Wie unterscheiden sich Erwärmen, Ausdehnen und Komprimieren eines idealen Gases? Lies Prozesswege im Druck-Volumen-Diagramm und verbinde sie mit der Energiebilanz.
Drei kurze Aufgaben helfen dir, deinen Startpunkt zu finden. Wenn du unsicher bist, wähle „Weiß ich noch nicht“.
Löse die Aufgaben ohne Nachschlagen. Bei Zahlen sind Dezimalkomma und Dezimalpunkt möglich. Verwende keine Tausenderpunkte.
Lernschritt 1
Im p-V-Diagramm steht das Volumen V auf der waagerechten Achse und der Druck p auf der senkrechten. Jeder Punkt beschreibt einen Gleichgewichtszustand. Eine gezeichnete Prozesslinie setzt voraus, dass das Gas während des Vorgangs näherungsweise durch Gleichgewichtszustände geht.
Wir betrachten ein geschlossenes System mit einer festen Menge idealen Gases. p ist der absolute Druck und T die Temperatur in Kelvin. Für Zahlenrechnungen gilt 1 Liter = 10−3 m³ und 1 kPa = 1000 Pa.
1 kPa · 1 Liter = 1 J
Eine Fläche in einem entsprechend beschrifteten p-V-Diagramm lässt sich damit direkt in Arbeit umrechnen.
Lernschritt 2
Isochor: V bleibt konstant. Die Linie ist senkrecht und p ist proportional zu T. Es wird keine Volumenarbeit verrichtet.
Isobar: p bleibt konstant. Die Linie ist waagerecht und V ist proportional zu T. Bei einer Ausdehnung verrichtet das Gas Arbeit.
Isotherm: T bleibt konstant. Für das ideale Gas gilt pV = konstant; die Kurve ist eine Hyperbel. Die innere Energie bleibt bei fester Stoffmenge unverändert.
Reversibel adiabatisch: Es wird keine Wärme ausgetauscht. Für das ideale Gas bei konstanten Wärmekapazitäten gilt:
pVγ = konstant; γ = CpCV
Diese letzte Beziehung setzt mehr voraus als Q = 0 allein: Der Vorgang muss im Modell reversibel ablaufen. Bei der Expansion fällt der Druck stärker als auf einer Isotherme durch denselben Startpunkt.
Beispiel · Schritt für Schritt
Eine feste Menge idealen Gases wird in einem starren Behälter von 300 K auf 450 K erwärmt. Anfangs gilt p₁ = 100 kPa.
V konstant · nur Volumenarbeit
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| p₁/T₁ = p₂/T₂ |
1Passende Beziehung wählen
Isochor bedeutet gleichbleibendes Volumen. Der Druck ist proportional zur absoluten Temperatur. |
| p₂ = 100 kPa · 450 K300 K = 150 kPa |
2Nach p₂ auflösen und einsetzen
Das Temperaturverhältnis beträgt 1,5; daher steigt auch der Druck um den Faktor 1,5. |
| ΔV = 0 → Wvom = 0 |
3Arbeitsbilanz ergänzen
Ohne Volumenänderung gibt es keine Volumenarbeit. Bei den genannten Bedingungen gilt ΔU = Q. |
Lernschritt 3
Alle Wege starten bei V₁ = 1 Liter, p₁ = 100 kPa und T₁ = 300 K. Das Modellgas ist einatomig, mit γ = 5/3. Der Regler zeigt den Prozessfortschritt: Bei 100 % verdoppelt sich V, außer beim isochoren Weg – dort verdoppelt sich p.
Druck p in kPa · gemeinsamer Start: 1 Liter, 100 kPa
Orange: Endzustand des gewählten Wegs. Grün: vom Gas verrichtete Volumenarbeit bei der Expansion. Feste Achsen; der Prozentregler ist keine Zeitangabe. Die Endzustände der vier Wege unterscheiden sich.
Die Grafik lässt sich seitlich verschieben. So bleiben Achsen und Beschriftungen lesbar.
