1 · h = 600 km: Welcher Bahnradius gehört dazu?
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6971 km beziehungsweise 6,971 · 10⁶ m.
Physik verstehen und üben · Mechanik
Physik · Sekundarstufe I und II
Gravitation und Satellitenbahnen: verstehen und üben
Warum bleibt ein Satellit auf seiner Bahn? Verbinde das Gravitationsgesetz mit der Kreisbewegung und untersuche Geschwindigkeit, Umlaufzeit und Schwerelosigkeit.
Eine Umlaufbahn ist fortgesetzter freier Fall
Die Gravitation lenkt die Bewegungsrichtung ständig zur Erde hin ab. Der Satellit besitzt zugleich eine seitliche Geschwindigkeit.
Anziehung zwischen Massen
Zwei Massen ziehen einander an. Für kugelsymmetrische Körper außerhalb ihres Inneren lässt sich die Kraft so berechnen, als läge die gesamte Masse jeweils im Mittelpunkt:
FG = G · M · mr²
G ≈ 6,6743 · 10−11 N·m²·kg−2 ist die Gravitationskonstante. M bezeichnet hier die Erdmasse, m die Satellitenmasse. r ist der Abstand der Mittelpunkte, nicht die Höhe über der Oberfläche.
r = RE + h
Für unsere Rechnungen verwenden wir einen mittleren Erdradius RE = 6371 km und GM = 3,9860 · 1014 m³·s−2. Das Modell behandelt die Erde als kugelsymmetrisch und vernachlässigt Luftwiderstand, andere Himmelskörper und die geringe Rückwirkung des Satelliten auf die Erde.
Von der Anziehung zur Kreisbahn
Für eine gleichförmige Kreisbewegung wird eine zum Zentrum gerichtete Kraft benötigt. Diese Zentripetalkraft ist hier die Gravitationskraft; es handelt sich nicht um zwei zusätzliche Kräfte.
G · M · mr² = m · v²r
v = √(GMr)
Die Satellitenmasse kürzt sich heraus. Bei gleichem Bahnradius brauchen ein leichter und ein schwerer Satellit in diesem Modell dieselbe Kreisbahngeschwindigkeit. In alle SI-Formeln wird r in Metern eingesetzt.
T = 2πrv = 2π · √(r³GM)
g(r) = GMr²
Eine höhere Kreisbahn besitzt eine kleinere Bahngeschwindigkeit, aber eine längere Umlaufzeit. Die lokale Fallbeschleunigung nimmt ebenfalls ab. Die Geschwindigkeit ist tangential zur Bahn, die Beschleunigung radial nach innen gerichtet.
Die Bahnhöhe verändern
Verstelle die Höhe einer idealen Kreisbahn. Die Erdgröße bleibt unverändert; Bahnradius und Zahlenwerte werden gemeinsam aktualisiert. Der Bereich von 200 bis 2000 km zeigt erdnahe Bahnen.
h = 400 km: v ≈ 7,67 km·s⁻¹; T ≈ 92,4 min; g ≈ 8,69 m·s⁻².
Unterrichtsimpuls mit Erklärung
Schätzt zuerst, ob die Erdanziehung in 400 km Höhe fast verschwunden ist. Der Regler zeigt noch etwa 8,69 m·s⁻², also rund 89 % des vertrauten Oberflächenwerts. Die Schwerelosigkeit entsteht durch den gemeinsamen freien Fall von Satellit und Personen darin.
Eine Kreisbahn in 400 km Höhe berechnen
Zuerst Höhe und Erdradius addieren und in Meter umrechnen:
r = 6371 km + 400 km = 6771 km = 6,771 · 106 m
v = √(3,9860 · 10146,771 · 106) m·s−1 ≈ 7673 m·s−1
T = 2π · 6,771 · 1067673 s ≈ 5545 s ≈ 92,4 min
g(r) = 3,9860 · 1014(6,771 · 106)² m·s−2 ≈ 8,69 m·s−2
Ein 1000 kg schwerer Satellit wird hier mit ungefähr 8690 N zur Erde gezogen. Die wirkende Gravitationskraft ist also keineswegs null. Für das bloße Halten der idealen Kreisbahn ist kein dauernder Antrieb erforderlich; reale Störungen können Korrekturen notwendig machen.
