1 · Wie groß ist γ bei v = 0?
Lösung ansehen
γ = 1.
Physik verstehen und üben · Relativitätstheorie
Physik · Sekundarstufe I und II
Zeitdilatation: verstehen und üben
Wie viel Zeit vergeht auf einer gleichförmig bewegten Uhr? Unterscheide Eigenzeit und Laborzeit und berechne den Unterschied mit dem Lorentzfaktor.
Δt = γ · Δτ
Für zwei Ereignisse an derselben bewegten Uhr ist die im Labor gemessene Zeitspanne größer als die Eigenzeit dieser Uhr.
Zwei Bezugssysteme vergleichen
Ein Inertialsystem ist ein Bezugssystem, in dem ein kräftefreier Körper ruht oder sich geradlinig gleichförmig bewegt. Die spezielle Relativitätstheorie beruht auf zwei Aussagen: Die physikalischen Gesetze gelten in allen Inertialsystemen gleich, und Licht hat im Vakuum in jedem dieser Systeme dieselbe Geschwindigkeit c.
Es gibt kein ausgezeichnetes absolutes Ruhesystem. Wir nennen eines der Systeme im Beispiel „Labor“. Das ist eine praktische Wahl, keine besondere Stellung dieses Systems. Gravitation und Beschleunigungsphasen lassen wir hier außen vor.
Eine Uhr bewegt sich relativ zum Labor mit konstanter Geschwindigkeit v. Ereignis A: Die Uhr zeigt den Start an. Ereignis B: Sie zeigt später den Endstand an. Beide Ereignisse finden im Ruhesystem dieser Uhr am gleichen Ort statt.
Welche Uhr misst welche Zeit?
Eigenzeit Δτ: die Zeitspanne, die die mitbewegte Uhr zwischen A und B selbst misst. Für sie ist alles normal; sie bemerkt kein verlangsamtes eigenes Ticken.
Laborzeit Δt: die Zeitspanne zwischen denselben Ereignissen, gemessen mit im Labor synchronisierten Uhren. Weil die bewegte Uhr ihren Ort im Labor ändert, können Start und Ende dort an verschiedenen Orten liegen.
Die Aussage betrifft Messwerte nach Berücksichtigung der Lichtlaufzeiten. Sie beschreibt nicht einfach, in welchem Abstand Lichtblitze bei einem entfernten Betrachter eintreffen. Darin stecken zusätzlich Laufzeit- und Dopplereffekte.
Rechnen mit dem Lorentzfaktor
β = vc; γ = 1√(1 − β²)
Δt = γ · Δτ; Δτ = Δtγ
β und γ sind dimensionslos. Für 0 ≤ v < c gilt γ ≥ 1. Bei v = 0 ist γ = 1; beide Zeitspannen stimmen überein. Bei alltäglichen Geschwindigkeiten ist die Abweichung sehr klein.
Eine Uhr mit Masse kann nicht mit Lichtgeschwindigkeit relativ zu einem Inertialsystem bewegt werden. Die Formel ist für v = c nicht als gewöhnlicher Messfall einsetzbar. Der Regler bleibt deshalb darunter.
Wie viel Zeit vergeht auf der bewegten Uhr?
Bei v = 0,60c vergehen im Labor 10,00 s und auf der bewegten Uhr 8,00 s. γ = 1,25.
Unterrichtsimpuls
Vergleiche 0, 0,60c und 0,80c. Sage zuerst voraus, welcher Balken kürzer wird. Auf der bewegten Uhr vergehen 10 s, 8 s beziehungsweise 6 s. Erkläre anschließend, warum die Uhr selbst nicht „falsch geht“.
Warum führt konstante Lichtgeschwindigkeit dazu?
Eine Lichtuhr besteht gedanklich aus zwei Spiegeln und einem Lichtimpuls. Im Ruhesystem der Uhr läuft der Impuls senkrecht zwischen den Spiegeln hin und zurück. Bewegt sich die Uhr quer zu dieser Spiegelverbindung, hat der Lichtweg im Labor zusätzlich eine seitliche Komponente.
Der Lichtweg zwischen denselben Ereignissen ist im Labor länger. Weil die Lichtgeschwindigkeit in beiden Systemen c beträgt, muss dafür im Labor mehr Zeit vergehen. Aus dem rechtwinkligen Wegdreieck folgt für einen vollständigen Hin- und Rückweg:
(cΔt2)² = (cΔτ2)² + (vΔt2)²
Nach Umstellen erhält man Δt = γΔτ. Der Spiegelabstand liegt senkrecht zur Bewegung; in dieser Richtung tritt keine Längenkontraktion auf.
Eine Uhr bewegt sich mit 0,80c
Im Labor liegen 15,0 s zwischen A und B. Gesucht ist die Eigenzeit auf der Uhr.
γ = 1√(1 − 0,80²) = 10,60 ≈ 1,667
Δτ = 15,0 s1,667 ≈ 9,0 s
Rechne intern möglichst mit ungerundeten Werten. Umgekehrt gehören zu 9,0 s Eigenzeit hier 15,0 s Laborzeit. Die Eigenzeit ist bei diesem Vergleich kleiner, nicht größer.
Prüfe vor dem Einsetzen immer: Welche beiden Ereignisse werden verglichen? Welche Uhr ist bei beiden Ereignissen dabei? Diese Uhr liefert die Eigenzeit.
Können beide die andere Uhr langsamer messen?
Bei gleichförmiger Relativbewegung kann jedes Inertialsystem den Gang der Uhren des anderen Systems als langsamer beschreiben. Das ist kein Widerspruch: Für den Vergleich räumlich getrennter Uhren verwendet jedes System seine eigene Synchronisation und Gleichzeitigkeit.
Treffen zwei Uhren nach unterschiedlichen Reisen wieder zusammen, muss man die tatsächlich durchlaufenen Wege in Raum und Zeit vergleichen. Eine Umkehrreise besteht nicht aus einem einzigen gemeinsamen Inertialsystem. Die einfache Formel darf dafür nicht ohne Betrachtung der einzelnen Abschnitte eingesetzt werden.
Typische Fehler vermeiden
Eigenzeit und Laborzeit vertauschen: Die mitbewegte Uhr misst Δτ.
β mit einer Geschwindigkeit in Metern pro Sekunde verwechseln: β ist das Verhältnis v zu c.
Verlangsamung als Defekt erklären: Es geht um einen Unterschied zwischen Bezugssystemen.
Lichtlaufzeit mit Zeitdilatation gleichsetzen: Empfangsabstände von Signalen sind ein anderes Messproblem.
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Erst vorhersagen oder selbst rechnen, dann die Lösung öffnen.
2 · Welche Zeit misst die mitbewegte Uhr?
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Die Eigenzeit Δτ.
3 · γ = 2 und Δτ = 3 s. Wie groß ist Δt?
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6 s.
4 · γ = 1,25 und Δt = 10 s. Wie groß ist Δτ?
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8 s.
5 · Wie groß ist β bei v = 0,60c?
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β = 0,60, ohne Einheit.
6 · Ist die Laborzeit in diesem Vergleich kleiner als die Eigenzeit?
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Nein. Es gilt Δt ≥ Δτ.
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