Warum bleibt ein Satellit auf seiner Bahn? Verbinde das Gravitationsgesetz mit der Kreisbewegung und untersuche Geschwindigkeit, Umlaufzeit und Schwerelosigkeit.
Drei kurze Aufgaben helfen dir, deinen Startpunkt zu finden. Wenn du unsicher bist, wähle „Weiß ich noch nicht“.
Löse die Aufgaben ohne Nachschlagen. Bei Zahlen sind Dezimalkomma und Dezimalpunkt möglich. Verwende keine Tausenderpunkte.
Lernschritt 1
Zwei Massen ziehen einander an. Für kugelsymmetrische Körper außerhalb ihres Inneren lässt sich die Kraft so berechnen, als läge die gesamte Masse jeweils im Mittelpunkt:
FG = G · M · mr²
G ≈ 6,6743 · 10−11 N·m²·kg−2 ist die Gravitationskonstante. M bezeichnet hier die Erdmasse, m die Satellitenmasse. r ist der Abstand der Mittelpunkte, nicht die Höhe über der Oberfläche.
r = RE + h
Für unsere Rechnungen verwenden wir einen mittleren Erdradius RE = 6371 km und GM = 3,9860 · 1014 m³·s−2. Das Modell behandelt die Erde als kugelsymmetrisch und vernachlässigt Luftwiderstand, andere Himmelskörper und die geringe Rückwirkung des Satelliten auf die Erde.
Lernschritt 2
Für eine gleichförmige Kreisbewegung wird eine zum Zentrum gerichtete Kraft benötigt. Diese Zentripetalkraft ist hier die Gravitationskraft; es handelt sich nicht um zwei zusätzliche Kräfte.
G · M · mr² = m · v²r
v = √(GMr)
Die Satellitenmasse kürzt sich heraus. Bei gleichem Bahnradius brauchen ein leichter und ein schwerer Satellit in diesem Modell dieselbe Kreisbahngeschwindigkeit. In alle SI-Formeln wird r in Metern eingesetzt.
T = 2πrv = 2π · √(r³GM)
g(r) = GMr²
Eine höhere Kreisbahn besitzt eine kleinere Bahngeschwindigkeit, aber eine längere Umlaufzeit. Die lokale Fallbeschleunigung nimmt ebenfalls ab. Die Geschwindigkeit ist tangential zur Bahn, die Beschleunigung radial nach innen gerichtet.
Beispiel · Schritt für Schritt
Zwei ideale Kreisbahnen um dieselbe Erde haben r₂ = 2r₁.
Gesucht: Faktoren für v, T und g
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| v₂/v₁ = √(r₁/r₂) = 1/√2 ≈ 0,707 |
1Die Wurzelabhängigkeit der Geschwindigkeit nutzen
Die Bahngeschwindigkeit sinkt auf etwa 71 %. |
| T₂/T₁ = (r₂/r₁)³ᐟ² = √8 ≈ 2,83 |
2Den Radiusfaktor in der Umlaufzeit berücksichtigen
Der größere Umfang und das geringere Tempo verlängern den Umlauf. |
| g₂/g₁ = (r₁/r₂)² = 1/4 |
3Das Abstandsgesetz anwenden
Die Fallbeschleunigung sinkt auf ein Viertel. |
Das gilt nicht für eine bloße Verdopplung der Höhe h über der Oberfläche. Zuerst immer r = RE + h bilden.
Lernschritt 3
Verstelle die Höhe einer idealen Kreisbahn. Die Erdgröße bleibt unverändert; Bahnradius und Zahlenwerte werden gemeinsam aktualisiert. Der Bereich von 200 bis 2000 km zeigt erdnahe Bahnen.
Blau: Geschwindigkeit tangential zur Kreisbahn. Sie steht senkrecht zum Bahnradius.
Orange: Gravitationskraft zum Erdmittelpunkt. Sie liefert hier die notwendige Zentripetalkraft.
Grün: Kreisbahn. Gestrichelt ist der Radius vom Erdmittelpunkt zum Satelliten eingezeichnet.
Höhe h = 400 km
Radius r = 6 771 km
Erde und Bahn haben denselben festen Längenmaßstab. Die Kraft- und Geschwindigkeitspfeile sind schematisch. Der Regler vergleicht Kreisbahnen und zeigt kein Bahnwechselmanöver.
Schätzt zuerst, ob die Erdanziehung in 400 km Höhe fast verschwunden ist. Der Regler zeigt noch etwa 8,69 m·s⁻², also rund 89 % des vertrauten Oberflächenwerts. Die Schwerelosigkeit entsteht durch den gemeinsamen freien Fall von Satellit und Personen darin.
