1 · F = 10 N wirkt senkrecht in 0,4 m Abstand. Wie groß ist M?
Lösung ansehen
4 N·m.
Physik verstehen und üben · Mechanik
Physik · Sekundarstufe I und II
Drehmoment und Rotation: verstehen und üben
Warum lässt sich eine Tür am Griff leichter öffnen als dicht am Scharnier? Untersuche Kraft, Abstand und Winkel und verbinde die Drehwirkung mit der Winkelbeschleunigung.
M = r · F · sin φ
Für die Drehwirkung zählt der senkrechte Abstand der Kraftwirkungslinie von der Drehachse.
Eine Kraft kann eine Drehung verändern
Beim Öffnen einer Tür oder beim Drehen eines Schraubenschlüssels kommt es nicht allein auf die Kraft an. Auch der Angriffspunkt und die Richtung entscheiden. Die Größe für diese Drehwirkung heißt Drehmoment M.
Wir betrachten eine feste Drehachse senkrecht zur Zeichenebene. Der Abstand r führt von der Achse zum Angriffspunkt. φ ist der Winkel zwischen dieser Verbindung und der Kraft. Gegen den Uhrzeigersinn wählen wir als positive Drehrichtung.
Das Drehmoment beschreibt die Ursache einer Änderung der Drehbewegung. Es ist weder der Drehwinkel noch die Drehgeschwindigkeit. Ein Körper kann sich auch bei einem resultierenden Drehmoment von null weiterdrehen.
Der wirksame Hebelarm
M = r · F · sin φ = F · d
d = r · sin φ
Die Formeln geben hier den Betrag für Winkel von 0° bis 180° an. d ist der senkrechte Abstand der Achse von der Wirkungslinie der Kraft. Bei senkrechter Kraft ist d = r; bei einer Kraft entlang der Verbindung zur Achse ist d = 0.
Die Einheit lautet Newtonmeter, N·m. Obwohl Energie dieselbe Einheitendimension besitzt, wird Drehmoment nicht als Energie in Joule bezeichnet. Die physikalischen Größen haben unterschiedliche Bedeutungen.
Bei mehreren Kräften werden ihre Drehmomente mit Vorzeichen addiert. Zwei gleich große Drehmomente mit entgegengesetztem Drehsinn können sich aufheben.
Welche Kraft dreht am stärksten?
Verstelle Abstand r, Kraft F und Winkel φ. Die grüne Strecke verbindet die Drehachse senkrecht mit der Wirkungslinie. Bei 0° fällt ihre Länge auf null.
r = 0,50 m, F = 20 N, φ = 90°: d = 0,50 m und M = 10 N·m.
Unterrichtsimpuls mit Erklärung
Halte r und F fest. Vergleiche 30°, 90° und 150°: Bei 90° ist das Drehmoment maximal; 30° und 150° liefern denselben Betrag. Bei 0° oder 180° verläuft die Wirkungslinie durch die Achse, deshalb ist das Drehmoment null.
Vom Drehmoment zur Winkelbeschleunigung
Die Winkelgeschwindigkeit ω beschreibt, wie schnell sich der Winkel ändert. Ihre Einheit ist rad·s−1. Die Winkelbeschleunigung α beschreibt die Änderung von ω pro Zeit und hat die Einheit rad·s−2. Hier steht α für die Winkelbeschleunigung, nicht für den Kraftwinkel φ.
Mresultierend = I · α
Diese Gleichung gilt für die Drehung um eine feste Achse bei konstantem Trägheitsmoment I. Es muss das gesamte Drehmoment berücksichtigt werden, einschließlich eines gegebenenfalls bremsenden Reibungsmoments.
I = Σ miri²
Für einzelne kleine Massen wird ihre Masse mit dem Quadrat des senkrechten Abstands zur Achse multipliziert und alles addiert. I hat die Einheit kg·m². Bei derselben Gesamtmasse ist die Drehbewegung schwerer zu ändern, wenn mehr Masse weiter außen liegt.
