1 · I = 3 kg·m² und ω = 2 rad·s⁻¹: Wie groß ist L?
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6 kg·m²·s⁻¹.
Physik verstehen und üben · Mechanik
Physik · Sekundarstufe I und II
Drehimpuls und Drehimpulserhaltung: verstehen und üben
Warum dreht sich eine Eiskunstläuferin schneller, wenn sie die Arme einzieht? Untersuche den Zusammenhang zwischen Massenverteilung und Winkelgeschwindigkeit.
I₁ · ω₁ = I₂ · ω₂
Ohne äußeres Drehmoment bleibt der Drehimpuls erhalten. Ändert sich das Trägheitsmoment, passt sich die Winkelgeschwindigkeit an.
Die Erhaltungsgröße der Drehbewegung
Bei einer geradlinigen Bewegung ist der Impuls eine wichtige Größe. Für die Drehbewegung ist es der Drehimpuls L. Für die hier betrachtete Rotation um eine feste Symmetrieachse gilt:
L = I · ω
I beschreibt die Massenverteilung um die Achse; ω ist die Winkelgeschwindigkeit im Bogenmaß pro Sekunde. Die Einheit von L ist kg·m²·s−1. Ein größerer Drehimpuls kann durch größeres I, größere Winkelgeschwindigkeit oder beides entstehen.
Allgemein ist der Drehimpuls ein Vektor. Auf dieser Seite betrachten wir seine Komponente entlang derselben festen Achse. Positive und negative Werte stehen für entgegengesetzte Drehrichtungen.
Wann bleibt der Drehimpuls erhalten?
Maußen = dLdt
Maußen = 0 → L = konstant
I₁ω₁ = I₂ω₂
Die Bedingung betrifft das resultierende äußere Drehmoment bezüglich der gewählten Achse. Innere Kräfte dürfen die Massenverteilung verändern. Sie ändern den Gesamtdrehimpuls des betrachteten Systems dabei nicht.
Beispiel Eiskunstlauf: Beim Einziehen der Arme rückt Masse näher an die Drehachse. I wird kleiner, deshalb muss ω größer werden. Reibung am Eis oder Luftwiderstand können in der Wirklichkeit äußere Drehmomente verursachen. Über kurze Zeiten ist die Erhaltung oft eine gute Näherung.
Massen nach innen verschieben
Zwei kleine Massen von je 1 kg sitzen symmetrisch auf einer ideal leichten Führung. Beide Abstände r sind gleich. Bei r₀ = 0,50 m beginnt die Drehung mit ω₀ = 2 rad·s−1. Das ergibt L = 1 kg·m²·s−1.
r = 0,50 m: I = 0,50 kg·m²; ω = 2,00 rad·s⁻¹; Rotationsenergie = 1,00 J.
Unterrichtsimpuls mit Erklärung
Vergleiche r = 0,50 m und r = 0,25 m. Durch den halben Abstand sinkt I auf ein Viertel. Die Winkelgeschwindigkeit vervierfacht sich. Der Drehimpuls bleibt gleich, die Rotationsenergie steigt jedoch von 1 J auf 4 J. Überlegt, woher diese zusätzliche Energie kommt: Das Einziehen erfordert Arbeit.
Das Zweimassenmodell rechnen
I = 2mr²
ω = LI = L2mr²
Die Abhängigkeit vom Quadrat des Abstands macht den Effekt besonders deutlich. Bei gleicher Masse und festem Drehimpuls bedeutet halber Radius die vierfache Winkelgeschwindigkeit. Die Masse selbst wird beim Einziehen nicht kleiner.
Ein echter Mensch ist kein Paar Punktmassen: Rumpf, Arme und Beine tragen unterschiedlich zu I bei. Deshalb darf der Faktor vier bei halbiertem Armabstand nicht pauschal auf eine Person übertragen werden.
Eine rotierende Person zieht die Arme ein
Gegeben: I₁ = 4,0 kg·m², ω₁ = 1,5 rad·s−1. Nach dem Einziehen sei I₂ = 2,0 kg·m². Äußere Drehmomente werden vernachlässigt.
L = 4,0 · 1,5 kg·m²·s−1 = 6,0 kg·m²·s−1
ω₂ = I₁ω₁I₂ = 6,02,0 rad·s−1 = 3,0 rad·s−1
Die Winkelgeschwindigkeit verdoppelt sich. Zur Umrechnung in Umdrehungen pro Sekunde gilt f = ω geteilt durch 2π. Damit steigt die Drehfrequenz von etwa 0,239 Hz auf 0,477 Hz.
Warum bleibt die Rotationsenergie nicht gleich?
Erot = 12Iω² = L²2I
Bei konstantem L bedeutet kleineres I eine größere Rotationsenergie. Das ist kein Widerspruch zur Energieerhaltung: Beim Einziehen wird Arbeit geleistet, etwa durch die Muskulatur. Chemische Energie wird in zusätzliche Bewegungsenergie umgewandelt.
E₁ = ½ · 4,0 · 1,5² J = 4,5 J
E₂ = ½ · 2,0 · 3,0² J = 9,0 J
Im Rechenbeispiel nimmt die Rotationsenergie um 4,5 J zu. Ein äußerer Drehmomentbetrag von null bedeutet also nicht, dass im System keine Arbeit verrichtet wird. Beim Ausstrecken kann die Rotationsenergie umgekehrt abnehmen.
Im Regler vergleichen wir Zustände, in denen die Massen nicht mehr radial wandern. Während des Verschiebens kann zusätzlich radiale Bewegungsenergie vorhanden sein; diese wird hier nicht simuliert.
Systemgrenzen im Blick behalten
Eine Person auf einem Drehschemel mit Gewichten ist ein mögliches Demonstrationsmodell. Zum betrachteten System gehören Person, Gewichte und die mitdrehenden Teile. Die Achse und mögliche Reibungsmomente müssen bei der Auswertung berücksichtigt werden.
Bei allgemeiner räumlicher Rotation sind Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit nicht immer parallel. Die einfache Beziehung L = Iω genügt hier wegen der gewählten symmetrischen Anordnung um eine feste Achse.
Typische Fehler vermeiden
Drehimpuls mit Winkelgeschwindigkeit gleichsetzen: Auch I gehört dazu.
Konstantes L bedeutet konstante Rotationsenergie: Bei verändertem I stimmt das nicht.
Nur einen einzelnen Teil des Systems betrachten: Innere Impulsübertragungen können seinen Drehimpuls ändern.
Äußere Kräfte pauschal verbieten: Entscheidend ist ihr resultierendes Drehmoment um die betrachtete Achse.
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Erst vorhersagen oder selbst rechnen, dann die Lösung öffnen.
2 · I halbiert sich bei konstantem L. Was passiert mit ω?
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ω verdoppelt sich.
3 · Zwei Punktmassen halbieren ihren Abstand zur Achse. Wie ändert sich I?
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I sinkt auf ein Viertel.
4 · I halbiert sich bei konstantem L. Was passiert mit Erot?
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Die Rotationsenergie verdoppelt sich.
5 · Woher stammt die zusätzliche Rotationsenergie beim Einziehen der Arme?
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Aus der geleisteten Arbeit, bei einer Person aus der Umwandlung chemischer Energie durch die Muskulatur.
6 · Eine bremsende Lagerreibung wirkt. Ist L dann exakt konstant?
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Nein. Die Reibung übt ein äußeres Drehmoment auf das betrachtete rotierende System aus.
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