Vergleiche isotherm und reversibel adiabatisch bei 100 %. Beide enden bei 2 Litern, aber adiabatisch ist die Temperatur niedriger. Isotherm wird die abgegebene Arbeit vollständig durch Wärme ersetzt; adiabatisch stammt sie aus der inneren Energie.
Lernschritt 4
Wvom = ∫ p dV; Wam = −Wvom
Für die dargestellten quasistatischen, mechanisch reversiblen Prozesse kann der Gasdruck p in der Arbeitsfläche verwendet werden. Allgemein wird die Volumenarbeit gegen den äußeren Druck berechnet; ein beliebiger schneller Vorgang lässt sich nicht einfach als Gleichgewichtskurve auswerten.
Isobar: Wvom = p · (V₂ − V₁)
Bei Expansion ist Wvom positiv. Bei Kompression wird das Integral mit abnehmendem Volumen durchlaufen und Wvom negativ. Die geometrische Fläche allein hat kein Vorzeichen; die Prozessrichtung ist entscheidend.
Eine isochore Linie schließt keine Breite in V ein: Die Volumenarbeit ist null. Das bedeutet nicht, dass keine Wärme übertragen werden kann.
Beispiel · Schritt für Schritt
Ein Gas wird bei konstant 100 kPa quasistatisch und mechanisch reversibel von 2 auf 1 Liter zusammengedrückt.
Gesucht: Wvom und Wam
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| ΔV = 1 L − 2 L = −1 L |
1Ende minus Anfang rechnen
Bei Kompression ist die Volumenänderung negativ. |
| Wvom = 100 kPa · (−1 L) = −100 J |
2Orientierte Fläche bestimmen
Die Durchlaufrichtung liefert das Vorzeichen. Die geometrische Fläche allein ist positiv. |
| Wam = −Wvom = +100 J |
3In die andere Konvention übersetzen
Die Umgebung verrichtet 100 J Arbeit am Gas. |
Lernschritt 5
Beispiel · Schritt für Schritt
Ein einatomiges ideales Gas dehnt sich bei konstantem Druck von 1 auf 2 Liter aus.
p = 100 kPa · V₁ = 1 L · V₂ = 2 L · T₁ = 300 K · nur Volumenarbeit
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| ΔV = 2 L − 1 L = 1 L |
1Prozess erkennen
Isobar heißt: Der Druck bleibt konstant. Deshalb darfst du Wvom = p · ΔV verwenden. |
| Wvom = 100 kPa · 1 L = 100 J |
2Arbeitsfläche berechnen
Das Rechteck unter dem Prozessweg hat die Höhe p und die Breite ΔV. Es gilt 1 kPa · L = 1 J. |
| T₂ = 300 K · 2 L1 L = 600 K |
3Temperatur bestimmen
Bei festem Druck und fester Stoffmenge ist V/T konstant. |
| ΔU = ³⁄₂ · (200 J − 100 J) = 150 J |
4Innere Energie berechnen
Für dieses einatomige Modell gilt ΔU = 3/2 · (p₂V₂ − p₁V₁). |
| Q = ΔU + Wvom = 250 J |
5Wärme bilanzieren
Wir verwenden hier ΔU = Q − Wvom. Die Wärme deckt Energiezuwachs und abgegebene Arbeit. |
Beispiel · Schritt für Schritt
Dasselbe Gas startet bei 100 kPa, 1 Liter und 300 K. Es expandiert reversibel bei konstanter Temperatur auf 2 Liter.