Für ausgedehnte Körper hängt I von Form und Drehachse ab. Eine dünne Ringscheibe um ihre Symmetrieachse besitzt näherungsweise I = mR²; eine homogene Vollscheibe besitzt I = ½mR².
Drehwirkung und Beschleunigung berechnen
Eine Kraft von 12 N greift in 0,25 m Abstand unter 30° an. Gesucht sind Hebelarm und Drehmoment.
d = 0,25 m · sin 30° = 0,125 m
M = 12 N · 0,125 m = 1,50 N·m
Ist dies das resultierende Drehmoment und beträgt I = 0,30 kg·m², folgt:
α = MI = 1,50 N·m0,30 kg·m² = 5,00 rad·s−2
Bei konstanter Winkelbeschleunigung aus Ruhe sind nach 2,0 s die Winkelgeschwindigkeit ω = αt = 10 rad·s−1 und der überstrichene Winkel Δθ = ½αt² = 10 rad. Diese Zeitrechnung setzt ein währenddessen konstantes resultierendes Drehmoment voraus; eine unverändert im Raum gerichtete Kraft muss diese Bedingung beim Weiterdrehen nicht erfüllen.
Drehgleichgewicht richtig deuten
ΣM = 0 → α = 0 (bei konstantem I)
Ohne resultierendes Drehmoment bleibt die Winkelgeschwindigkeit konstant. Ein anfangs ruhender Körper bleibt dann in Drehruhe; ein bereits rotierender Körper dreht gleichförmig weiter.
Für vollständiges statisches Gleichgewicht müssen zusätzlich die Kräfte ausgeglichen sein. Eine Lagerkraft an der Achse kann Kräfte ausgleichen, hat um diese Achse aber keinen Hebelarm.
Typische Fehler vermeiden
Immer r·F rechnen: Das gilt nur bei senkrechter Kraft.
Abstand mit Hebelarm gleichsetzen: Entscheidend ist der senkrechte Abstand zur Wirkungslinie.
Kein Drehmoment bedeutet Stillstand: Es bedeutet bei konstantem I keine Winkelbeschleunigung.
Nur die Masse betrachten: Auch ihre Verteilung zur gewählten Achse bestimmt I.
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Erst vorhersagen oder selbst rechnen, dann die Lösung öffnen.
2 · Dieselbe Kraft wirkt unter 30°. Wie groß ist M?
Lösung ansehen
2 N·m.
3 · Die Wirkungslinie verläuft durch die Achse. Was folgt?
Lösung ansehen
Der Hebelarm und damit das Drehmoment sind null.
4 · M = 6 N·m und I = 2 kg·m²: Wie groß ist α?
Lösung ansehen
3 rad·s⁻².
5 · Eine Punktmasse wird bei gleicher Masse doppelt so weit von der Achse entfernt. Wie ändert sich ihr Beitrag zu I?
Lösung ansehen
Er vervierfacht sich, weil I = mr².
6 · Ein reibungsfrei rotierender Körper erfährt kein äußeres Drehmoment. Bleibt er stehen?
Lösung ansehen
Nein. Bei unverändertem Trägheitsmoment bleibt seine Winkelgeschwindigkeit konstant.
Kostenlose Lernkarte
Kostenlos · PDF
Hebel und Drehmoment – Physik-Lernkarte (kostenloses PDF)
Hebel und Drehmoment als kompakte Übersicht zum Wiederholen.
Material und Details ansehen →Mechanik vertiefen
Kaufbares Physikbuch
STARK Physik 12. Klasse - Abitur-Training FOS/BOS - Mechanik, Elektrodynamik
Abitur-Training Mechanik und Elektrodynamik für die 12. Klasse FOS/BOS. Als ergänzendes Trainingsbuch geeignet, wenn Schulform und Themenumfang passen. Preis und Details auf der Produktseite.
Material und Details ansehen →Weiterlernen
Fachlicher Abgleich der Grundgleichungen: OpenStax · University Physics.