht wird ihre Komponente durch die Normalkraft ausgeglichen. |
| FHaft,max = 0,50 · 16,99 N ≈ 8,50 N |
2Die Haftgrenze berechnen
Verwende μH, weil du das Loslassen aus Ruhe prüfst. |
| 9,81 N > 8,50 N |
3Entscheiden, ob Ruhe möglich ist
Die benötigte Reibung übersteigt den Höchstwert. Der Klotz rutscht los. |
| FGleit = 0,30 · 16,99 N ≈ 5,10 N |
4Jetzt die Gleitreibung berechnen
Beim hangabwärts gleitenden Klotz wirkt sie hangaufwärts. |
| a = F∥ − FGleitm ≈ 9,81 N − 5,10 N2 kg a ≈ 2,36 m/s² |
5Die resultierende Kraft durch die Masse teilen
Hangabwärts ist positiv. Rechne intern mit ungerundeten Werten und runde erst das Ergebnis. |
Bei 20° ist F∥ ≈ 6,71 N kleiner als die Haftgrenze von etwa 9,22 N. Beim Loslassen aus Ruhe bleibt der Klotz dort liegen. Der bereits gleitende Zustand ist ein anderer Fall.
Lernschritt 7
Haftreibung immer als μH·FN einsetzen: Das ist nur der Höchstwert.
Normalkraft mit Gewichtskraft gleichsetzen: Am Hang gilt hier FN = mg cos α.
Komponenten als zusätzliche Kräfte zählen: F∥ und F⊥ ergeben zusammen FG.
Vor jeder Prüfung Gleitreibung verwenden: Prüfe bei einem ruhenden Körper zuerst, ob Haftung möglich ist.
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Physikhelfer
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Null.
40 N.
15 N, nicht 40 N.
Bei ungefähr 26,6°, denn tan αkrit = 0,5.
Nein. Hangabtriebskraft und maximal mögliche Haftreibung verdoppeln sich beide.
Hangabwärts, entgegen der relativen Gleitbewegung.
Fachlicher Abgleich der Grundgleichungen: OpenStax · University Physics.
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