T = 300 K konstant · feste Stoffmenge
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| p₂ = p₁ · V₁V₂ = 50 kPa |
1Enddruck berechnen
Bei konstanter Temperatur gilt p₁V₁ = p₂V₂. Der Druck halbiert sich. |
| ΔU = 0 |
2Das Gasmodell nutzen
Beim idealen Gas ändert sich U bei gleichbleibender Temperatur und Stoffmenge nicht. |
| Wvom = p₁V₁ · ln(V₂/V₁) = 100 J · ln 2 ≈ 69,31 J |
3Die gekrümmte Fläche auswerten
p ist nicht konstant. Deshalb gilt hier nicht p₁ · ΔV. ln ist der natürliche Logarithmus. |
| Q = ΔU + Wvom ≈ 69,31 J |
4Wärmezufuhr bestimmen
Die abgegebene Arbeit wird vollständig durch Wärmezufuhr ersetzt. |
Lernschritt 6
Adiabatisch heißt Q = 0. Bei der Expansion stammt die abgegebene Arbeit aus der inneren Energie: Das Gas kühlt ab. Für die folgenden Potenzgesetze verlangen wir zusätzlich einen reversiblen Prozess und konstante Wärmekapazitäten.
Beispiel · Schritt für Schritt
Das Modellgas startet bei 100 kPa, 1 Liter und 300 K und expandiert auf 2 Liter.
Einatomiges ideales Gas · γ = 5/3 · nur Volumenarbeit
| Rechnung | Erklärung zum Schritt |
|---|---|
| V₁/V₂ = 1/2 |
1Volumenverhältnis bilden
Bei einer Expansion ist dieses Verhältnis kleiner als eins. |
| p₂ = 100 kPa · (1/2)5/3 ≈ 31,50 kPa |
2Enddruck berechnen
Verwende den Exponenten γ. Runde erst das Endergebnis. |
| T₂ = 300 K · (1/2)2/3 ≈ 188,99 K |
3Endtemperatur berechnen
Für T steht γ − 1 im Exponenten. |
| ΔU = ³⁄₂ · (p₂V₂ − p₁V₁) ≈ −55,51 J |
4Energieänderung bestimmen
Die innere Energie sinkt. Setze p in kPa und V in Litern ein. |
| Q = 0 Wvom = −ΔU ≈ 55,51 J |
5Ersten Hauptsatz anwenden
Das Gas gibt positive Arbeit ab, ohne Wärme aufzunehmen. |
Lernschritt 7
U hängt vom Zustand ab. Q und W hängen vom Weg ab. Um die Wegabhängigkeit zu untersuchen, müssen Start- und Endzustand identisch gewählt werden; die vier Reglerwege oben erfüllen nur den gemeinsamen Start.
Für einen vollständigen Kreisprozess ist ΔU = 0. Die eingeschlossene orientierte Fläche entspricht der Nettoarbeit vom Gas: Im üblichen p-V-Diagramm liefert ein im Uhrzeigersinn durchlaufener Kreis positive Nettoarbeit.
Lernschritt 8
Celsius in die Gasgleichung einsetzen: T muss in Kelvin stehen.
Isotherm und adiabatisch gleichsetzen: Konstante Temperatur ist nicht dasselbe wie kein Wärmeaustausch.
Gleiches Volumen für gleichen Zustand halten: Auch Druck beziehungsweise Temperatur müssen übereinstimmen.
Bei jeder Expansion p·ΔV rechnen: Das gilt nur bei konstantem Druck.
Jede Adiabate mit pVγ beschreiben: Die verwendete Beziehung verlangt zusätzlich das reversible ideale Gasmodell.
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Die Aufgaben sind unterschiedlich. Die Ergebnisse geben dir eine kurze Orientierung zu deinem Lernstand.
Physikhelfer
Berechne vorzeichenbehaftete Volumenarbeit bei konstantem Druck oder konstanter Temperatur sowie Druck und Volumen auf einer reversiblen Adiabate. Die ideale Gasgleichung hilft bei einzelnen Zuständen. Achte auf die Voraussetzungen des gewählten Prozesses. Wähle deine gesuchte Größe und lass dir den Rechenweg Schritt für Schritt zeigen.
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Erst vorhersagen oder selbst rechnen, dann die Lösung öffnen.
Eine senkrechte Linie im p-V-Diagramm.
200 J.
Die absolute Temperatur.
150 J; entsprechend ist Wam = −150 J.
Q = 0.
Nein. Die Wege haben unterschiedliche Endzustände; gleiches Endvolumen allein reicht nicht.
Fachlicher Abgleich der Grundgleichungen: OpenStax · University Physics.
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