1 · Wie groß ist Ueff bei Û = 10√2 V?
Lösung ansehen
10 V.
Physik verstehen und üben · Elektrizität
Physik · Sekundarstufe I und II
Wechselstrom und Effektivwerte: verstehen und üben
Spannung und Strom ändern bei Wechselstrom regelmäßig ihre Richtung. Lerne Sinuskurven zu lesen und zu verstehen, warum ein Mittelwert von null trotzdem Heizwirkung erlaubt.
Ueff = Û√2
Für eine reine Sinusspannung ist der Effektivwert kleiner als der Scheitelwert. Er beschreibt die gleiche mittlere Heizwirkung wie eine entsprechende Gleichspannung.
Momentanwert, Scheitelwert und Periode
Eine sinusförmige Wechselspannung wechselt regelmäßig zwischen positiven und negativen Werten. Das Vorzeichen bezieht sich auf die festgelegte Messrichtung. Der Momentanwert u(t) gibt die Spannung zu einem bestimmten Zeitpunkt an; der Scheitelwert Û ist der positive Maximalbetrag.
u(t) = Û · sin(2πft); T = 1f
f ist die Frequenz in Hertz, T die Periodendauer in Sekunden. Eine volle Periode umfasst eine positive und eine negative Halbwelle. Der Spitze-Spitze-Wert beträgt 2Û.
Wir betrachten eine ideale Sinusquelle ohne Gleichanteil. Als Verbraucher dient ein konstanter ohmscher Widerstand. Spulen und Kondensatoren können eine Phasenverschiebung verursachen und benötigen eine zusätzliche Betrachtung.
Was der Effektivwert bedeutet
Eine Gleichspannung Ueff erzeugt an demselben konstanten Widerstand dieselbe mittlere Leistung wie die betrachtete Wechselspannung. Der Effektivwert heißt auch RMS-Wert.
Ueff = √(Mittelwert von u²)
Die Reihenfolge lautet: Werte quadrieren, über eine volle Periode mitteln, anschließend die Wurzel ziehen. Die negativen Halbwellen tragen durch das Quadrieren ebenfalls bei.
Ueff = Û√2; Ieff = Î√2
Der Faktor 1/√2 gilt für reine Sinusgrößen ohne Gleichanteil. Bei anderen Kurvenformen muss der Effektivwert über die Definition bestimmt werden. Eine symmetrische Rechteckspannung mit den Werten ±Û hat beispielsweise Ueff = Û.
Amplitude und Frequenz getrennt verändern
Û = 12 V; Ueff ≈ 8,49 V; f = 50 Hz; T = 20 ms.
Unterrichtsimpuls
Verdopple zuerst den Scheitelwert: Der Effektivwert verdoppelt sich. Verändere dann nur die Frequenz: Es passen mehr oder weniger Schwingungen ins Zeitfenster, der Effektivwert bleibt gleich.
Warum die negative Halbwelle ebenfalls heizt
Am konstanten ohmschen Widerstand sind Spannung und Strom phasengleich: i(t) = u(t)/R. Deshalb gilt für die momentane Leistung:
p(t) = u(t)i(t) = u²(t)R
Wenn u und i gleichzeitig negativ sind, ist ihr Produkt positiv. Die mittlere Spannung kann null sein, während die mittlere Leistung positiv ist.
P = UeffIeff = U²effR
Diese einfache Produktform für die Wirkleistung gilt hier am rein ohmschen Verbraucher. Bei sinusförmigen, gegeneinander verschobenen Größen kommt der Faktor cos φ hinzu. Für beliebige nichtsinusförmige Verläufe genügt ein einzelner Phasenwinkel im Allgemeinen nicht.
Eine Sinusquelle an 100 Ω
Die Quelle hat einen Scheitelwert von 12 V und eine Frequenz von 50 Hz. Es handelt sich um ein Rechenmodell mit konstantem Widerstand R = 100 Ω.
Ueff = 12 V√2 ≈ 8,49 V
Ieff = 8,49 V100 Ω ≈ 0,0849 A = 84,9 mA
P = (12 V)²2 · 100 Ω = 0,72 W
T = 150 Hz = 0,020 s = 20 ms
Der Scheitelwert der Leistung ist 1,44 W, die mittlere Leistung 0,72 W. In 10 s werden 7,2 J Energie am Widerstand umgesetzt.
Eine Größe ändern und die Folge erkennen
Verdoppelst du Û am selben Widerstand, verdoppeln sich Ueff und Ieff. Die mittlere Leistung vervierfacht sich, weil sie vom Quadrat der Spannung abhängt.
Verdoppelst du bei gleichem Û nur die Frequenz, halbiert sich T. Die mittlere Leistung bleibt am idealen konstanten Widerstand gleich. Bei frequenzabhängigen Bauteilen muss das nicht gelten.
Ein negativer Momentanwert bedeutet nicht automatisch negative Leistung und auch keinen negativen Effektivwert. Effektivwerte sind definitionsgemäß nichtnegativ.
Typische Fehler vermeiden
Û und Ueff verwechseln: Prüfe, welcher Wert gegeben ist.
Den gewöhnlichen Mittelwert verwenden: RMS mittelt die Quadrate.
Für jede Kurve durch √2 teilen: Das gilt nur unter den genannten Sinusbedingungen.
Eine Halbwelle als volle Periode zählen: Eine ganze Periode enthält beide Vorzeichen.
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Erst vorhersagen oder selbst rechnen, dann die Lösung öffnen.
2 · Wie groß ist Û bei Ueff = 6 V und Sinusform?
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6√2 V ≈ 8,49 V.
3 · Wie groß ist T bei f = 100 Hz?
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0,01 s = 10 ms.
4 · Ist die mittlere Leistung null, wenn der Spannungsmittelwert null ist?
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Nein. Am Widerstand zählt der Mittelwert von u²/R.
5 · Wie verändert sich P bei doppeltem Û und gleichem R?
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P vervierfacht sich.
6 · Gilt Ueff = Û/√2 auch für eine symmetrische Rechteckspannung ±Û?
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Nein. Für dieses Rechteck gilt Ueff = Û.
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Ein eigenes Arbeitsblatt speziell zu Wechselstrom und Effektivwerten wurde im Shop nicht gefunden. Die sechs Selbstchecks auf dieser Seite stehen direkt zum Üben bereit.
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