Warum dreht sich eine Eiskunstläuferin schneller, wenn sie die Arme einzieht? Untersuche den Zusammenhang zwischen Massenverteilung und Winkelgeschwindigkeit.
Drei kurze Aufgaben helfen dir, deinen Startpunkt zu finden. Wenn du unsicher bist, wähle „Weiß ich noch nicht“.
Löse die Aufgaben ohne Nachschlagen. Bei Zahlen sind Dezimalkomma und Dezimalpunkt möglich. Verwende keine Tausenderpunkte.
Lernschritt 1
Bei einer geradlinigen Bewegung ist der Impuls eine wichtige Größe. Für die Drehbewegung ist es der Drehimpuls L. Für die hier betrachtete Rotation um eine feste Symmetrieachse gilt:
L = I · ω
I beschreibt die Massenverteilung um die Achse; ω ist die Winkelgeschwindigkeit im Bogenmaß pro Sekunde. Die Einheit von L ist kg·m²·s−1. Ein größerer Drehimpuls kann durch größeres I, größere Winkelgeschwindigkeit oder beides entstehen.
Allgemein ist der Drehimpuls ein Vektor. Auf dieser Seite betrachten wir seine Komponente entlang derselben festen Achse. Positive und negative Werte stehen für entgegengesetzte Drehrichtungen.
Lernschritt 2
Maußen = dLdt
Maußen = 0 → L = konstant
I₁ω₁ = I₂ω₂
Die Bedingung betrifft das resultierende äußere Drehmoment bezüglich der gewählten Achse. Innere Kräfte dürfen die Massenverteilung verändern. Sie ändern den Gesamtdrehimpuls des betrachteten Systems dabei nicht.
Beispiel Eiskunstlauf: Beim Einziehen der Arme rückt Masse näher an die Drehachse. I wird kleiner, deshalb muss ω größer werden. Reibung am Eis oder Luftwiderstand können in der Wirklichkeit äußere Drehmomente verursachen. Über kurze Zeiten ist die Erhaltung oft eine gute Näherung.
Lernschritt 3
Zwei kleine Massen von je 1 kg sitzen symmetrisch auf einer ideal leichten Führung. Beide Abstände r sind gleich. Bei r₀ = 0,50 m beginnt die Drehung mit ω₀ = 2 rad·s−1. Das ergibt L = 1 kg·m²·s−1.
Beide Massen bleiben jeweils 1 kg schwer. Nur ihre Abstände zur Achse ändern sich.
Gestrichelt: Anfangsabstand r₀ = 0,50 m. Die feste Skala macht die Verschiebung sichtbar.
Aktuell: r = 0,50 m
Gesamtdrehimpuls: L = 1 kg·m²/s.
Die Führung hat im Modell kein eigenes Trägheitsmoment. Der Regler vergleicht Zustände nach dem Verschieben; er zeigt keinen zeitlichen Bewegungsablauf.
Vergleiche r = 0,50 m und r = 0,25 m. Durch den halben Abstand sinkt I auf ein Viertel. Die Winkelgeschwindigkeit vervierfacht sich. Der Drehimpuls bleibt gleich, die Rotationsenergie steigt jedoch von 1 J auf 4 J. Überlegt, woher diese zusätzliche Energie kommt: Das Einziehen erfordert Arbeit.
Lernschritt 4
I = 2mr²
ω = LI = L2mr²
Die Abhängigkeit vom Quadrat des Abstands macht den Effekt besonders deutlich. Bei gleicher Masse und festem Drehimpuls bedeutet halber Radius die vierfache Winkelgeschwindigkeit. Die Masse selbst wird beim Einziehen nicht kleiner.
Ein echter Mensch ist kein Paar Punktmassen: Rumpf, Arme und Beine tragen unterschiedlich zu I bei. Deshalb darf der Faktor vier bei halbiertem Armabstand nicht pauschal auf eine Person übertragen werden.
Beispiel · Schritt für Schritt
Zwei kleine Massen von je 1 kg rotieren an einer ideal leichten Führung. Beide Abstände ändern sich von 0,50 m auf 0,25 m.
