Spannung und Strom ändern bei Wechselstrom regelmäßig ihre Richtung. Lerne Sinuskurven zu lesen und zu verstehen, warum ein Mittelwert von null trotzdem Heizwirkung erlaubt.
Drei kurze Aufgaben helfen dir, deinen Startpunkt zu finden. Wenn du unsicher bist, wähle „Weiß ich noch nicht“.
Löse die Aufgaben ohne Nachschlagen. Bei Zahlen sind Dezimalkomma und Dezimalpunkt möglich. Verwende keine Tausenderpunkte.
Lernschritt 1
Eine sinusförmige Wechselspannung wechselt regelmäßig zwischen positiven und negativen Werten. Das Vorzeichen bezieht sich auf die festgelegte Messrichtung. Der Momentanwert u(t) gibt die Spannung zu einem bestimmten Zeitpunkt an; der Scheitelwert Û ist der positive Maximalbetrag.
u(t) = Û · sin(2πft); T = 1f
f ist die Frequenz in Hertz, T die Periodendauer in Sekunden. Eine volle Periode umfasst eine positive und eine negative Halbwelle. Der Spitze-Spitze-Wert beträgt 2Û.
Wir betrachten eine ideale Sinusquelle ohne Gleichanteil. Als Verbraucher dient ein konstanter ohmscher Widerstand. Spulen und Kondensatoren können eine Phasenverschiebung verursachen und benötigen eine zusätzliche Betrachtung.
Lernschritt 2
Eine Gleichspannung Ueff erzeugt an demselben konstanten Widerstand dieselbe mittlere Leistung wie die betrachtete Wechselspannung. Der Effektivwert heißt auch RMS-Wert.
Ueff = √(Mittelwert von u²)
Die Reihenfolge lautet: Werte quadrieren, über eine volle Periode mitteln, anschließend die Wurzel ziehen. Die negativen Halbwellen tragen durch das Quadrieren ebenfalls bei.
Ueff = Û√2; Ieff = Î√2
Der Faktor 1/√2 gilt für reine Sinusgrößen ohne Gleichanteil. Bei anderen Kurvenformen muss der Effektivwert über die Definition bestimmt werden. Eine symmetrische Rechteckspannung mit den Werten ±Û hat beispielsweise Ueff = Û.
Beispiel · Schritt für Schritt
Eine periodische Spannung beträgt die Hälfte der Zeit +6 V und die andere Hälfte −6 V.
Symmetrische Rechteckspannung · gleich lange Abschnitte
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| (+6 V)² = 36 V² (−6 V)² = 36 V² |
1Quadrieren
Beide Vorzeichen liefern einen positiven Beitrag. |
| Mittelwert = (36 + 36)/2 V² = 36 V² |
2Zeitlich mitteln
Weil die Abschnitte gleich lang dauern, erhalten sie gleiches Gewicht. |
| Ueff = √(36 V²) = 6 V |
3Wurzel ziehen
Hier wird nicht durch √2 geteilt. Der gewöhnliche Spannungsmittelwert wäre dagegen null. |
Lernschritt 3
Die mobile Ansicht vergrößert die Achsenbeschriftungen. Zusätzliche Angaben stehen unter der Kurve.
Verdopple zuerst den Scheitelwert: Der Effektivwert verdoppelt sich. Verändere dann nur die Frequenz: Es passen mehr oder weniger Schwingungen ins Zeitfenster, der Effektivwert bleibt gleich.
Lernschritt 4
Am konstanten ohmschen Widerstand sind Spannung und Strom phasengleich: i(t) = u(t)/R. Deshalb gilt für die momentane Leistung:
p(t) = u(t)i(t) = u²(t)R
Wenn u und i gleichzeitig negativ sind, ist ihr Produkt positiv. Die mittlere Spannung kann null sein, während die mittlere Leistung positiv ist.
P = UeffIeff = U²effR
Diese einfache Produktform für die Wirkleistung gilt hier am rein ohmschen Verbraucher. Bei sinusförmigen, gegeneinander verschobenen Größen kommt der Faktor cos φ hinzu. Für beliebige nichtsinusförmige Verläufe genügt ein einzelner Phasenwinkel im Allgemeinen nicht.
Lernschritt 5
Beispiel · Schritt für Schritt
Gesucht sind Effektivspannung, Effektivstrom, mittlere Leistung und Periodendauer.
Û = 12 V · f = 50 Hz · R = 100 Ω · reine Sinusspannung
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| Ueff = Û/√2 = 12 V / √2 ≈ 8,49 V |
1Scheitelwert umrechnen
Der Faktor 1/√2 gilt für diese Sinusspannung ohne Gleichanteil. |
| Ieff = Ueff/R ≈ 8,49 V / 100 Ω = 84,9 mA |
2Effektivstrom bestimmen
Effektivspannung und Effektivstrom gehören zusammen. |
| P = Û²/(2R) = 144 / 200 W = 0,72 W |
3Mittlere Leistung berechnen
Die nicht gerundete Spannung verwenden. Am rein ohmschen Widerstand gibt es keine Phasenverschiebung. |
| T = 1/f = 1/50 s = 0,020 s = 20 ms |
4Zeit für eine Periode bestimmen
Eine Periode enthält eine positive und eine negative Halbwelle. |
Die momentane Leistung schwankt zwischen 0 und 1,44 W. Ihr Mittelwert beträgt 0,72 W. In 10 s wird W = Pt = 7,2 J umgesetzt.
Lernschritt 6
Verdoppelst du Û am selben Widerstand, verdoppeln sich Ueff und Ieff. Die mittlere Leistung vervierfacht sich, weil sie vom Quadrat der Spannung abhängt.
Verdoppelst du bei gleichem Û nur die Frequenz, halbiert sich T. Die mittlere Leistung bleibt am idealen konstanten Widerstand gleich. Bei frequenzabhängigen Bauteilen muss das nicht gelten.
Ein negativer Momentanwert bedeutet nicht automatisch negative Leistung und auch keinen negativen Effektivwert. Effektivwerte sind definitionsgemäß nichtnegativ.
Lernschritt 7
Û und Ueff verwechseln: Prüfe, welcher Wert gegeben ist.
Den gewöhnlichen Mittelwert verwenden: RMS mittelt die Quadrate.
Für jede Kurve durch √2 teilen: Das gilt nur unter den genannten Sinusbedingungen.
Eine Halbwelle als volle Periode zählen: Eine ganze Periode enthält beide Vorzeichen.
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Die Aufgaben sind unterschiedlich. Die Ergebnisse geben dir eine kurze Orientierung zu deinem Lernstand.
Physikhelfer
Rechne Scheitelwert und Effektivwert von Spannung oder Stromstärke ineinander um. Die Modelle gelten für Sinusgrößen ohne Gleichanteil. Wähle deine gesuchte Größe und lass dir den Rechenweg Schritt für Schritt zeigen.
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10 V.
6√2 V ≈ 8,49 V.
0,01 s = 10 ms.
Nein. Am Widerstand zählt der Mittelwert von u²/R.
P vervierfacht sich.
Nein. Für dieses Rechteck gilt Ueff = Û.
Fachlicher Abgleich der Grundlagen: OpenStax · University Physics.
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