1 · Wie groß ist die Hangabtriebskraft bei α = 0°?
Lösung ansehen
Null.
Physik verstehen und üben · Mechanik
Physik · Sekundarstufe I und II
Reibung und schiefe Ebene: verstehen und üben
Wann bleibt ein Körper am Hang liegen, wann rutscht er? Zerlege die Gewichtskraft und unterscheide die tatsächlich wirkende Haftreibung von ihrem Höchstwert.
F∥ = m · g · sin α
Der Anteil der Gewichtskraft entlang der Ebene zieht den Körper hangabwärts. Haftreibung kann ihn bis zu einer Grenze ausgleichen.
Drei Kräfte am ruhenden Körper
Ein Klotz liegt auf einer geneigten Ebene. Es wirken seine Gewichtskraft senkrecht nach unten, die Normalkraft senkrecht von der Oberfläche weg und gegebenenfalls Reibung parallel zur Oberfläche. Der Neigungswinkel α wird zur Horizontalen gemessen.
Wir betrachten einen Körper, der nicht kippt oder rollt. Es gibt keine Zugkraft, die Ebene bleibt fest, und g = 9,81 m·s−2. Die einfache Reibungsbeschreibung mit konstanten Koeffizienten ist ein Näherungsmodell für die Kontaktflächen.
Zerlege die Gewichtskraft in eine Komponente parallel zur Ebene und eine senkrecht in die Ebene hinein. Diese Komponenten ersetzen in der Rechnung die Gewichtskraft. Sie werden nicht zusätzlich zur ganzen Gewichtskraft addiert.
Gewichtskraft zerlegen
FG = m · g
F∥ = m · g · sin α
F⊥ = m · g · cos α
FN = F⊥ = m · g · cos α
Die letzte Gleichheit gilt hier, weil keine weitere Kraft senkrecht zur Ebene wirkt und der Körper in dieser Richtung nicht beschleunigt wird. Die Normalkraft ist am Hang daher kleiner als mg.
Prüfe die Grenzfälle: Auf einer horizontalen Fläche ist α = 0°, also F∥ = 0 und FN = mg. Je steiler der Hang, desto größer wird F∥ und desto kleiner FN.
Haftreibung passt sich an
0 ≤ FHaft ≤ μH · FN
μH ist der dimensionslose Haftreibungskoeffizient. Das Produkt μH·FN ist die maximal mögliche Haftreibung, nicht automatisch die tatsächlich wirkende Kraft. Wenn der Körper ruht, reicht hier genau FHaft = F∥ zum Ausgleich.
Ruhe möglich, wenn: m g sin α ≤ μH m g cos α
tan α ≤ μH
Die Masse kürzt sich heraus. Die Grenzneigung ist αkrit = arctan(μH). An dieser Grenze ist die Haftreibung voll ausgeschöpft; im idealen Modell ist Ruhe gerade noch möglich. Bei größerem Winkel setzt das Rutschen ein.
Wann reicht die Haftreibung nicht mehr?
Die Masse ist fest auf 2 kg gesetzt, μH = 0,50 und μG = 0,30. Ändere den Winkel. Angezeigt werden die Kräfte beim Loslassen aus Ruhe und gegebenenfalls die anschließende Beschleunigung hangabwärts.
20°: Der Klotz bleibt liegen. Die Haftreibung beträgt etwa 6,71 N.
Unterrichtsimpuls mit Erklärung
Stelle zuerst 10°, dann 20° ein: Die tatsächliche Haftreibung wächst, obwohl ihr maximal möglicher Wert etwas sinkt. Vergleiche anschließend 26° und 27°. Bei ungefähr 26,6° wird die Grenze erreicht. Oberhalb davon rutscht der Körper; im verwendeten Modell fällt die Reibung auf den kleineren Gleitreibungswert ab.
Nach dem Losrutschen: Gleitreibung
FGleit = μG · FN
a = F∥ − FGleitm = g · (sin α − μG cos α)
Diese Beschleunigungsformel nimmt einen bereits hangabwärts gleitenden Körper an; hangabwärts ist positiv. Häufig gilt μG < μH. Der Widerstand beim Gleiten kann deshalb kleiner sein als die gerade überwundene Haftgrenze.
Ein bereits gleitender Körper kann bei einer flacheren Neigung noch weiterrutschen. Der Regler prüft dagegen bei jeder neuen Einstellung erneut das Loslassen aus Ruhe. Er simuliert kein langsames Absenken einer Ebene unter einem bewegten Körper.
Wird ein Körper hangaufwärts geschoben, zeigt die Gleitreibung hangabwärts. Reibung richtet sich gegen die relative Gleitbewegung oder deren drohenden Beginn; sie zeigt nicht grundsätzlich bergauf.
Ein 2-kg-Klotz bei 30°
F∥ = 2 · 9,81 · sin 30° N = 9,81 N
FN = 2 · 9,81 · cos 30° N ≈ 16,99 N
FHaft,max = 0,50 · 16,99 N ≈ 8,50 N
9,81 N sind größer als 8,50 N: Die Haftreibung genügt nicht. Der Körper rutscht los.
FGleit = 0,30 · 16,99 N ≈ 5,10 N
a = 9,81 N − 5,10 N2 kg ≈ 2,36 m·s−2
Bei 20° wäre F∥ ≈ 6,71 N kleiner als FHaft,max ≈ 9,22 N. Dann wirkt nur eine Haftreibung von 6,71 N, und der Körper bleibt liegen.
Typische Fehler vermeiden
Haftreibung immer als μH·FN einsetzen: Das ist nur der Höchstwert.
Normalkraft mit Gewichtskraft gleichsetzen: Am Hang gilt hier FN = mg cos α.
Komponenten als zusätzliche Kräfte zählen: F∥ und F⊥ ergeben zusammen FG.
Vor jeder Prüfung Gleitreibung verwenden: Prüfe bei einem ruhenden Körper zuerst, ob Haftung möglich ist.
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Erst vorhersagen oder selbst rechnen, dann die Lösung öffnen.
2 · FN = 100 N und μH = 0,4: Wie groß ist die maximale Haftreibung?
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40 N.
3 · Zum Halten reichen 15 N; die Haftgrenze beträgt 40 N. Welche Haftreibung wirkt?
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15 N, nicht 40 N.
4 · Bei μH = 0,5: Liegt die Grenzneigung eher bei 20°, 26,6° oder 45°?
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Bei ungefähr 26,6°, denn tan αkrit = 0,5.
5 · Verdoppelt sich bei gleicher Neigung die Masse: Ändert sich die Haftbedingung?
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Nein. Hangabtriebskraft und maximal mögliche Haftreibung verdoppeln sich beide.
6 · Ein Körper gleitet hangaufwärts. Wohin wirkt die Gleitreibung?
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Hangabwärts, entgegen der relativen Gleitbewegung.
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Haft- und Gleitreibung unterscheiden und Kräfte einzeichnen.
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Gewichtskraft zerlegen und mit Hangabtriebskraft und Normalkraft rechnen.
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