Lernschritt 4
Beispiel · Schritt für Schritt
Ein Satellit bewegt sich auf einer Kreisbahn 400 km über der Erde.
Gegeben: RE = 6 371 km, h = 400 km, GM = 3,9860 · 10¹⁴ m³/s² · Gesucht: r, v und T
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| r = RE + h = 6 771 km r = 6,771 · 10⁶ m |
1Den Abstand zum Erdmittelpunkt bestimmen
Die 400 km sind nur die Höhe über der Oberfläche. In die Kreisbahnformel gehört der gesamte Radius in Metern. |
| v = √(GM/r) |
2Die Gravitationskraft als Zentripetalkraft verwenden
Aus GMm/r² = mv²/r kürzt sich die Satellitenmasse m heraus. |
| v = √(3,9860 · 10¹⁴ m³/s²6,771 · 10⁶ m) v ≈ 7 673 m/s = 7,67 km/s |
3Die Bahngeschwindigkeit berechnen
Die Einheit unter der Wurzel ist m²/s². Größere Satellitenmasse würde das Ergebnis nicht ändern. |
| T = 2πrv ≈ 5 545 s |
4Bahnumfang durch Geschwindigkeit teilen
Die Kreisbahn ist viel länger als der Höhenunterschied zur Erdoberfläche. |
| T ≈ 5 54560 min ≈ 92,4 min |
5In Minuten umrechnen und prüfen
Das ist ungefähr anderthalb Stunden pro Umlauf. Runde Zwischenwerte erst am Ende. |
Lernschritt 5
Satellit, Menschen und lose Gegenstände werden im Wesentlichen gemeinsam durch die Gravitation beschleunigt. Es gibt dabei keine gewöhnliche Stützkraft wie beim Stehen auf einem Boden auf der Erde. Eine mitfallende Waage zeigt deshalb nahezu null an.
Das nennt man Schwerelosigkeit beziehungsweise im realen Fall Mikrogravitation. Es bedeutet weder Masseverlust noch Abwesenheit der Gravitation. Kleine Unterschiede im Gravitationsfeld, Restluft und technische Beschleunigungen begrenzen den idealen Zustand.
Im erdzentrierten, näherungsweise inertialen Bezugssystem zeigt die resultierende Kraft nach innen. Eine zusätzliche nach außen wirkende reale Kraft muss hier nicht zur Gravitation addiert werden.
Beispiel · Schritt für Schritt
Ein Satellit mit 1 000 kg Masse befindet sich auf der Kreisbahn in 400 km Höhe.
Gegeben: r = 6,771 · 10⁶ m, GM = 3,9860 · 10¹⁴ m³/s² · Gesucht: g(r) und FG
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| g(r) = GMr² |
1Die lokale Fallbeschleunigung bestimmen
Sie beschreibt die Beschleunigung durch die Erdanziehung an diesem Ort. |
| g(r) = 3,9860 · 10¹⁴(6,771 · 10⁶)² m/s² g(r) ≈ 8,69 m/s² |
2Den gesamten Radius quadrieren
Auch die Zehnerpotenz steht innerhalb der Klammer und wird mit quadriert. |
| FG = m · g(r) ≈ 1 000 · 8,69 N FG ≈ 8 690 N |
3Die Kraft auf den Satelliten berechnen
Die Gravitationskraft ist beträchtlich. Schwerelosigkeit bedeutet nicht, dass sie verschwindet. |
| 8,69 / 9,81 ≈ 0,886 ≈ 89 % |
4Mit dem vertrauten Oberflächenwert vergleichen
Satellit und Personen darin fallen gemeinsam; eine gewöhnliche Stützkraft fehlt. |
Lernschritt 6
Eine geostationäre Bahn muss kreisförmig über dem Äquator liegen und sich in Erdrotationsrichtung bewegen. Ihre Umlaufzeit entspricht der Erdrotation relativ zu den Sternen: ungefähr 23 Stunden und 56 Minuten. Die Bahnhöhe liegt bei rund 35 800 km.
Eine Umlaufzeit dieser Länge allein genügt nicht: Eine geneigte oder elliptische geosynchrone Bahn ist nicht geostationär. Der Höhenregler oben zeigt nur erdnahe Kreisbahnen und reicht nicht bis zur geostationären Höhe.
Aus der Kreisbahnformel folgt außerdem T² proportional zu r³. Verdoppelt sich der Bahnradius, steigt die Umlaufzeit um den Faktor √8 ≈ 2,83. Hier ist ausdrücklich der Radius gemeint, nicht die Höhe.
