Wie viel Zeit vergeht auf einer gleichförmig bewegten Uhr? Unterscheide Eigenzeit und Laborzeit und berechne den Unterschied mit dem Lorentzfaktor.
Drei kurze Aufgaben helfen dir, deinen Startpunkt zu finden. Wenn du unsicher bist, wähle „Weiß ich noch nicht“.
Löse die Aufgaben ohne Nachschlagen. Bei Zahlen sind Dezimalkomma und Dezimalpunkt möglich. Verwende keine Tausenderpunkte.
Lernschritt 1
Ein Inertialsystem ist ein Bezugssystem, in dem ein kräftefreier Körper ruht oder sich geradlinig gleichförmig bewegt. Die spezielle Relativitätstheorie beruht auf zwei Aussagen: Die physikalischen Gesetze gelten in allen Inertialsystemen gleich, und Licht hat im Vakuum in jedem dieser Systeme dieselbe Geschwindigkeit c.
Es gibt kein ausgezeichnetes absolutes Ruhesystem. Wir nennen eines der Systeme im Beispiel „Labor“. Das ist eine praktische Wahl, keine besondere Stellung dieses Systems. Gravitation und Beschleunigungsphasen lassen wir hier außen vor.
Eine Uhr bewegt sich relativ zum Labor mit konstanter Geschwindigkeit v. Ereignis A: Die Uhr zeigt den Start an. Ereignis B: Sie zeigt später den Endstand an. Beide Ereignisse finden im Ruhesystem dieser Uhr am gleichen Ort statt.
Lernschritt 2
Eigenzeit Δτ: die Zeitspanne, die die mitbewegte Uhr zwischen A und B selbst misst. Für sie ist alles normal; sie bemerkt kein verlangsamtes eigenes Ticken.
Laborzeit Δt: die Zeitspanne zwischen denselben Ereignissen, gemessen mit im Labor synchronisierten Uhren. Weil die bewegte Uhr ihren Ort im Labor ändert, können Start und Ende dort an verschiedenen Orten liegen.
Die Aussage betrifft Messwerte nach Berücksichtigung der Lichtlaufzeiten. Sie beschreibt nicht einfach, in welchem Abstand Lichtblitze bei einem entfernten Betrachter eintreffen. Darin stecken zusätzlich Laufzeit- und Dopplereffekte.
Zwei Zeitspannen für dasselbe Ereignispaar. Die mitbewegte Uhr zeigt zwischen A und B 9 s an. Das Labor ordnet diesen Ereignissen 15 s zu; hier ist γ = 5/3.
Beide Balken haben denselben Zeitmaßstab. Gezeigt sind zugeordnete Messwerte nach Berücksichtigung der Lichtlaufzeit, keine empfangenen Lichtsignale.
Lernschritt 3
β = vc; γ = 1√(1 − β²)
Δt = γ · Δτ; Δτ = Δtγ
β und γ sind dimensionslos. Für 0 ≤ v < c gilt γ ≥ 1. Bei v = 0 ist γ = 1; beide Zeitspannen stimmen überein. Bei alltäglichen Geschwindigkeiten ist die Abweichung sehr klein.
Eine Uhr mit Masse kann nicht mit Lichtgeschwindigkeit relativ zu einem Inertialsystem bewegt werden. Die Formel ist für v = c nicht als gewöhnlicher Messfall einsetzbar. Der Regler bleibt deshalb darunter.
Welche zwei Ereignisse werden verglichen? Die Uhr, die bei beiden dabei ist, misst die Eigenzeit Δτ.
Δt gehört zum Labor, Δτ zur mitbewegten Uhr. Beschrifte die Größen vor dem Einsetzen.
Setze β = v/c ein und berechne γ = 1/√(1 − β²). γ ist einheitenlos und mindestens 1.
Gesuchte Eigenzeit: Δτ = Δt/γ. Gesuchte Laborzeit: Δt = γΔτ. Für diese Ereignisse gilt Δt ≥ Δτ.
Lernschritt 4
Vergleiche 0, 0,60c und 0,80c. Sage zuerst voraus, welcher Balken kürzer wird. Auf der bewegten Uhr vergehen 10 s, 8 s beziehungsweise 6 s. Erkläre anschließend, warum die Uhr selbst nicht „falsch geht“.
Lernschritt 5
Eine Lichtuhr besteht gedanklich aus zwei Spiegeln und einem Lichtimpuls. Im Ruhesystem der Uhr läuft der Impuls senkrecht zwischen den Spiegeln hin und zurück. Bewegt sich die Uhr quer zu dieser Spiegelverbindung, hat der Lichtweg im Labor zusätzlich eine seitliche Komponente.
Der Lichtweg zwischen denselben Ereignissen ist im Labor länger. Weil die Lichtgeschwindigkeit in beiden Systemen c beträgt, muss dafür im Labor mehr Zeit vergehen. Aus dem rechtwinkligen Wegdreieck folgt für einen vollständigen Hin- und Rückweg:
(cΔt2)² = (cΔτ2)² + (vΔt2)²
Nach Umstellen erhält man Δt = γΔτ. Der Spiegelabstand liegt senkrecht zur Bewegung; in dieser Richtung tritt keine Längenkontraktion auf.
Im Labor muss das Licht auch seitlich vorankommen. Links ruht die Uhr; rechts bewegt sich die Spiegelanordnung während des Lichtwegs nach rechts. Die gezeichneten Spiegel rechts gehören zu Start- und Ankunftszeit.
h ist in beiden Systemen gleich, da der Spiegelabstand senkrecht zur Bewegung liegt. Für einen halben Tick gilt: h = cΔτ/2, Diagonale = cΔt/2, seitlicher Weg = vΔt/2. Schematisch, nicht maßstäblich.
