Thermodynamische Zustandsänderungen und p-V-Diagramme: verstehen und üben

Ein Punkt ist ein Zustand, eine Linie ist ein Prozess

Im p-V-Diagramm steht das Volumen V auf der waagerechten Achse und der Druck p auf der senkrechten. Jeder Punkt beschreibt einen Gleichgewichtszustand. Eine gezeichnete Prozesslinie setzt voraus, dass das Gas während des Vorgangs näherungsweise durch Gleichgewichtszustände geht.

Wir betrachten ein geschlossenes System mit einer festen Menge idealen Gases. p ist der absolute Druck und T die Temperatur in Kelvin. Für Zahlenrechnungen gilt 1 Liter = 10⁻³ m³ und 1 kPa = 1000 Pa.

1 kPa · 1 Liter = 1 J

Eine Fläche in einem entsprechend beschrifteten p-V-Diagramm lässt sich damit direkt in Arbeit umrechnen.

Vier wichtige Prozessbedingungen

Isochor: V bleibt konstant. Die Linie ist senkrecht und p ist proportional zu T. Es wird keine Volumenarbeit verrichtet.

Isobar: p bleibt konstant. Die Linie ist waagerecht und V ist proportional zu T. Bei einer Ausdehnung verrichtet das Gas Arbeit.

Isotherm: T bleibt konstant. Für das ideale Gas gilt pV = konstant; die Kurve ist eine Hyperbel. Die innere Energie bleibt bei fester Stoffmenge unverändert.

Reversibel adiabatisch: Es wird keine Wärme ausgetauscht. Für das ideale Gas bei konstanten Wärmekapazitäten gilt:

pV^γ = konstant;   γ = C_pC_V

Diese letzte Beziehung setzt mehr voraus als Q = 0 allein: Der Vorgang muss im Modell reversibel ablaufen. Bei der Expansion fällt der Druck stärker als auf einer Isotherme durch denselben Startpunkt.

Vier Wege vom selben Startzustand vergleichen

Alle Wege starten bei V₁ = 1 Liter, p₁ = 100 kPa und T₁ = 300 K. Das Modellgas ist einatomig, mit γ = 5/3. Der Regler zeigt den Prozessfortschritt: Bei 100 % verdoppelt sich V, außer beim isochoren Weg – dort verdoppelt sich p.

Die Fläche unter der Kurve ist Volumenarbeit

W_vom = ∫ p dV;   W_am = −W_vom

Für die dargestellten quasistatischen, mechanisch reversiblen Prozesse kann der Gasdruck p in der Arbeitsfläche verwendet werden. Allgemein wird die Volumenarbeit gegen den äußeren Druck berechnet; ein beliebiger schneller Vorgang lässt sich nicht einfach als Gleichgewichtskurve auswerten.

Isobar:   W_vom = p · (V₂ − V₁)

Bei Expansion ist Wvom positiv. Bei Kompression wird das Integral mit abnehmendem Volumen durchlaufen und Wvom negativ. Die geometrische Fläche allein hat kein Vorzeichen; die Prozessrichtung ist entscheidend.

Eine isochore Linie schließt keine Breite in V ein: Die Volumenarbeit ist null. Das bedeutet nicht, dass keine Wärme übertragen werden kann.

Isobare und isotherme Expansion rechnen

Vom Startpunkt 100 kPa und 1 Liter dehnt sich das Gas auf 2 Liter aus. Bei konstantem Druck folgt:

W_vom = 100 kPa · (2 − 1) Liter = 100 J

T₂ = T₁ · V₂V₁ = 600 K

Für das einatomige ideale Modellgas gilt ΔU = 3/2 · (p₂V₂ − p₁V₁) = 150 J. Mit ΔU = Q − Wvom folgt Q = 250 J.

Bei isothermer Expansion auf dasselbe Endvolumen bleibt T = 300 K. Dann ist p₂ = 50 kPa und ΔU = 0.

W_vom = p₁V₁ · ln(V₂V₁) = 100 J · ln 2 ≈ 69,31 J

Deshalb beträgt die benötigte Wärmezufuhr hier Q ≈ 69,31 J. Obwohl das Endvolumen gleich ist, unterscheiden sich Enddruck, Temperatur und Energiebilanz.

Adiabatische Expansion im selben Beispiel

p₂ = p₁ · (V₁V₂)^γ ≈ 31,50 kPa

T₂ = T₁ · (V₁V₂)^γ−1 ≈ 188,99 K

Hier fließt keine Wärme: Q = 0. Die vom Gas verrichtete Arbeit beträgt etwa 55,51 J und die innere Energie sinkt um denselben Betrag. Die Temperatur sinkt, weil das Gas Arbeit aus seiner inneren Energie abgibt.

γ = 5/3 gehört zum hier gewählten einatomigen idealen Gas. Für Luft ist unter üblichen Bedingungen häufig γ ≈ 1,4 die passendere Näherung. Der Regler ist daher keine detaillierte Simulation einer realen Luftpumpe.

Zustandsgröße und Prozessgröße unterscheiden

U hängt vom Zustand ab. Q und W hängen vom Weg ab. Um die Wegabhängigkeit zu untersuchen, müssen Start- und Endzustand identisch gewählt werden; die vier Reglerwege oben erfüllen nur den gemeinsamen Start.

Für einen vollständigen Kreisprozess ist ΔU = 0. Die eingeschlossene orientierte Fläche entspricht der Nettoarbeit vom Gas: Im üblichen p-V-Diagramm liefert ein im Uhrzeigersinn durchlaufener Kreis positive Nettoarbeit.

Typische Fehler vermeiden

Celsius in die Gasgleichung einsetzen: T muss in Kelvin stehen.

Isotherm und adiabatisch gleichsetzen: Konstante Temperatur ist nicht dasselbe wie kein Wärmeaustausch.

Gleiches Volumen für gleichen Zustand halten: Auch Druck beziehungsweise Temperatur müssen übereinstimmen.

Bei jeder Expansion p·ΔV rechnen: Das gilt nur bei konstantem Druck.

Jede Adiabate mit pVγ beschreiben: Die verwendete Beziehung verlangt zusätzlich das reversible ideale Gasmodell.

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