Warum schweben Menschen im Satelliten?
Satellit, Menschen und lose Gegenstände werden im Wesentlichen gemeinsam durch die Gravitation beschleunigt. Es gibt dabei keine gewöhnliche Stützkraft wie beim Stehen auf einem Boden auf der Erde. Eine mitfallende Waage zeigt deshalb nahezu null an.
Das nennt man Schwerelosigkeit beziehungsweise im realen Fall Mikrogravitation. Es bedeutet weder Masseverlust noch Abwesenheit der Gravitation. Kleine Unterschiede im Gravitationsfeld, Restluft und technische Beschleunigungen begrenzen den idealen Zustand.
Im erdzentrierten, näherungsweise inertialen Bezugssystem zeigt die resultierende Kraft nach innen. Eine zusätzliche nach außen wirkende reale Kraft muss hier nicht zur Gravitation addiert werden.
Wann bleibt ein Satellit über demselben Ort?
Eine geostationäre Bahn muss kreisförmig über dem Äquator liegen und sich in Erdrotationsrichtung bewegen. Ihre Umlaufzeit entspricht der Erdrotation relativ zu den Sternen: ungefähr 23 Stunden und 56 Minuten. Die Bahnhöhe liegt bei rund 35 800 km.
Eine Umlaufzeit dieser Länge allein genügt nicht: Eine geneigte oder elliptische geosynchrone Bahn ist nicht geostationär. Der Höhenregler oben zeigt nur erdnahe Kreisbahnen und reicht nicht bis zur geostationären Höhe.
Aus der Kreisbahnformel folgt außerdem T² proportional zu r³. Verdoppelt sich der Bahnradius, steigt die Umlaufzeit um den Faktor √8 ≈ 2,83. Hier ist ausdrücklich der Radius gemeint, nicht die Höhe.
Typische Fehler vermeiden
h statt r einsetzen: Addiere zuerst den Erdradius.
Kilometer in die SI-Formel einsetzen: Rechne in Meter um.
Schwerelosigkeit mit fehlender Anziehung verwechseln: Entscheidend ist der gemeinsame freie Fall.
Eine höhere Kreisbahn für schneller halten: Ihre Bahngeschwindigkeit ist kleiner, ihre Umlaufzeit größer.
Die Formel auf jede Bahn anwenden: Die hergeleitete Geschwindigkeit gilt für Kreisbahnen. Auf einer Ellipse ändert sich der Geschwindigkeitsbetrag.
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Erst vorhersagen oder selbst rechnen, dann die Lösung öffnen.
2 · Die Satellitenmasse verdoppelt sich. Ändert sich die nötige Kreisbahngeschwindigkeit?
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Nein, bei gleichem Radius und vernachlässigbarer Satellitenmasse gegenüber der Erde.
3 · Der Abstand zum Erdmittelpunkt verdoppelt sich. Was passiert mit der Gravitationskraft bei gleichen Massen?
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Sie sinkt auf ein Viertel.
4 · Was passiert mit der Umlaufzeit bei doppeltem Bahnradius?
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Sie wächst um den Faktor 2√2 ≈ 2,83.
5 · Warum zeigt eine frei mitfallende Waage nahezu null an?
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Weil die gewöhnliche Stützkraft fehlt. Die Gravitation wirkt weiterhin.
6 · Reicht eine Umlaufzeit von ungefähr 23 h 56 min für eine geostationäre Bahn?
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Nein. Die Bahn muss außerdem kreisförmig, äquatorial und in Erdrotationsrichtung verlaufen.
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