Gegeben: ω₁ = 2,0 rad/s; äußeres Drehmoment null · Gesucht: I₁, I₂ und ω₂
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| I₁ = 2mr₁² = 2 · 1 · 0,50² = 0,50 kg·m² |
1Das Trägheitsmoment beider Massen addieren
Der Faktor 2 zählt die beiden gleich weit entfernten Massen. |
| L = I₁ω₁ = 0,50 · 2,0 = 1,00 kg·m²/s |
2Den erhaltenen Drehimpuls berechnen
Das ganze System aus beiden Massen und Führung wird betrachtet. |
| I₂ = 2 · 1 · 0,25² = 0,125 kg·m² |
3Mit dem neuen Abstand erneut rechnen
Halber Abstand bedeutet wegen r² nur ein Viertel des ursprünglichen I. |
| ω₂ = L/I₂ = 1,00 / 0,125 = 8,00 rad/s |
4Die neue Winkelgeschwindigkeit bestimmen
Der Drehimpuls bleibt 1,00 kg·m²/s; die Winkelgeschwindigkeit muss viermal so groß werden. |
Lernschritt 5
Beispiel · Schritt für Schritt
Das gesamte Trägheitsmoment von Person und mitdrehenden Teilen sinkt von 4,0 auf 2,0 kg·m². Anfangs gilt ω₁ = 1,5 rad/s.
Äußere Drehmomente werden vernachlässigt · Gesucht: ω₂
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| L₁ = I₁ω₁ = 4,0 · 1,5 = 6,0 kg·m²/s |
1Den Anfangsdrehimpuls bestimmen
Verwende das Trägheitsmoment des gesamten betrachteten Systems. |
| I₁ω₁ = I₂ω₂ |
2Die Erhaltungsbedingung anwenden
Die Muskeln dürfen die Massenverteilung verändern. Ohne äußeres Drehmoment bleibt der Gesamtdrehimpuls gleich. |
| ω₂ = I₁ω₁I₂ = 6,0 kg·m²/s2,0 kg·m² = 3,0 rad/s |
3Nach der Endgeschwindigkeit auflösen
I halbiert sich. Daher verdoppelt sich ω. |
| L₂ = 2,0 · 3,0 = 6,0 kg·m²/s |
4Den Drehimpuls nachher prüfen
Der Kontrollwert entspricht L₁. |
Beispiel · Schritt für Schritt
Nach dem Einziehen gilt ω = 3,0 rad/s.
Gesucht: Drehfrequenz f und Umdrehungen pro Minute
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| f = ω/(2π) |
1Durch den Winkel einer vollen Umdrehung teilen
2π rad entsprechen einer Umdrehung. |
| f = 3,0/(2π) Hz ≈ 0,477 Hz |
2Umdrehungen pro Sekunde berechnen
3 rad/s sind nicht 3 Umdrehungen pro Sekunde. |
| n ≈ 0,477 · 60 = 28,6 U/min |
3Sekunden auf Minuten umrechnen
Vorher waren es bei 1,5 rad/s etwa 14,3 U/min. |
Lernschritt 6
Drehimpulserhaltung bedeutet nicht, dass auch die Rotationsenergie unverändert bleibt. Für die betrachtete Rotation gilt:
Bei konstantem L führt ein kleineres I zu größerer Rotationsenergie. Die zusätzliche Energie kommt aus der Arbeit beim Einziehen, etwa aus chemischer Energie der Muskulatur.
Beispiel · Schritt für Schritt
Nutze die Werte der Person auf dem Drehschemel: vorher I₁ = 4,0 kg·m², ω₁ = 1,5 rad/s; nachher I₂ = 2,0 kg·m², ω₂ = 3,0 rad/s.
Gesucht: E₁, E₂ und Zunahme ΔE
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| E₁ = ½ · 4,0 · 1,5² J = 4,5 J |
1Den Anfangszustand berechnen
Die Winkelgeschwindigkeit wird quadriert. |
| E₂ = ½ · 2,0 · 3,0² J = 9,0 J |
2Den Endzustand berechnen
Obwohl I kleiner ist, überwiegt die Zunahme von ω². |
| ΔE = E₂ − E₁ = 9,0 J − 4,5 J = 4,5 J |
3Die Energiezunahme bestimmen
Im idealisierten verlustfreien Vergleich entspricht dies der Arbeit, die der Rotation durch das Einziehen zugeführt wird. |
Der Regler vergleicht Zustände, in denen die Massen nicht mehr radial wandern. Während des Verschiebens kann zusätzlich radiale Bewegungsenergie vorhanden sein. Beim Ausstrecken kann die Rotationsenergie wieder abnehmen. Ein äußeres Drehmoment von null bedeutet nicht, dass im Inneren keine Arbeit verrichtet wird.