Beispiel · Schritt für Schritt
Gesucht ist eine kreisförmige Bahn mit T = 86 164 s, ungefähr 23 h 56 min.
Gegeben: GM = 3,9860 · 10¹⁴ m³/s², RE = 6 371 km · Gesucht: h
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| T² = 4π²r³GM |
1Die Umlaufzeitformel quadrieren
Aus T = 2π · √(r³/GM) entsteht eine Gleichung ohne Quadratwurzel. |
| r³ = GM · T²4π² |
2Nach der dritten Potenz des Radius umstellen
Verwende T in Sekunden; das Ergebnis für r³ hat die Einheit m³. |
| r = ∛(3,9860 · 10¹⁴ · 86 164²4π²) m r ≈ 42 164 km |
3Die dritte Wurzel ziehen
Dieser Wert ist der Abstand vom Erdmittelpunkt, noch nicht die Bahnhöhe. |
| h = r − RE ≈ 42 164 km − 6 371 km h ≈ 35 793 km |
4Den Erdradius abziehen
Das verwendete Kugelmodell mit mittlerem Erdradius liefert rund 35 800 km. |
Lernschritt 7
h statt r einsetzen: Addiere zuerst den Erdradius.
Kilometer in die SI-Formel einsetzen: Rechne in Meter um.
Schwerelosigkeit mit fehlender Anziehung verwechseln: Entscheidend ist der gemeinsame freie Fall.
Eine höhere Kreisbahn für schneller halten: Ihre Bahngeschwindigkeit ist kleiner, ihre Umlaufzeit größer.
Die Formel auf jede Bahn anwenden: Die hergeleitete Geschwindigkeit gilt für Kreisbahnen. Auf einer Ellipse ändert sich der Geschwindigkeitsbetrag.
Selbst ausprobieren
Mit Tipps lernen oder ohne Hilfe testen – du entscheidest.
Wähle deine Stufe. Du löst jeweils sechs Aufgaben mit direkter Rückmeldung, Tipps und Rechenwegen.
Optional: Dein Fortschritt wird nur in diesem Browser gespeichert.
Bearbeite drei weitere Aufgaben ohne Nachschlagen. Nutze die Rückmeldung, um gezielt weiterzulernen.
Löse die Aufgaben ohne Nachschlagen. Bei Zahlen sind Dezimalkomma und Dezimalpunkt möglich. Verwende keine Tausenderpunkte.
Die Aufgaben sind unterschiedlich. Die Ergebnisse geben dir eine kurze Orientierung zu deinem Lernstand.
Physikhelfer
Berechne Gravitationskraft oder Bahngeschwindigkeit einer Kreisbahn. Den Abstand misst du vom Mittelpunkt des Zentralkörpers aus. Wähle deine gesuchte Größe und lass dir den Rechenweg Schritt für Schritt zeigen.
Kostenlos und ohne Anmeldung. Ein Rücklink führt dich wieder zu dieser Erklärung.
Erst vorhersagen oder selbst rechnen, dann die Lösung öffnen.
6971 km beziehungsweise 6,971 · 10⁶ m.
Nein, bei gleichem Radius und vernachlässigbarer Satellitenmasse gegenüber der Erde.
Sie sinkt auf ein Viertel.
Sie wächst um den Faktor 2√2 ≈ 2,83.
Weil die gewöhnliche Stützkraft fehlt. Die Gravitation wirkt weiterhin.
Nein. Die Bahn muss außerdem kreisförmig, äquatorial und in Erdrotationsrichtung verlaufen.
Fachlicher Abgleich der Grundgleichungen: OpenStax · University Physics.
Passende Materialien zum Thema „Gravitation und Satellitenbahnen“. Wähle aus, was dir beim Üben und Wiederholen hilft.
Diese Materialien ergänzen die Erklärung und unterstützen dich beim Üben und Nachschlagen.
11. Klasse · 12. Klasse · 13. Klasse
Produkt genauer ansehen →
11. Klasse · 12. Klasse · 13. Klasse
Produkt genauer ansehen →
11. Klasse · 12. Klasse · 13. Klasse
Produkt genauer ansehen →
11. Klasse · 12. Klasse · 13. Klasse
Produkt genauer ansehen →Optionale Ergänzungen zum Üben und Nachschlagen. Klassenstufe und Umfang findest du beim jeweiligen Produkt.
Preise inkl. MwSt. Downloads erhältst du per E-Mail, gedruckte Materialien per Post. Ggf. zzgl. Versandkosten.