Lernschritt 6
Beispiel · Schritt für Schritt
Zwischen Start und Ende vergehen im Labor 15,0 s. Die Uhr bewegt sich gleichförmig mit 0,80c. Wie viel Zeit zeigt sie selbst?
Δt = 15,0 s · v = 0,80c · gesucht: Δτ
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| β = 0,80cc = 0,80 |
1Geschwindigkeitsverhältnis bilden
c kürzt sich. Setze 0,80 ein, nicht 80 und nicht eine Geschwindigkeit mit Einheit. |
| √(1 − β²) = √(1 − 0,64) = √0,36 = 0,60 |
2Wurzelausdruck berechnen
Zuerst quadrieren, dann von 1 abziehen und die Wurzel ziehen. |
| γ = 10,60 = 5/3 |
3Lorentzfaktor bestimmen
Nutze intern den ungerundeten Wert. |
| Δτ = 15,0 s5/3 = 9,0 s |
4Eigenzeit berechnen
Die Laborzeit wird durch γ geteilt. Die Eigenzeit ist kleiner. |
Beispiel · Schritt für Schritt
Eine gleichförmig bewegte Uhr misst 8,0 s Eigenzeit bei v = 0,60c. Welche Zeitspanne ordnet das Labor denselben Ereignissen zu?
Δτ = 8,0 s · β = 0,60
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| γ = 1√(1 − 0,60²) = 10,80 = 1,25 |
1Lorentzfaktor berechnen
Das Verhältnis ist einheitenlos. |
| Δt = γ · Δτ = 1,25 · 8,0 s = 10,0 s |
2Laborzeit berechnen
Jetzt ist die Eigenzeit gegeben. Deshalb multiplizierst du mit γ. |
| 10,0 s > 8,0 s |
3Plausibilität prüfen
Die Zeitspanne im Labor muss für die betrachteten Ereignisse mindestens so groß sein wie die Eigenzeit. |
Beispiel · Schritt für Schritt
Zwischen denselben Ereignissen misst die bewegte Uhr 6,0 s und das Labor 10,0 s. Wie groß ist v?
Δτ = 6,0 s · Δt = 10,0 s · gleichförmige Bewegung
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| ΔτΔt = 6,0 s10,0 s = 0,60 |
1Zeitverhältnis bilden
Aus Δτ = Δt√(1 − β²) folgt: Das Verhältnis entspricht √(1 − β²). |
| β = √[1 − (Δτ/Δt)²] = √(1 − 0,60²) = √0,64 = 0,80 |
2Nach β auflösen
Das Verhältnis wird quadriert. Die positive Wurzel liefert den Geschwindigkeitsbetrag. |
| v = βc = 0,80c |
3Geschwindigkeit angeben
Die Richtung der Bewegung folgt nicht aus den beiden Zeitspannen. |
Lernschritt 7
Bei gleichförmiger Relativbewegung kann jedes Inertialsystem den Gang der Uhren des anderen Systems als langsamer beschreiben. Das ist kein Widerspruch: Für den Vergleich räumlich getrennter Uhren verwendet jedes System seine eigene Synchronisation und Gleichzeitigkeit.
Treffen zwei Uhren nach unterschiedlichen Reisen wieder zusammen, muss man die tatsächlich durchlaufenen Wege in Raum und Zeit vergleichen. Eine Umkehrreise besteht nicht aus einem einzigen gemeinsamen Inertialsystem. Die einfache Formel darf dafür nicht ohne Betrachtung der einzelnen Abschnitte eingesetzt werden.
Lernschritt 8
Eigenzeit und Laborzeit vertauschen: Die mitbewegte Uhr misst Δτ.
β mit einer Geschwindigkeit in Metern pro Sekunde verwechseln: β ist das Verhältnis v zu c.
Verlangsamung als Defekt erklären: Es geht um einen Unterschied zwischen Bezugssystemen.
Lichtlaufzeit mit Zeitdilatation gleichsetzen: Empfangsabstände von Signalen sind ein anderes Messproblem.
Selbst ausprobieren
Mit Tipps lernen oder ohne Hilfe testen – du entscheidest.
Wähle deine Stufe. Du löst jeweils sechs Aufgaben mit direkter Rückmeldung, Tipps und Rechenwegen.
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Bearbeite drei weitere Aufgaben ohne Nachschlagen. Nutze die Rückmeldung, um gezielt weiterzulernen.
Löse die Aufgaben ohne Nachschlagen. Bei Zahlen sind Dezimalkomma und Dezimalpunkt möglich. Verwende keine Tausenderpunkte.
Die Aufgaben sind unterschiedlich. Die Ergebnisse geben dir eine kurze Orientierung zu deinem Lernstand.
Physikhelfer
Berechne Laborzeit, Eigenzeit oder Relativgeschwindigkeit für gleichförmige Bewegung. Die Eigenzeit stammt von der Uhr, an deren Ort beide Ereignisse stattfinden. Wähle deine gesuchte Größe und lass dir den Rechenweg Schritt für Schritt zeigen.
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Erst vorhersagen oder selbst rechnen, dann die Lösung öffnen.
γ = 1.
Die Eigenzeit Δτ.
6 s.
8 s.
β = 0,60, ohne Einheit.
Nein. Es gilt Δt ≥ Δτ.
Fachlicher Abgleich der Grundlagen: OpenStax · University Physics.
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