Lernschritt 7
Eine Person auf einem Drehschemel mit Gewichten ist ein mögliches Demonstrationsmodell. Zum betrachteten System gehören Person, Gewichte und die mitdrehenden Teile. Die Achse und mögliche Reibungsmomente müssen bei der Auswertung berücksichtigt werden.
Bei allgemeiner räumlicher Rotation sind Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit nicht immer parallel. Die einfache Beziehung L = Iω genügt hier wegen der gewählten symmetrischen Anordnung um eine feste Achse.
Beispiel · Schritt für Schritt
Ein System hat zunächst L₁ = 6,0 kg·m²/s. Ein konstantes äußeres Drehmoment von −0,50 N·m wirkt 4,0 s entgegen der Drehung.
Gegeben: konstantes I = 2,0 kg·m² · Gesucht: L₂ und ω₂
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| ΔL = Maußen · Δt ΔL = −0,50 · 4,0 = −2,0 kg·m²/s |
1Den äußeren Drehimpulsübertrag berechnen
Hier ist L nicht erhalten. Die einfache Zeitformel gilt wegen des konstanten Drehmoments. |
| L₂ = L₁ + ΔL = 6,0 − 2,0 = 4,0 kg·m²/s |
2Die Änderung zum Anfangswert addieren
Das negative Bremsmoment verringert den weiterhin positiven Drehimpuls. |
| ω₂ = L₂/I = 4,0 / 2,0 = 2,0 rad/s |
3In die neue Winkelgeschwindigkeit übersetzen
Bei konstantem I wird die Drehung langsamer. |
Lernschritt 8
Drehimpuls mit Winkelgeschwindigkeit gleichsetzen: Auch I gehört dazu.
Konstantes L bedeutet konstante Rotationsenergie: Bei verändertem I stimmt das nicht.
Nur einen einzelnen Teil des Systems betrachten: Innere Impulsübertragungen können seinen Drehimpuls ändern.
Äußere Kräfte pauschal verbieten: Entscheidend ist ihr resultierendes Drehmoment um die betrachtete Achse.
Selbst ausprobieren
Mit Tipps lernen oder ohne Hilfe testen – du entscheidest.
Wähle deine Stufe. Du löst jeweils sechs Aufgaben mit direkter Rückmeldung, Tipps und Rechenwegen.
Optional: Dein Fortschritt wird nur in diesem Browser gespeichert.
Bearbeite drei weitere Aufgaben ohne Nachschlagen. Nutze die Rückmeldung, um gezielt weiterzulernen.
Löse die Aufgaben ohne Nachschlagen. Bei Zahlen sind Dezimalkomma und Dezimalpunkt möglich. Verwende keine Tausenderpunkte.
Die Aufgaben sind unterschiedlich. Die Ergebnisse geben dir eine kurze Orientierung zu deinem Lernstand.
Physikhelfer
Rechne mit Drehimpuls, Trägheitsmoment und Winkelgeschwindigkeit um eine feste Hauptträgheitsachse. Mehrere gekoppelte Körper sind nicht enthalten. Wähle deine gesuchte Größe und lass dir den Rechenweg Schritt für Schritt zeigen.
Passende Aufgabe öffnen →Kostenlos und ohne Anmeldung. Ein Rücklink führt dich wieder zu dieser Erklärung.
Erst vorhersagen oder selbst rechnen, dann die Lösung öffnen.
6 kg·m²·s⁻¹.
ω verdoppelt sich.
I sinkt auf ein Viertel.
Die Rotationsenergie verdoppelt sich.
Aus der geleisteten Arbeit, bei einer Person aus der Umwandlung chemischer Energie durch die Muskulatur.
Nein. Die Reibung übt ein äußeres Drehmoment auf das betrachtete rotierende System aus.
Fachlicher Abgleich der Grundgleichungen: OpenStax · University Physics.
Passende Materialien zum Thema „Drehimpuls und Drehimpulserhaltung“. Wähle aus, was dir beim Üben und Wiederholen hilft.
Diese Materialien ergänzen die Erklärung und unterstützen dich beim Üben und Nachschlagen.
7. Klasse · 8. Klasse · 9. Klasse · 10. Klasse
Produkt genauer ansehen →Optionale Ergänzungen zum Üben und Nachschlagen. Klassenstufe und Umfang findest du beim jeweiligen Produkt.
Preise inkl. MwSt. Downloads erhältst du per E-Mail, gedruckte Materialien per Post. Ggf. zzgl. Versandkosten.
