1 · Was bedeutet T = 0,1?
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Eine Durchlasswahrscheinlichkeit von 10 %.
Physik verstehen und üben · Quantenphysik
Physik · Sekundarstufe I und II
Tunneleffekt: verstehen und üben
Ein Quantenteilchen kann eine endliche Energiebarriere mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit durchdringen, obwohl seine Energie unter der Barrierenhöhe liegt. Untersuche den Einfluss der Breite.
E < V₀, trotzdem T > 0
Eine endliche Barriere ist für Quantenteilchen nicht zwingend undurchdringlich. Die Gesamtenergie bleibt erhalten.
Eine Barriere ist eine potenzielle Energie
Stell dir zunächst eine Kugel vor, deren Energie nicht ausreicht, um einen Hügel zu überwinden. Klassisch kehrt sie um. Im Quantenmodell kann hinter einer endlichen Barriere dagegen eine von null verschiedene Nachweiswahrscheinlichkeit bestehen.
Die Barriere im Diagramm ist kein maßstäblich gezeichneter materieller Hügel. Ihre Höhe V₀ bezeichnet potenzielle Energie. Die waagerechte Achse beschreibt den Ort, die senkrechte Achse die Energie.
Wir betrachten ein Elektron, eine zeitlich unveränderliche rechteckige Barriere und gleiche potenzielle Energie null links und rechts. Die Gesamtenergie E liegt unter V₀. Wechselwirkungen mit einer Umgebung werden vernachlässigt.
Was bestimmt die Durchlasswahrscheinlichkeit?
Die Wellenfunktion verschwindet an einer endlichen Barriere nicht sofort. Im Barrierenbereich treten exponentielle Lösungen auf. Die Randbedingungen verbinden sie mit den einfallenden, reflektierten und übertragenen Anteilen.
Eine breitere Barriere senkt bei gleicher Höhe und Energie die Durchlasswahrscheinlichkeit T. Auch eine größere Differenz V₀ − E und eine größere Teilchenmasse erschweren das Tunneln.
κ = √(2m(V₀ − E))ℏ
κ beschreibt eine inverse Längenskala; ℏ = h/(2π). Für die hier betrachtete rechteckige Barriere gilt genau:
T = [1 + V₀² · sinh²(κa)4E(V₀ − E)]−1
a ist die Barrierenbreite. Die Funktion sinh heißt Sinus hyperbolicus. Du musst die Formel nicht auswendig können, um den Zusammenhang zu verstehen. Für dicke Barrieren enthält T näherungsweise einen Faktor exp(−2κa): Die Breite wirkt sehr stark.
R + T = 1
R ist die Reflexionswahrscheinlichkeit. Das gilt hier, weil es keine Absorption gibt. Ein einzelner Nachweis ergibt ein ganzes Elektron auf einer Seite, keine Bruchstücke des Elektrons.
Die Breite entscheidet
Elektron mit E = 1 eV, V₀ = 2 eV und a = 0,5 nm: T ≈ 2,35 %.
Unterrichtsimpuls
Vergleiche 0,2 nm, 0,5 nm und 1,0 nm. Sage vorher, ob T linear abnimmt. Schon kleine Breitenänderungen können die Wahrscheinlichkeit stark verändern. Die Energie hinter der Barriere bleibt bei einem erfolgreichen Durchgang gleich.
Von Wahrscheinlichkeit zu erwarteten Nachweisen
Für das Elektron mit E = 1 eV und V₀ = 2 eV ist κ ≈ 5,123 nm−1. Bei a = 0,5 nm ergibt die Formel ungefähr T = 0,0235 = 2,35 %.
Erwartete Durchgänge ≈ 1000 · 0,0235 ≈ 24
Bei 1000 gleich präparierten, unabhängigen Versuchen erwartet man also ungefähr 24 Durchgänge. Die tatsächliche Anzahl schwankt. T = 2,35 % bedeutet nicht, dass ein Elektron 2,35 % seiner Energie behält.
Bei a = 1 nm ist T nur noch ungefähr 0,0142 %. Eine Verdopplung der Breite halbiert die Wahrscheinlichkeit daher nicht einfach.
Keine geliehene Energie
Das Elektron muss sich keine Energie leihen, um kurzzeitig über die Barriere zu springen. Bei der zeitlich unveränderlichen Barriere bleibt seine Gesamtenergie erhalten. Da das Potenzial links und rechts gleich ist, hat ein übertragenes Elektron dort dieselbe kinetische Energie wie vorher.
Innerhalb der Barriere ist das klassische Bild einer Bahn mit einer Geschwindigkeit aus E − V₀ nicht anwendbar. Die Wellenfunktion beschreibt den Zustand auch in diesem klassisch verbotenen Bereich.
Beim Rastertunnelmikroskop reagiert der Tunnelstrom sehr empfindlich auf den Abstand zwischen Spitze und Probe. Auch der Alphazerfall lässt sich mithilfe des Tunneleffekts verstehen; die reale Kernbarriere ist dabei keine Rechteckbarriere.
Typische Fehler vermeiden
T als Energieanteil lesen: T ist eine Durchlasswahrscheinlichkeit beziehungsweise ein Stromverhältnis.
Eine unendlich hohe Wand tunneln lassen: Der unendliche Potentialtopf lässt keinen Durchgang zu.
Die Energieerhaltung aufheben: Im stationären Modell bleibt die Gesamtenergie konstant.
Das Schaubild als Flugbahn lesen: Es zeigt Energie in Abhängigkeit vom Ort.
Sechs Aufgaben zum Selbstcheck
Erst vorhersagen oder selbst rechnen, dann die Lösung öffnen.
2 · Wie groß ist R bei T = 0,1 ohne Absorption?
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R = 0,9 = 90 %.
3 · Was passiert bei breiterer Barriere unter sonst gleichen Bedingungen?
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Die Durchlasswahrscheinlichkeit sinkt.
4 · Verliert ein erfolgreich übertragenes Elektron hier Energie?
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Nein, links und rechts ist das Potenzial gleich und die Barriere zeitlich konstant.
5 · Wie viele Durchgänge erwartet man bei T = 2 % und 500 Versuchen?
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Im Mittel 10; die tatsächliche Zahl kann abweichen.
6 · Wofür steht die senkrechte Achse im Barrierendiagramm?
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Für Energie, nicht für räumliche Höhe.
Kostenlos üben
Die sechs Aufgaben auf dieser Seite sind direkt kostenlos nutzbar. Ein eigenes Tunneleffekt-Arbeitsblatt wurde im Shop nicht gefunden.
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